Maschke 定理

1.3 Maschke 定理

本节我们主要研究有限群G上有限维 G 模的分解；既然是分解，自然需要“可约”和“不可约”的概念

定义1.3.1 设 V 是一个 G– 模， V 的一个G– 子模是指一个线性子空间 W ⊂ V 满足在 G 的作用下封闭，即 GW ⊂ W ，或者说对任一 g∈G 和任一 ω ∈ W 有 gω ∈ W ；我们也称 W 是一个 G– 不变的子模，记为 W ≤ V

显然{0}和 V 都是 V 的 G– 子模，称为 V 的平凡 G– 子模； G– 子模的概念和线性代数中不变子空间的概念高度接近，可以看作不变子空间这一概念的自然推广

（1）取G＝Sₙ ， V：＝ℂ{1，. . .，n} ，其中数字 1，· · ·，n 仅代表符号，不具有算术意义，则 W＝：ℂ{1＋· · ·＋n} 是 V 的一个一维 Sₙ – 子模；

根据上一节的知识我们知道V 对应的表示就是置换群 Sₙ 的典型表示，记为 X：Sₙ → GL(V) ； X 限制在 Sₙ – 子模 W 上可以得到一个子表示 X|ᴡ：W → GL(W) ，由于元素 1＋· · ·＋n 在 Sₙ 作用下保持不变，子表示 X|ᴡ 是平凡表示，然而当 n ≥ 2 时 W 显然并不是平凡的 Sₙ 子模；

（2）设群G＝{g₁，· · ·，gₙ} ，考虑 G 的正则表示，它生成了一个群代数 ℂ[G]＝{c₁g₁＋· · ·＋cₙgₙ|cᵢ ∈ ℂ} ，置 W：＝ℂ[g₁＋· · ·＋gₙ] ，则 W 是 ℂ[G] 的一维子空间，进一步由 g(g₁＋· · ·＋gₙ)＝g₁＋· · ·＋gₙ，g ∈ G可知 W 是正则表示下的 G– 子模；

（3）考虑Sₙ 的正则表示，它生成群代数 ℂ[Sₙ] ，置

W＝ℂ[∑ sgn(σ)σ].

σ∈Sₙ

对任一 π∈Sₙ ，有

π(∑ sgn(σ)σ)＝∑ sgn(σ)πσ＝sgn(π)∑sgn(σ)σ,

σ∈Sₙ σ∈Sₙ σ∈Sₙ

所以 Sₙ 的正则表示限制在 W 上得到的子表示就是 Sₙ 的符号表示

（reducible），如果 V 包含一个非平凡的 G– 子模，否则称 V 是不可约的（irreducible）；由于 G– 模总是和 G 的线性表示 X：G → GL(V) 一一对应，我们称 X 是可约表示（/不可约表示），如果 V 是可约的（/不可约的）

我们很容易验证：假设V 有限维，则 V 可约意味着存在 V 的一组基 β ，使得对每个 g∈G ， X(g) 均有以下形式

A(g) B(g)

X(g)＝( )，(✶)

0 C(g)

其中每个 A(g) 具有相同的阶数；反之也成立

我们看几个例子：

（1）定义1.3.1下的例子说明，对应于Sₙ 典型表示的 Sₙ– 模 ℂ{1，· · ·，n} （ n ≥ 2 ）是可约的，有非平凡 Sₙ 子模 ℂ{1＋· · ·＋n} ；对应于群 G＝{g₁，· · ·，gₙ}正则表示的群代数 ℂ[G] （ |G| ≥ 2 ）也是可约的，有非平凡的 G– 子模ℂ[g₁＋· · ·＋gₙ] ；

（2）考虑S₃ 的典型表示 X：S₃ → CL(V) ，对应于 S₃– 模 V：＝ℂ{1，2，3} ，取 β＝{1＋2＋3，2，3} 为 V 的一组基，将表示具体写出就是

1 0 0 1 1 0

X(id)＝(0 1 0)，Ⅹ(12)＝(0 –1 0).

0 0 1 0 –0 1

1 0 1 1 0 0

X(13)＝(0 1 –1)，X(23) ＝(0 0 1)

0 0 –1 0 1 0

1 0 1 1 1 0

X(123)＝(0 0 –1)，X(132)＝(0 –1 1 )

0 1 –1 0 –1 0

我们总是希望将一个大空间分解为较小空间的（直）和，或者将大矩阵分解为较小的分块对角矩阵，换句话说就是希望(*) 式中的 B(g)＝0 ；更进一步，我们还希望这种“分解”能够继承大空间的一些性质，比如 G– 不变性，这便是 Maschke 定理的主要内容

定义1.3.3 称一个 G– 模 V 是线性子空间 Ⅹ 和 Y 的G– 模直和，如果 X 和 Y 均是 G– 子模，并且有线性空间的直和 V＝X ⨁ Y ；称 V 是完全可约的（completely reducible），如果 V 可以写成一族不可约 G– 子模的直和，相应也有一个线性表示完全可约的概念

显然不可约蕴含着完全可约

在线性代数的课程中我们学习过以下的结论

定理1.3.4 （替换引理）设 V 为任一非零的线性空间， l 是一个 V 线性无关子集（即任一 l 的有限子集均线性无关）， S ⊂ V 是 V 的一个生成集，满足 l ⊂ S ，则存在 V 的一组基 β 介于 l 和 S 之间，即 l ⊂ β ⊂ S

Pf考虑由所有满足 l ⊂ J ⊂ S 的线性无关子集 J ⊂ V 构成的类 A ，由 l ∈ A 知 A ≠ ф ；

任取 A 中的链（全序子集） {Jλ|λ∈∧} ，置 J：＝∪Jλ ，

λ∈∧

容易证明 J 是一个线性无关的子集，所以 J∈A 是链 {Jλ|λ∈∧} 的上界；

根据 Zorn 引理， A 有极大元，记为β ，可以验证极大性保证了 β 生成 V ，结合 β 线性无关可知 β 为 V 的一组基，并且 l ⊂ β ⊂ S

作为推论，任一子空间总是存在直和补

推论1.3.5 设 X 为 V 的任一线性子空间，则存在 V 的线性子空间 Y 使得 V＝X ⨁ Y 为线性子空间的直和

Pf.在定理1.3.4中取 l 为 X 的一组基， S＝V ，则存在 V 的一组基 β 满足 l ⊂ β ；设 Y 是由 β\l 生成的线性子空间，则 V＝X ⨁ Y

现在要对任一G– 子模 W ⊂ V ，找到 W 在 V 中的 G– 子模直和补

定理1.3.6 （Maschke 定理一般形式）设 G 为有限群，域 F 的特征 p 不整除 |G| ， V 是域 F 上的一个 G– 模；设 U 是 V 的一个 G– 真子模，则必存在 G– 子模 W 使得 V＝U ⨁ W 是 G– 模的直和

定理的证明比较复杂，限于篇幅不在这里给出，详见 一般形式 Maschke 定理的证明

关于 Maschke 定理，我们作几点说明：

（1）首先域特征p 不整除 |G| ，或者说 |G| 在域 F 中不等于零，是必要的，读者可以验证以下的线性表示是可约但不是完全可约的：

设F 是特征 p＞0 的域， G 是由元素 x 生成的 p 阶循环群，线性表示 X：G → GL₂(F) 定义为

1 1

X(x)：＝( )

0 1

（2）如果基域满足特征p 不整除 |G| 的条件，则此时 Maschke 定理可叙述为：任一 G– 模（线性表示）都是完全可约的；

（3）特别地，任一有限群的（有限维）复矩阵表示必为完全可约

事实上（3）有基于复线性空间厄米特内积的更简单证明

定理1.3.7 （有限维复线性表示版本的 Maschke 定理）设 G 为有限群， V 是一个 ℂ 上的有限维 G– 模；设 U 是 V 的一个 G– 真子模，则存在 V 的 G– 子模 W 使得 V＝U ⨁ W 为 G– 子模的直和

Pf.证明的思路是利用厄米特内积构造出“正交”关系

任意取定 V 在 ℂ 上的一组基 e₁，· · ·eₙ ，对 υ，ω ∈ V ， υ＝α₁e₁＋· · ·＋αₙeₙ ， ω＝b₁e₁＋· · ·＋bₙeₙ ，定义 V 上的标准厄米特内积为

── ──

(υ，ω)：＝α₁b₁＋· · ·＋αₙbₙ，

基于此，我们定义 *：V × V → ℂ 为

1

υ * ω：── ∑(gυ，gω).

|G| g∈G

可以验证 * 也是 V 上的一个厄米特内积；

对任一 g∈G ，根据 * 的定义有

1

(gυ) * (gω)＝── ∑ (hgυ，hgω)

|G| h∈G

1

＝── ∑(hυ，hω)＝υ * ω，

|G| h∈G

于是 g 是厄米特内积 * 下的酉变换；

现在定义

W：＝U⊥＝{υ ∈ V|υ * u＝0，∀u ∈ U}，

为 U 关于厄米特内积 * 的正交补空间，则有线性空间的直和分解 V＝U ⨁ W ；最后证明 W 是 G– 子模

任取 ω ∈ W ， g ∈ G ，以及 u ∈ U ，利用 U 的 G– 不变性我们有 (gω) * u＝ω * (g⁻¹u)＝0，因此 gω ∈ w ，这就证明了 W 的 G– 不变性

推论1.3.8 （复矩阵表示版本的 Maschke 定理）设 G 为有限群， X 是 G 的一个 d 维复矩阵表示，则存在一个固定的可逆矩阵 T ，使得对每个 g ∈ G ，有

Ⅹ⁽¹⁾(g)

TX(g)T⁻¹＝( · · · )，

X⁽ᵏ⁾(g)

其中每个 X⁽ⁱ⁾ 均是 G 的不可约复矩阵表示

Pf.设 V＝ℂᵈ 是对应于 X 的 G– 模，则对每个 g∈G 和 υ ∈ V 有 gυ＝X(g)υ，上式右边为矩阵的乘法；根据 Maschke 定理，有分解 V＝W⁽¹⁾ ⨁ · · · ⨁ W⁽ᵏ⁾，其中每个 W⁽ⁱ⁾ 均为不可约的 G– 子模，并且 dim W⁽ⁱ⁾＝dᵢ ；

分别取 W⁽¹⁾，· · ·，W⁽ᵏ⁾ 的有序基 β₁，· · ·，βₖ ，按顺序合成 V 的有序基 β ，则对每个 g∈G ， X(g) 在基 β 下的矩阵表示形如

X⁽¹⁾(g)

TX(g)T⁻¹＝( · · · )，

X⁽ᵏ⁾(g)

其中 X⁽ⁱ⁾ 是 X 限制在 W⁽ⁱ⁾ 上得到的子表示，所以是不可约的

最后作为例子我们分解置换群S₃ 的典型表示

设V＝ℂ{1，2，3} 是与典型表示等同的 S₃– 模，我们知道 ℂ{1＋2＋3} 是 V 的一个一维 S₃– 子模；定义 V 上的厄米特内积 (·，·)：V × V → ℂ 为 (υ，ω)：＝αˉx＋bˉy＋cˉz，其中 υ＝α · 1＋b · 2＋c · 3 ， ω＝x · 1＋y · 2＋z · 3 ；可以验证，对任一 σ ∈ S₃ ，有 (συ，σω)＝(υ，ω) ，即厄米特内积 (·，·) 是 S₃– 不变的；

于是我们很容易计算出ℂ{1＋2＋3} 的正交补空间 ℂ{1＋2＋3}⊥ 为 ℂ{1＋2＋3}⊥＝{α · 1＋b · 2＋c · 3|α＋b＋c＝0}

可以验证ℂ{1＋2＋3}⊥ 不存在一维的 S₃– 子模，故为不可约的；

取ℂ{1＋2＋3} 的基 1＋2＋3 以及 ℂ{1＋2＋3}⊥ 的基 2 – 1 ， 3 – 1 ，则 X 在 V 的有序基 1＋2＋3 ， 2 – 1 ， 3 – 1 下的矩阵表示为

1 1

X(id)＝( 1 0)，X(12)＝( –1 –1 )，

0 1 0 1

1 1

Ⅹ(13)＝( 1 0)，X(23)＝( 0 1)，

–1 –1 1 0

1

X(123)＝( –1 –1) 1).

1 0

1

X(132)＝( 0 1 ).

–1–1

这就得到我们所求的分解

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