Baire范畴定理

Baire范畴定理在泛函分析中有着十分重要的作用. 泛函分析四大定理中的三个, 即一致有界性原理、开映射定理和闭图像定理, 它们的证明都需要用到Baire范畴定理. 本文将给出Baire范畴定理及其证明, 同时还将给出上述三个定理及其证明, 并给出它们的一些应用.

1. Baire范畴定理

定义1. 设 (X，d) 为度量空间，M⊂X. 若 ˉM 无内点, 则称 M 为无处稠密的. 若 M 可以表示成 X 中可数个无处稠密子集的并, 则称 M 为 X 的第一范畴子集. 若 M 不为 X 的第一范畴子集, 则称 M 为 X 的第二范畴子集.

定义2. X 的一个子集称为是泛型子集, 若它的补集是第一范畴子集.

定理1 (Baire范畴定理). 设 (X，d) 为非空完备度量空间, 则 X 作为 X 的子集是第二范畴的.

证明. 采用反证法, 假设 X 是无处稠密子集 Fₙ 的可数并，即

X=⋃∞ n=1 Fₙ. (1)

通过将 Fₙ 替换为它的闭包, 我们可以假设每一个 Fₙ 是闭集. 现在只要找到一个点 x∈X 但 x∉∪Fₙ 即可.

由于 F₁ 是闭的并且是无处稠密的, 因此 Fᶜ₁ 是非空开集, 于是存在半径为 r1＞0 的开球 B₁ 它

──

的闭包 B₁完全包含在 Fᶜ₁ 中.

由于 F₂ 是闭的并且是无处稠密的, 因此球 B₁ 不可能完全包含于 F₂， 否则 F₂ 就有非空的内部. 于是 Fᶜ₂∩B₁ 是非空开集, 从而存在半径为 r₂＞0 的球 B₂ 它的闭包包含于 B₁ 和 Fᶜ₂. 显然, 我们可以选取 r₂ 使得 r₂＜r₁/2.

重复这一过程, 我们得到一列球 {Bₙ} 满足如下性质：

(i) 当 n → ∞ 时 Bₙ 的半径趋于 0.

(ii) Bₙ₊₁ ⊂ Bₙ.

───

(iii) Fₙ∩Bₙ 为空.

选择 Bₙ 的任意点 xₙ，那么由于上面的性质(i)和(ii) {xₙ}∞ₙ₌₁ 是柯西列. 由于 X 是完备的, 这个序列收敛到某一极限点, 记作 x. 由(ii)可知

──

x∈Bₙ 对每一个 n 成立, 因此根据(iii)可知 x∉Fₙ 对所有 n 成立. 这与(1)式矛盾，这就完成了对Baire范畴定理的证明.

推论2. 完备度量空间的泛型子集是稠密的.

证明. 采用反证法, 假设 M ⊂ X 是泛型子集但不是稠密的. 那么存在完全包含于 Mᶜ 闭球

──

B. 由于 E 是泛型子集，它的补集可以写成 Eᶜ＝∪∞ₙ₌₁ Fₙ，其中每一个 Fₙ 都是无处稠密的，因此

── ──

B＝⋃∞ₙ₌₁(Fₙ∩B).

── ──

显然 Fₙ∩B 是无处稠密的. 由于 B 是完备度量空间，因此上式与Baire范畴定理相矛盾. 这就完成了推论的证明.

1.1. 连续函数序列极限的连续性

定理3. 假设 {fₙ} 是完备度量空间 X 上的一列连续复值函数, 并且

lim ₙ → ∞ fₙ(x)＝f(x)

对每一个 x∈X 存在. 那么，X 中使得 f 连续的点构成 X 的泛型子集. 换言之，f 的不连续点构成的集合是第一范畴的.

为了证明 f 的不连续点集是第一范畴的, 我们用 f 的振荡来刻画它的连续点. 更准确地说, 我们定义函数 f 在点 x 处的振荡为

osc(f)(x)＝lim ᵣ → ₀ ω(f)(r，x)，其中ω(f)(r，x)＝sup y，z∈Bᵣ(x)|f(y) – f(z)|.

该极限存在, 因为量 ω(f)(r，x) 是 r 的递减函数. 特别地, 我们发现若存在一个以 x 为中心的球 B，使得 |f(y) – f(z)|＜ϵ 对所有 y，z∈B 成立，那么 osc(f)(x)＜ϵ. 此外, 我们还发现：

(i) osc(f)(x)＝0 当且仅当 f 在 x 点连续.

(ii) 集合 Eϵ＝{x∈X：osc(f)(x)＜ϵ} 是开集.

性质(i)直接由连续性的定义得到. 对于(ii)，我们注意到若 x∈Eϵ, 则存在 r＞0 使得 sup y，z ∈Bᵣ/₂(x)|f(y) – f(z)|＜ϵ.

于是，若 x∗ ∈ Bᵣ/₂(x)，则 x∗∈Eϵ，因为

sup y，z∈Bᵣ/₂(x∗)|f(y) – f(z)| ≤ sup y，z∈Bᵣ (x)|f(y) – f(z)|＜ϵ.

引理4. 假设 {fₙ} 是完备度量空间 X 上的一列连续函数, 并且当 n → ∞ 时 fₙ(x)→f(x). 那么, 给定一个开球 B ⊂ X 以及 ϵ＞0, 存在开球 B₀ ⊂ B 以及整数 m ≥ 1 使得 |fₘ(x) – f(x)| ≤ ϵ 对所有 x∈B₀ 成立.

证明. 设 Y 是一个包含于 B 的闭球, 那么 Y 完备的. 定义

Eℓ＝{x∈Y：sup ⱼ，ₖ ≥ ℓ |fⱼ(x) – fₖ(x)| ≤ ϵ}，

那么, 由于 fₙ(x) 对每一个 x 都收敛, 我们有

Y＝⋃∞ℓ₌₁ Eℓ.

此外, 每一个 Eℓ 都是闭集, 因为它是形如 {x∈Y：|fⱼ(x) – fₖ(x)| ≤ ϵ} 的集合的交, 而根据 fj 和 fk 的连续性, 这样的集合都是闭集. 于是，根据Baire范畴定理，必然有某个 Eₘ 包含一个开球 B₀. 根据构造

sup ⱼ，ₖ ≥ m |fⱼ(x) – fₖ(x)| ≤ ϵ，∀x∈B₀.

令 k 趋于无穷大我们发现 |fₘ(x) – f(x)| ≤ ϵ 对所有 x∈B₀ 成立. 这就证明了引理.

证明 (定理3的证明). 设 f 的不连续点构成的集合为 D，那么根据集合 osc(f)(x) 的性质(i)可知

D＝⋃∞ₙ₌₁ Eᶜ₁/ₙ，

其中 Eᶜ₁/ₙ＝{x∈X：osc(f)(x) ≥ 1/n}. 因此为证 D 是第一范畴的, 只需证明每一个 Eᶜ₁/ₙ 都是无处稠密集即可. 或者等价地, 只需证明每一个 E₁/ₙ 都是稠密子集即可. 对于任意 x∈X 以及 ε＞0，根据上一引理，存在开球 B₀⊂Bₓ(ε) 以及整数 m ≥ 1 使得 |fₘ(x) – f(x)|＜1/3n. 于是

sup |f(y) – f(z)| ≤ sup |f(y) – fₘ(y)|

y，z∈B₀ y，z∈B₀

＋|fₘ(y) – fₘ(z)|＋|fₘ(z) – f(z)|＜1/n.

也就是说 B₀⊂E₁/ₙ. 特别地 Bₓ(ε)∩E₁/ₙ 不为空集. 这就证明了 E₁/ₙ 是稠密的.

1.2. 无处可微的连续函数

定理5. C[0，1] 中的无处可微函数构成的集合是泛型子集.

证明. 我们必须证明 [0，1] 上那些至少有一个可微点的函数构成的集合 D 是第一范畴的. 为此, 令 Eɴ 表示全体满足存在 0 ≤ x∗ ≤ 1 使得

|f(x) – f(x∗)| ≤ N|x – x∗|，∀x∈[0，1]

的连续函数构成的集合. 这个集合与 D 通过下面的包含关系联系起来

D⊂⋃∞ɴ₌₁ Eɴ.

为了证明定理, 只需证明对每一个 N，集合 Eɴ 是无处稠密的. 这又可以通过证明以下两点来完成

(i) Eɴ 是闭集.

(ii) Eɴ 的内部为空集.

这样的话 ∪Eɴ 是第一范畴的，从而 D 也是第一范畴的.

性质(i)的证明. 设 {fₙ} 是 Eₙ 中的序列满足 fₙ → f∈C[0，1]. 那么对于每一个 n ≥ 1，存在 0 ≤ x∗ₙ ≤ 1 使得

|fₙ(x) – fₙ(x∗ₙ)| ≤ N|x – x∗|，∀x∈[0，1].

由于 [0，1] 是紧集, 因此序列 {x∗ₙ} 有收敛子列，不妨假设它自身收敛, 即存在 x∗∈[0，1] 使得 x∗ₙ → x∗. 那么，对于任意 ε＞0，当 n 足够大时有

|f(x) – f(x∗)| ≤ |f(x) – fₙ(x)|＋|fₙ(x) – fₙ(x∗ₙ)|＋

|fₙ(x∗ₙ) – f(x∗ₙ)|＋|f(x∗ₙ) – f(x∗)

ε ε ε

| ≤ ──＋N|x – x∗ₙ|＋──＋──

4 4 4

≤ N|x – x∗|＋N|x∗ – x∗ₙ|

3ε

＋──

4

≤ N|x – x∗|＋ε.

对所有 x∈[0，1] 成立. 由 ε 的任意性可知

|f(x) – f(x∗)| ≤ N|x – x∗| 对所有 x∈[0，1] 成立. 这就证明了 Eɴ 是闭集.

性质(ii)的证明. 为证 Eɴ 没有内点，令 P 表示 C[0，1] 中全体分段线性函数构成的集合. 并且, 对每一个 M＞0，令 Pᴍ ⊂ P 表示线段的斜率要么 ≥ M 要么 ≤ – M 的分段线性函数构成的集合. Pᴍ 中的函数自然地称作z-型函数. 需要注意的关键点是，当 M＞N 时 Pᴍ 与 Eɴ 不相交.

引理6. 对每一个 M＞0，z-型函数集合 Pᴍ 在 C[0，1] 中稠密.

证明. 对于任意 f∈C[0，1] 以及 ε＞0, 定义函数 f⁺＝f＋ε 以及 f⁻＝f – ε. 对 n ≥ 1 构造 [0，1] 的一个剖分

1 n–1

0＜──＜⋯＜──＜1，

n n

定义分段线性函数 gₙ 在这些节点处的值为

j j

gn(─)＝f(─)＋(–1)ʲε，0 ≤ j ≤ n.

n n

由于

gₙ(j/n)–gₙ((j–1)/n)

─────────＝(–1)ʲ2nε，

1/n

因此只要 n 足够大, 就有 gₙ∈ Pᴍ. 并且当 n 足够大时, 我们可以证明 f⁻ ≤ gₙ ≤ f⁺，即 sup x∈[0，1]|gₙ – f| ≤ ε. 这就证明了Pᴍ 在 C[0，1] 中稠密.

从引理我们立即得出 Eɴ 没有内点. 事实上, 对于任意给定的 f∈Eɴ 以及 ε＞0 , 我们首先选定一固定的 M ≥ N. 那么, 存在 h∈P(M)使得‖f – h‖＜ε 此外由于 M＞N，故 h ∉ Eɴ. 因此, 任意围绕 f 的开球都不可能完全包含于 Eɴ 这就是要证的结论.

2. 一致有界性原理

定理7 (一致有界性原理]). 设 X 为Banach空间, Y 为赋范空间，(Tᵢ)ᵢ∈ₗ ⊂ B(X，Y)，I 为指标集.

(i) 若

sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢx‖＜∞ (2)

对所有 x∈X 成立, 则 sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢ‖＜∞.

(ii) 若(2)式仅对 X 的某个第二范畴子集中的所有 x 成立, 则结论依然成立.

证明. 只需证明(ii)即可. 假设(2)式对所有 x∈M 成立, 其中 M 是 X 的一个第二范畴子集. 对每一个正整数 n 定义集合

Mₙ＝{x∈X：sup ᵢ∈ₗ ‖Tᵢx‖ ≤ n}，

那么假设条件意味着 M＝∪∞ₙ₌₁ Mₙ. 由于 M 是第二范畴的并且每一个 Mₙ 都是闭集，因此 Mₙ 不可能全是无处稠密的. 也就是说，存在 Mₙ 使得它包含某个球 B(x₀，r)，于是 sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢx‖ ≤ n 对所有 x∈B(x₀，r) 成立. 对于任意 x∈B(0，r)，由于

‖Tᵢx‖ ≤ ‖Tᵢ(x＋x₀)‖＋‖Tᵢ(–x₀)‖ ≤ 2n，

因此 sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢx‖ ≤ 2n 对所有 x∈B(0，r) 成立. 这就意味着定理的结论成立.

若 X 为Banach空间, Y 为赋范空间，设 (Tᵢ)ᵢ∈ₗ ⊂ B(X，Y) 满足

sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢ‖＝∞.

由有界线性算子范数的定义, 任取 i∈I，存在 xᵢ∈X，‖xᵢ‖＝1，使得 ‖Tᵢxᵢ‖ ≥ 1

──

2

‖Ti‖. 因此有

sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢxᵢ‖＝∞.

而如果应用一致有界性原理的逆否命题, 若 supᵢ∈ₗ‖Tᵢ‖＝∞, 则存在 x₀∈X，使得

sup ᵢ∈ₗ‖Tᵢx₀‖＝∞.

x₀ 称为 (Tᵢ)ᵢ∈ₗ 的共鸣点. 即可以将以上的 xᵢ 取为同一个点 x₀，因此上述一致有界性原理也称为共鸣定理.

2.1. 傅里叶级数的发散

现在我们考虑其傅里叶级数在某点发散的连续函数的存在性问题.

设 B＝C[–π，π] 是 [–π，π] 上全体连续复值函数赋予 sup-范数 ‖f‖＝supₓ∈[–π，π] |f(x)| 后构成的Banach空间. f∈B 的傅里叶系数定义为

1

αₙ=ˆf(n)＝─ ∫π–π f(x)eⁱⁿˣ dx，∀n∈ℤ，

2π

f 的傅里叶级数为

f(x) ∼ ∑∞ₙ₌₋∞ αₙeⁱⁿˣ.

此外，该级数的第 N 个部分和定义为

Sɴ(f)(x)＝∑ᴺₙ₌₋ɴ αₙeⁱⁿˣ.

利用卷积可以将上面的部分和写成更优雅的形式, 即

Sɴ(f)(x)＝(f ∗ Dɴ)(x)，

其中

Dɴ(x)＝∑ᴺₙ₌₋ɴ eⁱⁿˣ

sin⁡[(N＋1/2)x]

＝──────

sin⁡(x/2)

是Derichlet核，并且

1

(f∗g)(x)＝──

2π

1

∫π–π f(y)g(x – y)dy＝──

2π

∫π–π f(x – y)g(y)dy

是圆周上的卷积.

定理8. 设 B 是 [–π，π] 上全体连续函数赋予 sup-范数后形成的Banach空间.

(i) 对于任意的给定点 x₀∈[–π，π]，存在连续函数使得它的傅里叶级数在 x₀ 点发散.

(ii) 事实上，傅里叶级数在 [–π，π] 的一个稠密子集上发散的连续函数构成 B 的泛型子集.

证明. 我们先证明(i). 不失一般性，假设 x₀＝0. 令 ℓɴ 表示由

1

ℓɴ(f)＝Sɴ(f)(0)＝──

2π

∫π–π f(–y)Dɴ(y)dy

定义在 B 上的线性泛函. 若(i)不为真，则 supɴ|ℓɴ(f)|＜∞ 对每一个 f∈B 成立. 此外, 若我们能够证明每一个 ℓɴ 都是连续的, 那么一致有界性原理就意味着 supɴ‖ℓɴ‖＜∞. 这样的话， 只要我们能够说明每一个 ℓɴ 都是连续的但当 N 趋于无穷时 ‖ℓ‖ → ∞ 就完成了(i)的证明.

现在，ℓɴ 对每一个 N 都是连续的，因为

1

|ℓɴ(f)|≤──

2π

∫π–π|f(–y)||Dɴ(y)|dy ≤ Lɴ‖f‖，

其中我们定义了

1

Lɴ＝──

2π

∫π–π|Dɴ(y)|dy.

事实上，线性泛函 ℓɴ 的范数恰好等于积分 Lɴ.

引理9. ‖ℓɴ‖＝Lɴ 对所有 N ≥ 0 成立.

证明. 从上文我们已经知道 ‖ℓɴ‖ ≤ Lɴ. 为证反向不等式，只需找到一列连续函数 {fₖ} 满足 ‖fₖ‖ ≤ 1 使得当 k → ∞ 时 ℓɴ(fₖ) → Lɴ. 为此, 首先令 g 表示当 Dɴ 为正时等于 1 当 Dɴ 为负时等于 –1 的函数. 那么 g 是可测的，‖g‖ ≤ 1，并且

1

Lɴ＝──

2π

∫π–πg(–y)Dɴ(y)dy，

其中我们用到了 Dɴ 是偶函数这一事实, 因此 g(y)＝g(–y). 显然, 显然存在一列函数 {fₖ} 满足 –1 ≤ fₖ ≤ 1 对所有 –π ≤ x ≤ π 成立，并使得当 k → ∞ 时，

∫π–π|fₖ(y) – g(y)|dy → 0.

结果，我们发现当 k → ∞ 时 ℓɴ(fₖ) → Lɴ，并且 ‖fₖ‖ ≤ 1，因此 ‖ℓɴ‖ ≥ Lɴ，如所求.

若我们能够证明当 N → ∞ 时 ℓɴ＝Lɴ 趋于无穷大, 那就完成了定理第(i)部分的证明. 这正是我们最后一个引理的内容.

引理10. 存在常数 c＞0 使得 Lɴ ≥ clog⁡ N .

证明. 由于 |sin⁡ y|/|y| ≤ 1 对所有 y 成立，并且 sin⁡ y 是奇函数，我们看到

|sin⁡(N＋1/2)y|

Lɴ ≥ c∫₀π ──────── dy

|y|

|sin⁡ x|

≥c∫₀⁽ᴺ⁺¹/²⁾π ──── dx

x

N–1 |sin⁡ x|

≥c∑ ∫ₖπ⁽ᵏ⁺¹⁾π ──── dx

k＝0 x

N–1 1

≥ c ∑ ──── ∫ₖπ⁽ᵏ⁺¹⁾π|sin⁡ x|dx.

k＝0 (k＋1)π

然而, 对所有 k 我们有 ∫ₖπ⁽ᵏ⁺¹⁾π|sin⁡ x|dx＝∫₀π |sin⁡ x|dx，于是

1

Lɴ ≥ c ∑ᴺ⁻¹ₖ₌₀ ─── ≥ clog⁡ N，

k＋1

这就是我们要证的.

定理8的第(ii)部分的证明是直接的. 事实上, 一致有界性原理的第(ii)部分结合我们刚刚的证明保证使得 sup ɴ|Sɴ(f)(0)|＜∞ 的连续函数 f 构成的集合是第一范畴的, 于是傅里叶级数在原点收敛的函数构成的集合也是第一范畴的. 因此傅里叶级数在原点发散的函数是普遍的. 同样地, 若 {x₁，x₂，⋯} 是任意一组可数的位于 [–π，π] 的点, 那么对每一个 j，由傅里叶级数在 xⱼ 处发散的连续函数构成的集合 Fⱼ 也是普遍的. 因此由傅里叶级数在每一点 x₁，x₂，⋯ 都发散的连续函数构成的集合 ∩∞ⱼ₌₁ Fₓⱼ 也是普遍的, 这就完成了定理的证明.

3. 开映射定理

定义3. 设 X，Y 为度量空间, T：X ↦ Y 为映射. 称 T 为开映射, 如果 T 将开集映为开集，即任取 G⊂X 为开集,

T(G)＝{Tx：x∈G}

为 Y 的开集.

定理11 (开映射定理). 设 X，Y 为Banach空间, 若 T∈B(X，Y) 为满射, 则 T 必为开映射.

证明. 分别记 Bₓ(x，r) 和 Bʏ(y，r) 为中心在 x∈X 和 y∈Y 半径为 r 的开球, 并将中心在原点的开球简记为 Bₓ(r) 和 Bʏ(r). 由于 T 是线性算子, 因此只需证明 T(Bₓ(1)) 包含一个中心在原点的开球即可.

首先, 我们证明一个弱一点的结论，即

────

T(BX(1))包含一个中心在原点的开球. 为此, 注意到 T 是满射，我们有

Y＝⋃∞ₙ₌₁ T(Bₓ(n)).

由Baire范畴定理，T(Bₓ(n)) 不可能都是无处稠密的, 因此存在某个 n 使得

────

T(Bₓ(n)) 包含内点. 注意到 T 是线性算子这一事实, 这意味着对某个 y₀∈Y 以及 ϵ＞0 有

────

T(Bₓ(1))⊃BY(y₀，ϵ).

根据闭包的定义, 我们可以选取一点 y₁＝T(x₁) 满足 ‖y₁ – y₀‖ʏ＜ϵ/2 并且 x₁∈Bₓ(1). 对于任意 y∈Bʏ(ϵ/2)，由

‖y – y₁ − y₀‖ ≤ ‖y‖＋‖y₁ − y₀‖＜ϵ

────

得到 y – y₁∈Bʏ(y₀，ϵ)⊂T(Bₓ(1)). 因此存在 Bₓ(1) 中的序列 {zₙ} 使得 Tzₙ → y – y₁. 又由 ‖x₁＋zₙ‖＜2 可知 T(x₁＋zₙ)∈T(Bₓ(2)). 于是

lim ₙ → ∞ T(x₁＋zₙ)＝Tx₁＋lim ₙ → ∞ Tzₙ＝Tx₁＋y – y₁

───

＝y∈Bₓ(2).

────

也就是说，Bʏ(ϵ/2)⊂T(Bₓ(2)). 再次利用 T 是线性算子这一事实, 我们发现 Bʏ(ϵ/4)

─────

⊂T(Bₓ(1))，这就证明了弱一点的结论. 事实上, 若令 ε：＝ϵ/4 并利用 T 为线性算子这一事实，我们有

─────

T(Bₓ(2⁻ᵏ)) ⊃Bʏ(2⁻ᵏε). (3)

接下来我们证明

T(Bₓ(1))⊃Bʏ(ε/2). (4)

对于任意 y∈Bʏ(ε/2)，利用(3)式，其中 k＝1，可以选取一点 x∈Bₓ(1/2) 使得 y – Tx₁ ∈By(ε/2²). 再次利用(3)，其中 k＝2，可以选取一点 x₂∈Bₓ(1/2²) 使得 y – Tx₁ – Tx₂ ∈Bʏ(ε/2³). 重复这一过程，我们得到一列点 {x₁，x₂，⋯} 满足 ‖xₖ‖＜1/2ᵏ. 由于 X 是完备的, 和 x₁＋x₂＋⋯ 收敛到一点 x∈X 并且 ‖x‖＜∑∞ₖ₌₁ 1/2ᵏ＝1. 此外，由于

y – Tx₁ – ⋯ – Txₖ∈Bʏ(ε/2ᵏ⁺¹)，

并且 T 是连续的, 我们发现 Tx＝y. 这意味着(4)成立，即 T(Bₓ(1)) 包含一个中心位于原点的开球.

推论12. 设 X，Y 为Banach空间，若 T∈B(X，Y) 为一一映射，则 T 的逆 T⁻¹：Y → X 也是有界线性算子，即 T⁻¹∈B(Y，X).

推论13. 假设 X 是一个线性空间, ‖ ⋅ ‖₁ 和 ‖ ⋅ ‖₂ 是 X 上的范数，且 (X，‖ ⋅ ‖) 和 (X，‖ ⋅ ‖₂) 都为Banach空间. 若存在常数 α＞0 使得

‖x‖₁ ≤ α‖x‖₂，x∈X，

则存在 β＞0 使得

‖x‖₂ ≤ β‖x‖₁，x∈X.

也就是说 ‖ ⋅ ‖₁ 和 ‖ ⋅ ‖₂ 为等价范数.

3.1 L¹-函数傅里叶系数的衰减

回到2.1小节讨论的傅里叶级数问题. 回顾Riemann-Lebesgue引理，它断言若 f∈L¹[–π，π]，则

lim|ₙ|→∞|ˆf(n)|＝0，

其中 ˆf(n) 表示 f 的第 n 个傅里叶系数. 一个自然的问题是：给定任意一列在无穷远处退化的复数 {αₙ}ₙ∈ℤ，即当 n → ∞ 时 |αₙ| → 0，是否存在函数 f∈L¹[–π，π] 使得 ˆf(n)＝αₙ 对所有 n 成立?

为了用Banach空间的语言叙述这一问题, 我们用 B₁＝L¹[–π，π] 表示 [–π，π] 上的全体连续函数赋予 L¹ 范数后形成的赋范空间，并用 B₂ 表示全体满足当 n → ∞ 时 |αₙ| → 0 的复数列 {αₙ} 构成的向量空间. 对 B₂ 赋予通常的 sup-范数 ‖{αₙ}‖∞＝sup ₙ∈ℤ|αₙ|，那么 B₂ 显然是一个Banach空间.

我们问，由

T(f)＝{ˆf(n)}ₙ∈ℤ

定义的映射 T：B₁↦B₂ 是否满射.

回答是否定的.

定理14. 由 T(f)＝{ˆf(n)} 给定的映射 T：B1，₁↦B₂ 是线性的、连续的并且是单射, 但不是满射. 因此, 存在在无穷远处退化的复数列，它不是 L¹-函数的傅里叶系数.

证明. 首先 T 显然是线性的, 并且也是连续的, 因为 ‖T(f)‖∞ ≤ ‖f‖ʟ¹. 此外，T 是满射. 因为 T(f)＝0 意味着 ˆf(n)＝0 对所有 n 成立，而这又意味着 f＝0.

─

设 B₁ 是 [–π，π] 上全体连续函数赋予 sup-范数后形成的赋范空间，那么

─

B₁ 是Banach空间. 假设 T 是满射, 那么若我们将 T 看成是从

─

B₁ 到 B₂ 的映射，则 T 满足推论(12)的条件， 因此 T 的逆映射 T⁻¹：B₂

─

→ B₁ 是连续的，这又意味着 T⁻¹：B₂ → B₁ 是连续的. 这样的话我们可以证明 L¹-范数和 sup-范数是等价的，但这是不可能的，因为 B₁ 不是完备的而

─

B₁ 是完备的，矛盾.

4. 闭图像定理

定义4. 设 X，Y 为赋范空间，T：X → Y 为线性算子. 如果 T 的图像

Gᴛ＝{(x，Tx)∈X × Y：x∈X}

在 X × Y 中为闭集, 则称 T 为闭算子.

定理15 (闭图像定理). 设 X，Y 为Banach空间. 若 T：X → Y 为闭线性算子，则 T 是有界的.

证明. 对空间 X × Y 赋予范数 ‖(x，y)‖x×ʏ＝‖x‖x＋‖y‖ʏ，那么容易证明 X × Y 是Banach空间. 由于 Gᴛ 是它的闭子集, 因此也是Banach空间. 考虑投影 Px：G(T) → X，(x，Tx)↦x 和 Pʏ：G(T) → Y，(x，Tx)↦Tx，易证它们都是有界线性算子. 此外 Px 是满射, 因此根据推论(12), 它的逆 P⁻¹x 是有界线性算子. 由于 T＝Pʏ◦P⁻¹x，因此 T 是有界的.

4.1. 关于 Lᵖ 的闭子空间的Grothendieck定理

定理16. 设 (X，F，μ) 是一个有限测度空间，即 μ(X)＜∞. 假设

(i) E 是 Lᵖ(X，μ) 的闭子空间，其中 1 ≤ p＜∞，并且

(ii) E 包含于 L∞(X，μ) 中.

则 E 是有限维的.

证明. 由于 E∈L∞ 并且 X 具有有限测度, 我们发现 E⊂L² 并且

‖f‖ʟ² ≤ C‖f‖ʟ∞，∀f∈E.

定理证明的关键在于反向不等式的证明, 然后利用 L² 的Hilbert空间结构.

赋予 Lᵖ-范数后 E 构成一个Banach空间, 因为它是 Lᵖ(X，μ) 的闭子空间. 令

I：E↦L∞(X，μ)

表示恒等映射 I(f)＝f. 那么 E 是线性的并且是闭的. 事实上, 假设在 E 中 fₙ → f 以及在 L∞ 中 fₙ → g. 那么存在 {fₙ} 的子列几乎处处收敛到 f，因此 f＝g 几乎处处成立, 如所求. 根据闭图像定理, 存在 M＞0 使得

‖f‖ʟ∞ ≤ M‖f‖ʟᵖ，∀f∈E. (5)

引理17. 在定理的条件下, 存在 A＞0 使得

‖f‖ʟ∞ ≤ A‖f‖ʟ²，∀f∈E.

证明. 若 1 ≤ p ≤ 2，则Hölder不等式带共轭指数 r＝2/p 和 r*＝2/(2 – p) 产生

2–p

∫|f|ᵖ ≤ (∫|f|²)ᵖ/²(∫1) ──.

2

由于 X 具有有限测度, 对上式开 p 次方我们发现, 存在 B＞0 使得 ‖f‖ʟᵖ ≤ B‖f‖ʟ² 对所有 f∈E 成立. 结合(5)就证明了 1 ≤ p ≤ 2 的情形.

当 2＜p＜∞ 时, 我们首先注意到 |f(x)|ᵖ ≤ ‖f‖ ᵖ⁻²ʟ∞|f(x)|². 积分这一不等式得到

‖f‖ᵖʟᵖ ≤ ‖f‖ᵖ⁻²ʟ∞‖f‖²ʟ².

现在，若我们利用(5)并假设 ‖f‖ʟ∞ ≠ 0 我们发现, 对于某个 A＞0 有 ‖f‖ʟ∞ ≤ A‖f‖ʟ² 对所有 f∈E 成立，这就完成了引理的证明.

现在我们回到定理16的证明. 假设 f₁，⋯，fₙ 是 E 的一组在 L² 中标准正交的函数, 并令 𝔹 表示 𝕂ⁿ 中的单位球，

𝔹＝{ζ＝(ζ₁，⋯，ζₙ)∈𝕂ⁿ：∑ⁿⱼ₌₁|ζⱼ|² ≤ 1}.

对每一个 ζ∈𝔹，令 fζ(x)＝∑ⁿⱼ₌₁ ζⱼfⱼ(x). 根据构造我们有 ‖fζ‖ʟ² ≤ 1，并且引理表明 ‖fζ‖ʟ∞ ≤ A. 于是对每一个 ζ，存在 X 中的一个满测度的可测集 Xζ (即 μ(Xζ)＝μ(X))，使得

|fζ(x)| ≤ A，∀x∈Xζ. (6)

通过先在 𝔹 中选取一个可数稠密点集，然后利用映射 ζ↦fζ 的连续性, 我们看到(6)意味着

|fζ(x)|≤A，∀x∈X′以及ζ∈𝔹，(7)

其中 X′ 是 X 中具有满测度的集合. 从这，我们断言

∑ⁿⱼ₌₁|fⱼ(x)|² ≤ A²，∀x∈X′. (8)

事实上，只要证明左边不等于零时不等式成立即可. 此时, 若我们令 σ＝(∑ⁿⱼ₌₁|fⱼ(x)|²)¹/²，并设

───

ζⱼ＝fⱼ(x)/σ，则由(7)我们发现对所有 x∈X′

1

─ ∑ⁿⱼ₌₁|fⱼ(x)|² ≤ A，

σ

也就是 σ ≤ A，如我们的断言.

最后，积分(8)，并回忆 {f₁，⋯，fₙ} 是标准正交的, 我们发现 n ≤ A²，因此 E 的维数必然是有限的.

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