CAT空间

给定，以 κ ∈ ℝ，以 Mⁿκ 表示如下度量空间：（1）若κ＝0，则 Mⁿ₀ 是欧氏空间 𝔼ⁿ；

（2）若κ＞0，则 Mⁿκ 是由球面 𝕊ⁿ 上以度量

1

乘常数 ── 所得；

√κ

（3）若κ＜0，则 Mⁿκ 是由双曲空间 ℍⁿ 上以

1

度量乘常数 ── 所得.

√–κ

度量空间X 中的测地三角形 Δ 由三个顶点 p，q，r∈X 和三条连接它们的测地线即边 [p，q]，[q，r]，[r，p] 构成，记作 Δ(p，q，r). 在 M²κ 中，如果

d(ˉp，ˉq)＝d(p，q) d(ˉq，ˉr)＝d(q，r) d(ˉr，ˉp)＝d(r，p)，

则称ˉΔ＝Δ(ˉp，ˉq，ˉr) 为 Δ＝Δ(p，q，r) 的相较三角形 (comparison triangle). 当 Δ 的周长 d(p，q)＋d(q，r)＋d(r，p) 小于 2 倍 M²κ 的直径 Dκ，则上述三角形 ˉΔ ⊂ M²κ 一定存在，且在等距同构意义下惟一[1]. 对于 x ∈ [p， r]，若 d(q，x)＝d(ˉq，ˉx) 则称点 ˉx ∈ [ˉq，ˉr] 为 x 的相较点 (comparison point). 若 p ≠ q 且 p ≠ r，则 Δ 在点 p 的角是测地线 [p，q] 和 [p，r] 之间在点 p 的 Alexandrov 角.

定义 1. 令 X 为度量空间，给定 κ ∈ ℝ. 令 Δ 为 X 上周长小于 2Dκ 的测地三角形，ˉΔ ∈ M²κ 为其相较三角形. 若对任意 x，y ∈ Δ 和任意相较点 ˉx，ˉy ∈ ˉΔ 有 d(x，y) ≤ d(ˉx，ˉy)，则称 Δ 满足 CAT(κ) 不等式. 以下两种情况称 X 是 CAT(κ) 空间，或简称 X 是 CAT(κ).

（1）当 κ ≤ 0 时，测地空间 X 中所有测地三角形满足 CTA(κ) 不等式；

（2）当κ＞0 时，X 是 Dκ-测地空间[2]，且其中周长小于 2Dκ 的测地三角形满足 CAT(κ) 不等式.

q ˉq

↙ ↘ ↙ ↘

x ↙ r ˉx ˉr

↙ ↖ ↙ ↖ ↙

p ←y ˉp ← ˉy

定义 2. 对于一个度量空间 X，若它为局部 CAT(κ) 空间，即对于任意 x ∈ X，存在 rₓ＞0 使得球 B(x，rₓ) 及其所诱导的度量是 CAT(κ) 空间，则称 X 的曲率 ≤ κ. 当 X 的曲率 ≤ 0 时，则称其为非正弯曲的 (non-positively curved).

命题 3. 令 X 为 CTA(κ) 空间.

（1）对于任意一对点x，y ∈ X 的测地线（若 κ＞0 要求 d(x，y)＜Dκ），存在惟一连接它们的测地线，且该测地线随其端点连续变化.

（2）在X 中任一长度至多为 Dκ 的局部测地线是测地线.

Dκ

（3）在X 中半径小于 ── 的球是凸的

2

，即球中任意两点可由惟一包含于该球的测地线连接.

（4）在X 中半径小于 Dκ 的球是可缩的.

（5）对于任意λ＜Dκ 和 ε＞0，存在 δ＝δ(κ，λ，ε) 使得若 m 是满足 d(x，y) ≤ λ 的测地线 [x，y] ⊂ X的中点，且

max{d(x，m')，d(y，m')}

1

≤ ─ d(x，y)＋δ.

2

则d(m，m')＜ε.

推论 4. 对于 κ ≤ 0，任意 CAT(κ) 空间是可缩的. 特别地，它是单连通的且其高阶同伦群都是平凡的.

参考

1. 参见 Metric Spaces of Non-positive Curvature, Ⅰ.2.13, Bridson 和 Haefliger 著

2. 即任意距离小于 D_κ 的两点可由测地线相连

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