数学联邦政治世界观
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Fubini定理

(X,Σ₁,μ₁),(Y,Σ₂,μ₂)是两个 σ 有限测度空间, X × Y,Σ₁ × Σ₂,μ₁ × μ₂) 为其乘积测度空间,因而也是 σ 有限的。对于乘积空间上的一个可测函数 f ,我们要问,对于固定的 x∈X , f(x,·) 作为 (Y,Σ₂,μ₂) 上的函数是否可测,如果可测,其积分 g(x)=∫ʏ f(x,·) dμ₂(y) 作为 x 的函数在 (Y,Σ₁,μ₁) 上是否可测,如果可测,是否有 ∫x gdμ₁(x)=∫x × ʏ fdμ₁ × μ₂?Fubini定理的核心就是要回答上述基本问题。

引理1. 若μ₁,μ₂ 有限,∀E ∈ Σ₁ × Σ₂,x ∈ X ,E(x,·)={y∈Y:(x,y)∈E}称为 E 在 x 处的截面集,则 ∀x ∈ X,E(x,·) ∈ Σ₂,l(x)=μ₂(E(x,·)) 为 Σ₁ 可测,且有 μ₁(l(x))=μ₁ × μ₂(E)

证明:若

E ∈ 𝓡 ={A₁ × A₂,A₁ ∈ Σ₁,A₂ ∈ Σ₂},显然成立。

𝓢 ={E:∀x,E(x,·) ∈ Σ₂,l(x) Σ₁,μ₁(E(x,·))=μ₁ × μ₂(E)}

,则不难知道 𝓢 为 λ 系,又 𝓡 ⊆ 𝓢,故 Σ₁ × Σ₂ ⊆ 𝓢 。◾

引理2. 若μ₁,μ₂ 为 σ 有限,∀E ∈ Σ₁ × Σ₂,x ∈ X ,E(x,·)={y∈Y:(x,y) ∈ E} 称为 E 在 x 处的截面集,则 ∀x ∈ X,E(x,·) ∈ Σ₂,l(x)=μ₂(E(x,·)) 为 Σ₁ 可测,且有 μ₁(l(x))=μ₁ × μ₂(E)

证明:取

Aₙ ↑ X,Bₙ ↑ Y,μ₁ (Aₙ)<∞,μ₂(Bₙ)<∞,由引理1,考虑 (X × Y,Σ₁ × Σ₂,μ₁ × μ₂) 在 Aₙ × B₂ 上的限制,可知 E∩(Aₙ × Bₙ) 满足条件,从而 ᴱ ⁼ ˡⁱⁿ E∩(Aₙ × Bₙ)满足条件。◾ ₙ

由引理2,进而若f 为简单可测函数,则有1) ∀x,f(x,·) Σ₂ 可测,2) lf(x):x → ∫ʏ f(x,·) dμ₂ 为 Σ₁ 可测,3) ∫x lf(x)dμ₁=∫x×ʏ fdμ₁ × μ₂ 。

进而若f 为非负可测函数,可写

i – 1

f=lim hₙ,hₙ=Σⁿ²ⁿᵢ₌₁ ── .

2ⁿ

1{f∈[(i – 1)/2ⁿ,i/2ⁿ)}+n · 1{f≥n}

,从而也满足1),2),3),从而得到定理1:

定理1. 对于任何非负可测函数f , ∀x ∈ X,f(x,·) 为 Σ₂ 可测, lf(x):x → ∫ʏ f(x,·)dμ₂ 为 Σ₁ 可测,且有 ∫x ∫ʏ f(x,y)μ₂(dx)μ₁(dy)=∫x×ʏ fdμ₁ × μ₂ 。

定理2(Fubini定理). 对于任意f ∈ L¹ (X × Y) ,则1) ∀x ∈ X,f(x,·) 是 Σ₂ 可测的,2)对于 α,e. x, f(x,·) ∈ L¹(Y,σ₂,μ₂) , 可积时,令 lf(x)=∫ʏ f(x,·)dμ₂ ,不可积时,令 lf(x)=0,则 lf(x) Σ₁ 可测 ,3) lf(x) ∈ L¹(X,Σ₁,μ₁),∫x lf(x)dμ₁=∫x×ʏ fdμ₁ × μ₂ 。若先对 X 再对 Y 积分,类似的结论成立。

证明:f=f⁺ – f⁻ ,由定理1,可知 lf⁺(x),lf⁻(x) ∈ L¹,从而a.e. 有限,在a.e.意义下有lf(x)=lf⁺(x) – lf⁻ (x),进而可得定理2。◾

推论1. 取X=Y={1,2,· · ·},μ₁({i})=μ₂({i})=1,令 αₘ,ₙ=f(m,n),由Fubini定理可得 Σₘ,ₙ |αₘ,ₙ|=ΣₙΣₘ |αₘ,ₙ|=ΣₘΣₙ |αₘ,ₙ|,若前一式< ∞,则有 Σₘ,ₙαₘ,ₙ=ΣₙΣₘαₘ,ₙ=ΣₘΣₙαₙ,ₘ

推论2(一般可积函数的分部积分公式).f,g ∈ L¹([α,b]) ,令 F(t)=∫ᵗα fdm+F(α),G(t)=∫ᵗα ghm+G(α),则有 ∫ᵇα F · gdm=F · G|ᵇα – ∫ᵇα f · Gdm

证明:

∫ᵇα F(t)g(t)dt=∫ᵇα (∫ᵗα f(x)dx+F(α)) · g(t)dt

=∫ᵇα ∫ᵇα f(x)l{x≤t}g(t)+F(α)g(t)dxdt=∫ᵇα ∫ᵇα f(x)1{x≤t}g(t)dxdt+F(α)G|ᵇα

=∫ᵇα f(x)(∫ᵇα 1{x≤t}g(t)dt)dx+F(α)G|ᵇα=∫ᵇα f(x)(G(b) – G(x))dx+F(α)G|ᵇα

= – ∫ᵇα f(x)G(x)dx+G(b)F|ᵇα+F(α)G|ᵇα=FG |ᵇα – ∫ᵇα fGdm

即得一般可积函数的分部积分公式。◾

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