C(n)基数（一）

注意：一共划分（1/2）篇章！

c(n)-红衣主教2012年5月数理逻辑档案中的文章DOI: 10.1007/s00153-011-0261-8引文29读3261作者:琼·巴加利亚加泰罗尼亚研究和高等研究院(ICREA)和巴塞罗纳大学70份出版物616次引用此页面后面的所有内容都是由上传的琼·巴加利亚2014年9月22日。用户已经请求增强下载的文件。

c(n)-红衣主教

琼·巴加利亚

收到日期:2011年11月29日/接受日期:2011年11月30日/在线发布日期:2011年12月23日施普林格出版社，2011年

摘要:对于每个自然数n，设C(n)是序数α的闭无界真类，使得Vα是V的σn初等子结构。

我们说κ是C(n)-基数，如果它是初等嵌入j V M，M传递的临界点，其中j (κ)在C(n)中。通过在大基数原则的通常层次的各个级别上分析C(n)-基数的概念，我们表明，从超强基数的级别开始，直到秩到秩嵌入的级别，C(n)-基数形成了更精细的层次。

C(n)-基数概念的自然性通过证明C(n)-可扩基数的存在等价于结构类的简单反射原理来举例说明，它推广了超紧和可扩基数的概念。

此外，基于Bagaria等人的结果(2010)，我们用C(n)-可扩基数给出了Vopenˇka原理的新特征。

关键词

C(n)-基数；

超紧基数；

可扩展基数

沃彭卡的原则

反思数学

学科分类(2000) 03E55 03C551

导言

对于每个自然数n，设C(n)表示所有集合的论域V中σn-正确的序数α的俱乐部(即闭的和无界的1)固有类，意思是对于所有标准的集合论未定义的概念，见[4].J.巴加利亚语(✉)ICREA(高等教育研究机构)和历史系一、西班牙加泰罗尼亚巴塞罗那蒙塔莱格勒6，08001

巴塞罗那巴塞罗那大学Filosofia de la Ciència

电子邮箱:Joan . bagaria @ icrea . cat；bagaria@ub.edu

Vα是V的σn-初等子结构，记为Vα n V。

观察αv中的σn-正确当且仅当它在v中是пn-正确的，即Vα是v的пn-基本子结构。

还要注意，如果α是σn-正确的，并且ϕ是Vα中带参数的σn+1句子，这在Vα中成立，那么ϕ在v中成立。

如果ψ是Vα中带参数的пn+1句子，这在Vα中成立。

这些基本事实将是在整篇文章中使用，没有进一步的评论。

C(0)类是所有序数的类。

但是如果Vα 1 V，那么α已经是不可数的强极限基数:

明明α是大于ω的极限基数，如果β＜α，那么句子

∃γ ∃ f (γ an序数∧ f : γ → Vβ是上的)

是参数Vβ中的σ1，因此它在Vα中必须成立。

进一步，如果α ∈ C(1)，那么Vα = Hα。

因此，由于对于每个不可数基数α，hα∫1v，所以C(1)恰好是所有不可数基数α的类，使得Vα = Hα。

由此可见，C(1)是п1可定义的，对于α ∈ C(1)当且仅当α是不可数基数且

∀m(m zfc∫∧α∈m→m | = vα= hα的传递模型)。

(这里ZFC表示ZFC的一个足够大的有限片段。)

重点是，如果α ∈ C(1)和M是包含α的ZFC∫的传递模型，那么如果在M中我们可以找到一些传递的x ∈ Vα \ Hα，我们将有|x | ≥ α。

但这与V中x的基数小于α的事实相矛盾，因为Vα = Hα。

更一般地，由于σn个句子的真值谓词|=n(对于n ≥ 1)是σn可定义的(参见[5]，0.2节)，并且由于关系x = Vy是п1，对于n ≥ 1，类C(n)是пn可定义的:

α ∈ C(n)当且仅当α∈c(n1)∧∀ϕ(x)∈σn∀a∈vα(| = n ϕ(a)→vα| = ϕ(a)).

让我们注意，对于n ^ 1，C(n)不可能是σn可定义的。

否则，如果α是C(n)中最小的序数，那么句子“C(n)中有一些序数”将是σn，因此它在Vα中成立，产生C(n)中小于α的序数，这是不可能的。

类C(n)，n ^ 1形成了可定义的序数的俱乐部真类的基础，在这个意义上，每σn序数的俱乐部真类包含C(n)。

假设有一个σn可定义的俱乐部真序数类，一些n-1。

如果α C(n)，那么对于每一个β＜α，句子∃γ(β＜γ ∧ γ ∈ C)

是参数β中的σn，在V中为真，因此在Vα中也为真。

这表明在α以下是无界的。

因此，既然是封闭的，α。

通过类似的论证，可以证明σn（即σn可由参数定义）的序数的每个俱乐部真类C都包含所有αC（n），这些αC（n）大于C的任何给定σn定义中包含的参数的秩。

最后注意，由于C（n）中的最小序数不属于C（n+1），C（n+1）C（n），所有n。

当使用非平凡的基本嵌入j V M时，M是平移的，人们希望对临界点κ的图像j（κ）的走向有一些控制。

一个特别有趣的情况是当人们希望Vj（κ）反映V的某些特定性质时，或者更一般地说，当人们希望j（κ）属于一个特定的可定义的俱乐部真序数类时。

现在，由于C（n），n ω构成了这类的基础，问题可以重新表述如下:

对于给定的n ω，什么时候可以有j（κ）C（n）？

这提示了以下定义。

假设基数κ是C（n）可测的，如果有一个初等嵌入j : V → M，某个传递类M，临界点Cr I t（j）=κ并且j（κ）∈C（n）。

观察到ifj:V→M =∞Ult（V，U），M传递，是超幂元素-从κ上的非主κ-完全超滤子获得的嵌入，然后2κ《j（κ）《（2κ）+（参见【5]).

因此，由于Vj（κ）1v暗示j（κ）是一个（强极限）基数，j不能证明κ的C（1）可测性。尽管如此，通过使用迭代超幂（参见【4】，19.15）中，对于每个基数α》2κ，α次迭代超幂嵌入jα:V→mα=∞Ult（V，Uα），其中Uα是U的α次迭代，具有临界点κ，jα（κ）=α。

因此，如果κ是可测的，那么对于每个n，总是可以找到一个初等嵌入j : V → M，M传递，其中j（κ）∈C（n）。

因此，我们展示了以下内容。

命题1.1每个可测基数都是C（n）-可测的，对于所有n。

在强基数的情况下也会出现类似的情况。

假设基数κ是c（n）-强的，如果对于每个λ》κ，κ是λ-c（n）-强的，也就是说，存在一个初等嵌入j : V → M，m传递，具有临界点κ，并且使得j（κ）》λ，Vλ ⊆ M，j（κ）∈c（n）。

等效地（参见【5】，26.7），κ是λ-c（n）-强的当且仅当存在一个（κ，β）-扩张子e，对于某些β》| vλ|，其中Vλ ⊆ ME和λ《je（κ）∈c（n）。

现在假设j : V → M证明了κ的λ-强性，其中j（κ）在C（n）中不是必要的。

设E是从j得到的（κ，j（κ））-扩张子，设jE : V → ME是相应的λ-强嵌入（见【5]).那么在ME中，E◪:= jE（E）是一个（jE（κ），jE（j（κ）））-扩张子，它产生一个具有临界点jE（κ）的初等嵌入jE◪:ME→ME◪。

还是在我，让你成为由jE♀导出的jE（κ）上的标准jE（κ）-完全超滤子，即，u = { x⊆je（κ）:je（κ）∈je♀（x）}设jU : ME → M是对应的初等嵌入。

那么可以迭代jU α次，对于一些大于2je（κ）的α∈C（n），使得如果jα : ME → Mα是所得的初等嵌入，那么jα（jE（κ））=α。

设k:= jα♀jE，则k : V → Mα是具有临界点κ且k（κ）∈C（n）的λ-强初等嵌入。我们由此证明了以下几点。

命题1.2对于所有n，每个λ-强基数都是λ-C（n）-强基数。

因此，对于每个n，每个强基数都是C（n）-强基数。

因此，对于可测或强基数κ，对于相应的初等嵌入j V M，j（κ）属于C（n）的要求不会产生更强的大基数概念。

但是，正如我们接下来将看到的那样，在超强嵌入的情况下，情况完全改变了，也就是说，当j使得Vj（κ）M时。

在接下来的部分中，我们将在通常的大型基数层次结构的各个级别上分析C（n）-基数的概念，从超强基数开始，直到秩到秩的嵌入。

在几乎所有的情况下，我们将证明相应的C（n）-基数形成一个更细的层次。

C（n ）-基数的概念将被证明在超紧基数和vopenka原理（VP）之间的区域特别有用。

在那里，我们将在C（n）可扩基数的存在性、VP的限制形式和结构类的自然反射原理之间建立新的等价关系。

C（n）-基数等级的一些重要区域尚未被探索，例如C（n）-Woodin基数；

一些需要进一步研究，例如C（n）-超紧基数；

还有许多悬而未决的问题，例如，C（n）-超紧基数是否形成一个层次，或者C（n）-超紧基数和C（n）-可扩基数之间的确切关系。

这方面的进一步工作已经在进行中。

让我们指出，本文所考虑的所有C（n）基数（上一节中的基数除外）的存在性的一致性是由一个E0基数（即一个基数κ）的存在性的一致性得出的，对于这个基数存在一个非平凡的初等嵌入j Vδ Vδ，some δ，其中κCr I t（j）。

在Vδ中，κ是C（n）-超强，C（n）-可扩，C（n）-超紧，C（n）-k-巨大，并且c（n）-super huge，对于所有n，k ≥ 1（定理7.1，第节。7).

2，超强红雀

接下来我们将看到，在超强基数κ的情况下，对于n》1，j（κ）C（n）的要求产生了越来越强的大基数主原则的层次。

定义2.1如果存在一个初等嵌入j : V → M，m传递，临界点为κ，VJ（κ）⊆m，j（κ）∈c（n），则基数κ是c（n）-超强。

请注意，如果j V M .证明了κ是C（n）-超强的，那么Vκ是Vj（κ）的一个元素子结构，因此κC（n）。

因此，每个C（n）-超强基数都属于C（n）。

命题2.2如果κCr I t（j），其中j V M是初等嵌入，M是传递的且Vj（κ）M，则j（κ）C（1）。

因此，每个强基数都是C（1）-强基数。

证明由于κ∈C（1），M满足j（κ）∈C（1），即M满足j（κ）是强极限基数且Vj（κ）= Hj（κ）。

但由于（Vj（κ））M = Vj（κ），j（κ）在V中是一个强极限基数，其中Vj（κ）= Hj（κ），因此j（κ）∈C（1）。

п观察到对于n ^ 1，句子“κ是C（n）-超强”是σn ^ 1，对于κ是c（n）-超强当且仅当∃β∃μ∃e(κ《β《μ∧μ∈c（n）∧e是（κ，β）-扩张子∧ E ∈ Vμ ∧vμ| =“je（κ）∈c（n）∧vje（κ）⊆me“）。

命题2.3对于每一个n ≥ 1，如果κ是C（n+1）-超强，那么在κ上存在κ-完全正规超滤子U使得{α《κ:α是C（n）-超强}∈ U因此，第一个C（n）-超强基数κ，如果存在的话，就不是C（n+1）-超强基数。

证明假设κ是c（n+1）-超强，由具有相关初等嵌入的（κ，β）-扩张子e证明jE = j : V → M使得β= j（κ）和VJ（κ）⊆m .

由于j（κ）∈c（n+1），VJ（κ）| =“κ是C（n）-超强“。

并且由于κ∈C（n+1），M | =“j（κ）∈C（n+1）”。

因此，因为Vj（κ）=（Vj（κ））M，并且因为“κ是C（n）-超强”是σn+1陈述，所以我们有:m | =“κ是C（n）-超强”。

现在使用标准参数（例如参见【5】，5.14，5.15或22.1）可以证明集合{α《κ:α是c（n）-超强}属于κ-完全正规超滤子u:= { x⊆κ:κ∈j（x）}。

п以下命题给出了C（n）-超强基数在通常的大基数层次中的相对位置的一个上界。回想一下，κ是λ-超紧的，如果有一个初等嵌入j V M，M是传递的，Cr I t（j）κ，j（κ）》λ，并且M在λ-序列下是闭的。

等价地，如果在κ（λ）上存在κ-完全、精细和正规超滤子，则κ是λ-超紧的（参见【5], 22.7).κ是超紧的，如果它对所有λ是λ-超紧的。

命题2.4如果κ是2κ-超紧的且属于C（n），那么在κ上存在κ-完全正规超滤子U，使得小于κ的C（n）-超强基数的集合属于U证明设j : V → M是来自pκ（2κ）上的κ-完备细正规超滤子V的初等嵌入。

设j∫:= j T vκ+1。

所以，j∫:vκ+1→Mj（κ）+1是初等的，j∫∈M .因此M | =“j∫:vκ+1→Vj（κ）+1是初等的”。

因为κ∈C（n），所以M | =“j（κ）∈C（n）”。

因此，M | =“κ是κ+1-C（n）-可扩的”（参见定义3.2).

因此，如果U是从j导出的κ上的标准超滤子，则我们有{α《κ:α是α+1-C（n）-可扩的}∈ U现在在【5】，命题26.11（a），人们可以证明如果α是α+1-C（n）-可扩的，那么α是C（n）-超强的。п

3，c（n）可扩基数

回想一下，基数κ是λ-可扩的，如果有一个基本嵌入j Vλ Vμ，某个μ，具有临界点κ，并且j（κ）》λ。

并且κ是可扩的，如果它对所有λ》κ是λ–可扩的。

下一个引理暗示每个可扩基数都是超紧的。

引理3.1（马吉德【8】）假设j VλVμ是初等的，λ是极限序数，κ是j的临界点。

那么κ《λ-超紧。证明固定γ《λ并定义uγ= { x⊆pκ（γ）:j“γ∈j（x）}。

请注意，如果j（κ）》γ，这是有意义的，在这种情况下，很容易检查Uγ是κ-完全，精细和正常的度量。

否则，设j ^ 1 = j且JM+1 = j♀JM。

如果jm（κ）》γ对于某个m，则使用JM而不是j来定义Uγ.

但这样的m确实存在，否则δ:= supm（JM（κ））≤γ《λ，然后由于j（δ）=δ我们将有j T Vδ+2 : Vδ+2 → Vδ+2是具有临界点κ的初等的，与Kunen定理相矛盾（【6];另见【5], 23.14).п定义3.2对于基数κ且λ＞κ，我们说κ是λ-C(n)-可扩的，如果有一个初等嵌入j Vλ Vμ，某μ，有临界点κ，且使得j (κ)＞λ且j (κ) C(n)。

我们说κ是C(n)-可扩的，如果它对所有λ＞κ是λ-C(n)-可扩的。

命题3.3每个可扩基数都是C(1)-可扩的。

证明假设κ可扩且λ大于κ。

在C(1)中取λ◼≥λ，设j:Vλ◼→Vμ是cr i t ( j) = κ且j(κ)＞λ◼的初等嵌入。

因为λ♀是一个基数，Vλ♀= Hλ♀，通过j的初等性，我们也得到μ是一个基数，Vμ = Hμ。

因此μ ∈ C(1)。

因为，再一次根据初等性，Vμ |= j (κ) ∈ C(1)，所以得出j (κ) ∈ C(1)。

п注意，如果j Vλ Vμ有临界点κ，而κ，λ，μ C(n)，那么j (κ) C(n)自动跟随。

显然，如果κ是C(n)-可扩的，那么κ ∈ C(n)。

但更多的是真的。

命题3.4如果κ是C(n)-可扩的，那么κ ∈ C(n+2)。

n上的归纳法证明。

每个可扩展基数都在C(3)中(参见[5]，23.10)，它处理n = 0和n = 1的情况。

现在假设κ是C(n)-可扩的并且∃xϕ(x)是σn+2句，其中ϕ是пn+1，在Vκ中有参数。

如果∃xϕ(x)在Vκ中成立，那么既然由归纳假设κ ∈ C(n+1)我们有∃xϕ(x)在v中成立现在假设a是这样的ϕ(a)在v中成立用a ∈ Vλ挑λ＞κ，设j : Vλ → Vμ是初等的，有临界点κ且j (κ)＞λ。

那么由于j (κ) ∈ C(n)，并且由于ϕ(a)是参数a ∈ Vj(κ)中的一个пn+1句子，我们得到Vj(κ) |= ϕ(a)，因此根据初等性，Vκ |= ∃xϕ(x).п

让我们观察到，对于任何给定的α＜λ，关系“α是λ-C(n)-可扩的”是σn+1(n≥1)，因为它成立当且仅当∃μ∃ j ( j : Vλ → Vμ ∧ j初等∧ cr i t ( j) = α ∧ j(α)＞λ ∧ j(α) ∈ C(n))。

因此，“x是C(n)-可扩基数”是x的一个пn+2性质。

命题3.5对于每个n ^ 1，如果κ是C(n)-可扩的且κ^ 1-C(n+1)-可扩的，那么C(n)-可扩的基数的集合在κ以下是无界的。

因此，第一个C(n)-可扩基数κ，如果存在的话，不是κ+1-C(n+1)-可扩的。

特别地，第一可扩基数κ不是κ+1-C(2)-可扩的。

证明假设κ是C(n)-可扩的和κ+1-C(n+1)-可扩的，由j:Vκ+1 → Vj(κ)+1。

由于j (κ) ∈ C(n+1)，Vj(κ) |= "κ是C(n)-可扩的"。

因此，对于每个α＜κ，Vj(κ) |= "∃β＞α(β是c(n)-可扩的)"，因为这是由κ见证的。根据j的初等性，对于每个固定的α＜κ，有β＞α使得，Vκ |= "β＞α ∧ β是C(n)-可扩的"。

因为，根据命题3.4，κ ∈ C(n+2)，β是V . п中的C(n)-可扩的

命题3.6对于每一个n，如果存在一个C(n+2)-可扩基数，则存在一个C(n)-可扩基数的真类。

由最后一个命题证明，如果κ是C(n+2)-可扩的，那么C(n)-可扩的基数的集合在κ以下是无界的。

现在这个命题很容易从这样一个事实得出:如果κ是C(n+2)-可扩的，那么κ ∈ C(n+4)(命题3.4)，以及C(n)-可扩是一个пn+2-性质的事实。

п然而，注意，C(n+1)-可扩基数κ的存在并不意味着大于κ的C(n)-可扩基数的存在。

因为如果λ是最小这样的C(n)-基数，那么NVλ就是ZFC加“κ是C(n+1)-可扩的”的模型，因为λ C(n+2)(命题3.4)并且是C(n+1)-可扩的是κ的一个пn3性质。

而Vλ也满足“不存在大于κ的C(n)-可扩基数”，因为任何这样的C(n)-可扩基数都将是V中的C(n)-可扩基数，因为κ C(n+2)。

下一个命题给出了C(n)-超强基数的一个上界。

命题3.7如果κ是κ+1-C(n)-可扩的，那么κ是C(n)-超强的，并且在κ上存在一个κ-完全正规超滤子U使得小于κ的C(n)-超强基数的集合属于U。

证明如在[5]，命题26.11 (a)。п

4，沃佩恩卡原理

本节建立在[1]，用C(n)-可扩基数给出了Vopeˇ nka原理的新的更清晰的特征。回想一下，Vopeˇ nka的原理(VP)指出，对于同一类型的每个适当的结构类，都存在一个B，使得A基本上可嵌入到B中。

VP可以在集合论的一阶语言中被公式化为一个公理模式，即作为一个无限的公理集，每个公理对应一个具有两个自由变量的公式。

形式上，对于每个这样的公式ϕ(x，y)有一个公理:

∀x [(∀y∀z(ϕ(x，y) ∧ ϕ(x，z) → y和z是同类型的结构)∧∀α ∈

或

∃y(rank(y)＞α ∧ ϕ(x，y)→∃y∃z(ϕ(x，y) ∧ ϕ(x，z) ∧ y /= z ∧ ∃e(e : y → z是初等的))】。

从今以后，VP将被理解为这个公理模式。

例如，ZFC加VP理论意味着可扩展基数类是固定的，即每个可定义的俱乐部固有类都包含一个可扩展基数([8]).

它的一致性是众所周知的ZFC的一致性加上一个几乎巨大的基数的存在(见[5]，或[4]).

下面我们将给出关于C(n)-基数的精确等价。

让我们考虑VP的下列变体，第一个显然比第二个强得多。

我们说一个类是σn(пn ),如果它是可由集合论语言的σn(пn)公式带参数定义的。

如果不涉及参数，那么我们使用字体类型σn(пn)。

定义4.1如果γ是σn，пn，some n ω中的一个，κ是一个无穷基数，那么我们写V P(κ，γ)作如下断言:

对于同类型τ的每个γ真结构类，使得τ和的某些γ-定义的参数(如果有的话)都属于Hκ，反映在k之下，即对于每个B，存在一个Hκ基本上可嵌入到B中。

如果γ是σn，пn，或σn，пn，some n ω中的一个，我们为下面的陈述写V P(γ):对于集合论语言的每一个γ真结构类，都有一个(等价地，有限多个)额外的1元关系符号，在C中存在不同的A和B，A基本嵌入B。

σ1类的VP是ZFC的一个结果。

事实上，以下情况成立。

定理4.2如果κ是不可数基数，那么σ1可定义的、参数在Hκ中的同类型τ Hκ的每一类(不一定是真的)结构都在κ下面反射。

因此，V P(κ，σ1)适用于每一个不可数的基数κ。

证明固定一个不可数基数κ和一类同类型结构τ Hκ，可由带Hκ中参数的σ1公式定义。

给定B，设λ是大于κ的正则基数，B为Hλ，N是Hλ的初等子结构，基数小于κ，包含B和{τ }的传递闭包和c的σ1定义中的参数。

设A和M分别是B和N的传递塌缩，设j : M → N是塌缩同构。

那么A e Hκ，而j T A : A → B是初等嵌入。观察到j (τ) = τ。

因此，由于σ1公式对于传递模型是向上绝对的，并且由于M |= A e C，我们有A e C. п相比之下，Vopeˇ nka关于п1真类的原理意味着存在非常大的基数。

定理4.3

如果V P(п1)成立，那么存在一个超紧基数。

如果V P(п1)成立，那么就存在一类适当的超紧基数。

证明(1)。

设C是(Vλ+2，e，α，λ)形式的结构类，其中λ是大于α的最小极限序数，使得没有κ≤α＜λ-超紧。

我们声称C是没有参数的п1可定义的。

当且仅当X = (X0，X1，X2，X3)，其中X2是序数X3比X2大一个极限序数(3) X0 = VX3+2X1 =eT X0并且以下在(X0，X1)中成立:

6κ ≤ X2(κ不＜ X3-超紧)

6μ(μ极限ˇX2 ＜μ＜ X3→еκ≤X2(κ是＜μ超紧))。

如果没有超紧基数，那么C就是一个适当的类。

所以由V P(п1)，在C和an中存在结构(Vλ+2，e，α，λ) /= (Vμ+2，e，β，μ)j : (Vλ+2，e，α，λ)→ (Vμ+2，e，β，μ)。

因为j必须将α发送给β，将λ发送给μ，所以j不是恒等式，否则这两个结构将是相等的。

因此由库宁定理([6];另见[5]，23.14)我们必须有λ＜μ。

顺便说一下，λ和μ分别由α和β唯一定义，这意味着当没有κα＜λ-超紧时，有一些κβ＜λ-超紧，因此α＜β。

所以j有临界点κ α。

现在接下来是引理3.1κ＜λ-超紧。

但这是不可能的，因为Vλ 2，，α，λ。

(2).固定一个序数ξ，以表明有一个超紧基数大于ξ，我们的论证如上。

现在唯一的困难是保证κ＞ξ。

但这可以通过设C是Vλ+2，α，λ，γγ ≤ξ的结构类来实现，其中α＞ξ，λ是大于α的最小极限序数，使得没有κα＜λ-超紧。

这个类现在有1个定义能够将ξ作为附加参数。

如果ξ以上没有超紧基数，那么C就是真类。

像以前一样，我们在C语言中的两个不同结构之间有一个基本的嵌入j，现在它必须是恒等式

在小于或等于ξ的序数上，使j有临界点κ与ξ＜κ.

一个矛盾就像以前一样出现了。

п对于任何给定的同类型的п1类结构，人们可能想知道需要多少超紧性来保证VP成立。

下一个命题给出了一个上界。

假设一个极限序数λ捕获了一个适当的类，如果与λ相交的元素的序数秩的类在λ中是无界的。

即，对于每个小于λ的α，存在一个严格介于α和λ之间的秩。

请注意，如果是пn，则C(n+1)中的每个λ都大于пn捕获定义中涉及的参数的秩。

如果α＜λ，则断言在秩大于α的中有一个结构可以写成带参数α的σn-1句和某些定义的参数。

而且既然这句话在V中成立，而λ C(n+1)，那么在Vλ中也成立。

还要注意，通过类似的论证，C(2)中的每个基数都属于C(1)的所有极限点的п1可定义类Lim(C(1))，而且，它捕获了所有п1真类。

然而，最小序数λ在Lim(C(1))中捕获所有п1真类的严格小于C(2)中的最小序数μ。

关键是，固定一个枚举ϕn(x) n＜ω的所有п1公式定义适当的类，句子eλEx(λe Lim(C(1))ˇx = vλˇ6n(vλ| = 6αeβ>αea(rk(a)＞βˇ| = 1 ϕn(a))))是参数ϕn(x中的σ2)n＜ω，因此它由μ反映，从而产生Lim(C(1))中的λ＜μ，其捕获所有п1真类。

命题4.4设C是同类型结构的п1真类。

如果存在一个基数κ＜λ-超紧，对于一些λ e Lim(C(1))大于捕获C的κ，那么VP对C成立。

证明因为λ捕获C，所以在Vλ中存在C的任意高阶的元素。

所以，由于λ e Lim(C(1))，我们可以发现δ＜λ使得Vδ = Hδ，并且B e C ∩ Vδ的秩大于κ。

设j : V → M是临界点为κ的初等嵌入，j (κ)＞δ，M在δ-序列下闭。

由于B e M和C是п1可定义的，M |= "B e C "。

并且由于M在δ-序列下是闭的，所以基本嵌入j T B : B → j (B)属于M。

因此，M |= "E A e C Ee(秩(A)＜j(κ)ˇE:A→j(B)是初等的)，由于这是由B和j T B见证的。

通过基本性，同样的必须在V中成立，即，E A e C Ee(秩(A)<κˇe:A→B是初等的)，这正是我们想要的。

п接下来我们给出定理的一个强逆4.3。

定理4.5 ([1])假设那是同类型τ的σ2(不一定真)类结构，假设存在一个超紧基数κ大于出现在的某个σ2定义中的参数的秩，且与τ Vκ。

那么对于每个B，存在一个基本上可嵌入B的Vκ。

证明固定一个σ2公式ϕ(x，y)和一个集合b使得B ϕ(B，b)，并假设κ是一个具有b Vκ的超紧基数。

固定B，设λ C(2)大于秩(B)。

设j V M是具有M个传递临界点κ的初等嵌入，使得j (κ)＞λ且M在λ-序列下是闭的。因此，B和j T B : B → j (B)以M为单位，还有Vλ e M .

因此vλ∫1m .

此外，由于j (τ) = τ，j (B)是τ型结构，j T B是初等嵌入。

因为vλ∫2v，Vλ |= ϕ(B，b)。

并且由于σ2公式在Vλ和m之间是向上绝对的，M |= ϕ(B，b)。

因此，在m中确实存在X e Mj(κ)使得ϕ(X，b)，即b，并且存在初等嵌入e : X → j (B)，即j T B。

因此，通过初等性，在v中同样成立；也就是说，存在X e Vκ使得ϕ(X，b)，并且存在一个初等嵌入e : X → B.

п下面的推论给出了Vopeˇ nka原理对于п1和σ2类在超紧性方面的特征。

在接下来的两个推论中,(2)和(3)的等价性已经在[1].推论4.6以下是等价的:

(1)V P(п1)。

(2)V P(κ，σ2)，对于某些κ。

(3)存在一个超级紧基数。

证明(2)证明(1)是直接的。

(1)(3)由定理给出4.3, (1).和(3)从定理中得出(2)4.5。

п下一个推论给出了参数化版本。

蕴涵式(1) (3)由定理给出4.3, (2).推论4.7以下是等价的:

(1)V P(п1)。

(2)V P(κ，σ2)，

(3)对于一类适当的基数κ。

存在一类适当的超紧红衣主教。

接下来，我们将根据反射的自然原理给出超紧性的一个特征。

从定义中回忆4.1基数κ反映了一类相同类型的结构，如果对于每个B都存在一个基本可嵌入B的Hκ。

定理4.8(马吉德[8])如果κ是反映п1真类的最小基数c的结构形式(Vλ，e)，那么κ是超紧的。

证明对于每个大于κ的λ，存在α＜κ和一个初等嵌入jλ : (Vα，e) → (Vλ，e)。

设α是一类适当的极限λ嵌入的最小序数。

我们可以假设jλ不是恒等式，因为如果它们是λ的一个适当类的恒等式，那么Vα将是V的基本子结构，这是不可能的，因为α是可定义的。

我们也可以假设所有这些嵌入的临界点是相同的，比如说β，而β是最小的。

此外，我们可以假设β的像总是相同的，否则对于λ的一个适当的类，嵌入jλ T Vβ的恒等式将证明Vβ是VJλ（β）的基本子结构，而jλ（β）形成一个适当的类，这又将暗示Vβ是V的基本子结构，这是不可能的，因为β是可定义的。

因此设δ最小使得对于极限λ的适当类C，α相同，jλ不是恒等式，临界点β相同，并且jλ（β）δ。

通过引理3.1，β《α-超紧。因此，根据jλ的初等性，δ为《λ-对所有λ C都是超紧的，因此δ是超紧的。

因此δ κ，因为δ反映了，根据定理4.5κ是最不重要的基数。

所以假设，针对一个矛盾，δ》κ。

根据定理4.5，δ反映了形式为Vλ，γ的结构的适当类，其中λ是极限阶，γ《λ，即п1。因此，与前面类似，对于一类适当的极限λ，存在固定的γ《α《κ和基本嵌入kλ Vα，γ Vλ，κ，它们都具有相同的临界点，并且其临界点的图像点是小于或等于κ的某个固定序数，与δ的最小值相矛盾。

п最后两个定理给出了第一超紧基数的下列特征。

推论4.9以下是等价的:

(1)κ是第一个超紧凑基数。

(2)κ是反映所有σ2可定义的、参数在Vκ中的同类型结构类的最小基数。

即κ是V P（κ，σ2）成立的最小序数。

(3)κ是反映Vλ形式的п1类结构的最小基数λ一个序数。

用定理证明κ是超紧基数4.5v P（κ，σ2）成立，因此κ反映了结构类（Vλ，e），λ是序数。

所以根据定理4.8，（1），（2）和（3）是等价的。

пDavid Asperó指出了最后一个推论的以下参数化版本。

推论4.10当且仅当κ是超紧基数或超紧基数的极限时，基数κ反映相同类型的所有п1（真）类结构。

显然，证明п1类结构的反射性质在极限下是封闭的。

所以如果κ是超紧基数或超紧基数的极限，那么Theo- rem4.5意味着κ反映了所有п1类。

另一个方向可以像定理1中那样得到证明4.3(2).

п对于更高复杂度的类，我们将证明下一个类似的结果，为此我们将需要C（n）可扩展的基数。

定理4.11对于每一个n ≥ 1，如果κ是C（n）–可扩基数，则每一个σn+2可定义的、参数在Hκ中的同类型τ e Hκ的结构类C在κ下反射。

因此V P（κ，σn+2）成立。

证明固定σn+2公式Exϕ(x，y，z），其中ϕ是пn+1，使得对于某些集合b e Vκ = Hκ，Exϕ(x，b，b）是一类相同类型的结构τ e Hκ。

固定B e C，设λe C（n+2）大于κ和B的秩。

因此，Vλ |= Exϕ(x，b，b）。

设j Vλ Vμ是具有临界点κ的初等嵌入，j（κ）》λ，j（κ）C（n）。

请注意，B和j T B B j（B）在Vμ中。

此外，由于j固定τ，因此j（B）是τ类型的结构，并且j T B是初等嵌入。

作为κ，λe C（n+2）（参见命题3.4），则得出vκ∫n+2vλ。

所以我们有vλ| =“6x e vκ6θeσn+2（vκ| =θ（x）↔|=n+2θ（x））”。

因此，根据基本原理，vμ| =“6x e VJ（κ）6θeσn+2（VJ（κ）| =θ（x）↔|=n+2θ（x））“，即Vj（κ）∫n+2vμ。

由于j（κ）e C（n），我们也有vλ∫n+1vj（κ），因此vλ∫n+1vμ。

它遵循Vμ |= Exϕ(x，b，b），因为Vλ |= Exϕ(x，b，b）。

因此，在Vμ中存在X e Vj（κ）使得X e C，即B，并且存在初等嵌入e:X→j（B），即j T B .

因此，根据j的初等性，在Vλ中同样成立，即存在X e Vκ使得X e C，并且存在初等嵌入e : X → B。

因为λe C（n+2），A e C，我们就完事了。

п下一个定理产生了定理的一个强逆定理4.11。

中使用的C（n）可扩性的概念1】具有以下明显更强的形式——让我们称之为C（n）+-可扩性:对于λe C（n），基数κ是λ-C（n）+-可扩的，如果它是λ-C（n）-可扩的，由一些j : Vλ → Vμ证明，除了满足j（κ）》λ和j（κ）C（n），也满足μC（n）。

κ是C（n）+可扩的，如果它是λ-C（n）+可扩的。

每个可扩展基数都是C（1）+-可扩展的（见命题的证明3.3).我们将在下面看到，第一个C（n）可扩基数是C（n）+可扩基数，对于所有n。

+定理4.12假设n ^ 1。

如果V P（пn-1）成立，则存在一个C（n）+可扩基数。证明假设不存在C（n）+-可扩展基数。那么序数上的类函数F由下式给出:f（α）=大于α的最小λe C（n+1），使得α不是λ-C（n）+可扩的，对于所有序数α都是这样定义的。设C = {η》0:6α《ηF（α）《η}。所以C是一个闭无界的真类序数，并且包含在C（n+1）中，因为每个η e C都是集合的上确界{ f（α）:α《η}⊆c（n+1）。我们声称C是пn+1可定义的，没有参数。足以看出f是пn+1可定义的。我们有:λ= F（α）当且仅当λC（n+1）α＜λ6β》λ（βe C（n）→vβ| =（α不是λ-C（n）+可扩的）），并且vλ| = 6λ♀》α（λ♀e C（n+1）→（α是λ♀-C（n）+-可扩的）。关键是，对于任何α《λ◪，关系“α是λ◪-C（n）+-可扩的”是σn-1，因为它成立当且仅当EμE j（j:Vλ♀→Vμ是初等的）Cr I t（j）=αˇj（α）》λ♀j（α），μE C（n）。因此它在V中成立当且仅当它在Vλ中成立时，对于任何大于λ◪的λe C（n+1）。而且，如果它在Vβ中成立，其中βe C（n），那么它在V中成立。此外，由于λe C（n+1），对于每个λ♀《λ，我们有λe C（n+1）当且仅当Vλ| =λe C（n+1）。由于上述语句（1）-（4）的合取是пn+1，因此F以及C是пn+1可定义的。设ϕ是定义c的пn+1公式。对于每个序数α，设λα是C大于α的最小极限点。我们有x = λα当且仅当x是属于C的大于α的序数，并且使得（1）VX | = 6βeγ（γ》βϕ(γ）（2）VX | = 6β（β》α→eγ《β6η（γ《η《β→ϕ(η））），这表明函数α‘→λα是пn+1可定义的。现在考虑适当的C类结构Aα的形式（Vλα，e，α，λα，C ∩ α + 1），其中α e C。我们声称C是пn+1可定义的。我们有:X e C当且仅当X =（X0，X1，X2，X3，X4），其中 X2大学X3 = λX2X0 = VX3X1 =eT X0X4 = C ∩ X2 + 1我们已经看到（1）和（2）是пn+1可表示的。不难看出，（3）和（4）也是如此。至于（5），注意X4 C X2 1在V中成立当且仅当它在VX3中成立。所以（5）相当于vx3 | = 6x（x e x4↔ϕ(x ）ˇx e x2+1），可表示为пn+1。所以由V P（пn+1）存在α /= β和一个初等嵌入j : Aα → Aβ。由于j必须将α发送到β，因此j不是恒等式。所以j有临界点κ α。我们声称κ C .否则，γsup（Cκ）《κ。设δ是中最小的序数c大于γ，使得δ《λα。所以κ《δα。因为δ可由α中的γ定义，并且因为j（γ）γ，所以我们也必须有j（δ）δ。但是j T Vδ 2Vδ 2 Vδ 2是一个非平凡的初等嵌入，与Kunen定理相矛盾。因为λαe c（n+1），Vλ |= ϕ(κ).因此根据初等性，vλ| = ϕ( j（κ）。所以自从βλβe C（n+1），则j（κ）e C注意，由于λα e C，我们有κ《F（κ）《λα。因此，j T VF（κ）:VF（κ）→Vj（F（κ））是初等的，临界点为κ。并且由于j（κ）e C，F（κ）《j（κ）。此外，根据j的初等性，Vλβ满足j（F（κ））属于C（n+1），因此由于λβC（n+1）这在V中成立。这表明j T VF（κ）证明κ是F（κ）-C（n）+可扩的。但是根据F . п的定义这是不可能的最后一个定理的证明可以很容易地适用于证明参数化版本:如果V P（пn-1）成立，则存在一个适当的C（n）可扩基数类。固定一个序数ξ，以表明存在一个大于ξ的C（n）可扩基数，我们如上所述进行论证。为了保证κ》ξ，我们现在设be类的结构形式为（Vλα，e，α，λα，C ∩ α + 1，{γ }γ ≤ξ）其中α》ξ和α C .该类现在是пn-1可定义的，ξ是一个附加参数。如果ξ之上没有C（n）可扩基数，则是一个真类。如前所述，我们在中的两个不同结构之间有一个初等嵌入j，它必须是小于或等于ξ的序数上的恒等式，所以j有一个临界点κ，其中ξ《κ。一个矛盾如前所述。

以下推论总结了上述结果。（2）和的等价性（4）在接下来的两个推论中已经证明了【1].推论4.13对于n ≥ 1，下列等式是等价的:（1）V P（пn+1）。v P（κ，σN2），对于某些κ。存在一个C（n）可扩基数。存在一个C（n）+-可扩展基数。定理证明（1）和（4）4.12。（4）（3）和（2）（1）是直接的。和（3）从定理得出（2）4.11。п特别地，由于每个可扩展基数都是C（1）-可扩展的（命题3.3），我们有以下内容。推论4.14以下是等价的:①V P（п2）。v P（κ，σ3），对于某些κ。存在一个可扩展的基数。存在一个C（1）+-可扩基数。我们最终得到了VP的如下特征。（2）、（3）和（5）的等价性已经在【1].推论4.15以下是等价的:v P（пn），对于每一个n。v P（κ，σn），对于一类适当的基数κ，对于每个n。副总裁。对于每一个n，都存在一个C（n）可扩基数。对于每一个n，都存在一个C（n）+-可扩基数。证明很清楚，（3）隐含着（1）而（2）隐含着（3）。所有其他的含义都是从推论中直接得出的4.13。п因为VP的一致性来自于一个几乎巨大的基数存在的一致性（见【5】，24.18和Sect。6），一个几乎巨大的基数给出了通常的大基数层次中所有n-1个C（n）-可扩基数的一致性强度的一个上界。接下来，我们给出了C（n）可扩基数关于结构类反射的一个特征。定理4.16如果n ^ 1和κ是反映同类型结构的所有пn ^ 1真类的最小基数，那么κ是C（n）+-可扩的。证明假设不是这样。然后由4.11没有C（n）-可扩的，因此没有C（n）+-可扩的基数小于或等于κ。因为这样的基数将反映所有σN2（因此所有пn1）类结构，与κ的最小值相矛盾。考虑Vξ，，λ，α，C（n）ξ形式的结构类，其中α《λ《ξ，并且λC（n）ξLim（C（n））ξ的余数是不可数的6β《ξ♀6μ（E j（j:vλ→♀vμˊCr I t（j）=αˊj（α）=β）→E j♀Eμ♀（j♀:vλ→vμ♀μ《ξˇvξ| =“μe C（n）“ˇCr I t（j♀）=αˇj♀（α）=β），以及λ证明小于或等于α的序数都不是λ-C（n）+可扩的。显然，C是一个пn+1可定义的真类。所以存在一个初等嵌入j:（Vξ◪，e，λ◪，α◪，C（n）∩ξ◪）→（Vξ，e，λ，κ，C（n）∩ξ）当（Vξ◪，e，λ◪，α◪，C（n）∩ξ◪）和（Vξ，e，λ，κ，C（n）∩ξ）都在C中时，当（Vξ◪，e，λ◪，α◪，C（n）∩ξ◪）的秩小于κ。所以ξ♀《κ。设α= Cr I t（j）。我们声称αe C（n）。否则，设γ:= sup（C（n）∩α）。所以γ《α。设δe C（n）最小使得γ《δ《ξ◪。由于δ可由γin（Vξ◪，e，λ◪，α◪，C（n）∩ξ◪）和j（γ）=γ定义，因此j（δ）=δ。因此j T Vδ+2 : Vδ+2 → Vδ+2是初等的，与Kunen定理相矛盾。如果JM（α）《ξ♀对于所有m，则{ JM（α）} meωe Vξ♀，因为ξ♀具有不可数的余数，与Kunen定理相矛盾。所以对于某些m我们有JM（α）《ξ♀≤JM+1（α）。我们声称存在一个初等嵌入k:Vλ♀→Vμ，一些μe C（n），其中Cr I t（k）=α，k（α）= JM+1（α）。我们用归纳法在i ≤ m上证明了这一点i = 0取k = j T Vλ◪。现在假设I《m为真。因为j I+1（α）《ξ◪，由（4）上面存在j♀和μ♀使得j♀:Vλ♀→Vμ♀是初等的，μ♀《ξ♀，Vξ♀| =μ♀e C（n），Cr I t（j♀）=α，j♀（α）= j I+1（α）。请注意，由于ξe C（n）和根据j的初等性，vξ| = j（μ◪）e C（n），因此得出j（μ◪）e C（n）。用j组成j♀我们现在得到了k:=（j♀j♀）:Vλ♀→Vj（μ♀）是初等的，有临界点α，k（α）= j I+2（α）。注意，由于α，ξ♀，ξe C（n），因此JM+1（α）e C（n）。因此，k证明α是λ◪-C（n）+-可扩的，与上面的（5）相矛盾。п观察到如果κ是最小C（n）可扩基数，那么通过定理4.11它反映了所有σN2类结构。因此，根据上面的定理，κ是做到这一点的最小基数，因此κ是C（n）+可扩的。推论4.17对于每个n ≥ 1，以下等式是等价的:κ是最小C（n）可扩基数。κ是反映所有σn+2可定义的、参数在Vκ中的同类型结构类的最小基数。即κ是V P（κ，σn+2）成立的最小序数。κ是反映类型结构的所有пn+1个真类的最小基数（Vα，e，A），其中A是一元谓词。用定理证明κ是C（n）可扩基数4.11v P（κ，σn+2）成立，因此κ反映了Vα，，A类型结构的所有пn-1个真类，其中A是一元谓词。定理的证明4.16证明了如果κ是反映特定пn+1个可定义的结构的真C类的最小基数对于形式Vξ，，λ，α，C（n）ξ，其中α《λ《ξ，则κ是C（n）+-可扩的，因此C（n）-可扩的。因此，由于三元组λ，α，C（n）ξ可以很容易地编码为Vξ的子集，因此定理（1）、（2）和（3）的等价性直接成立4.16。п下面的参数化版本也如下。定理4.18当且仅当κ是C（n）可扩基数或C（n）可扩基数的极限时，基数κ反映所有пn-1（真）类同类型结构。

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