希尔伯特基定理

命题1 设 A 为 Noether 环

（1）如果 A ↠ B 是满的环同态，则 [公式] 为 Noether 环；

B同构于A的一个商环

（2）设S⊂A 为乘性子集，则分式环 S⁻¹A 是 Noether 环；特别地，局部化是保持了 Noether 的性质；

Pf. 只需注意到 S⁻¹A 的任一理想均有形式 S⁻¹ l ，其中 l ⊂ A 为 A 的理想

（3）设B 为有限 A 代数，即 B 作为 A– 模是有限生成的，则 B 为 Noether 环；

Pf. 首先 B 是 Noether A– 模，注意到 B 的任一理想（B– 子模）同时也是 A– 子模，因此作为 A– 模是有限生成的，进而作为 B– 模也是有限生成的

我们知道，A 上的除了有有限代数（finite），还有较弱一点的有限生成代数（finite type），即作为环是 A– 有限生成的，希尔伯特基定理实际上就是在证明有限生成代数也保持了环的 Noether 性

定理2 （Hilbert's basis theorem）设 A 为 Noether 环，则对任意的 n ≥ 1 ， A 上的 n 元多项式环 A[X₁，. . .，Xₙ] 也是 Noether 环

Pf 我们采用书上的证明方法

根据自然的环同构 A[X₁，. . .，Xₙ] ≃A[X₁，. . .，Xₙ₋₁] [Xₙ]，可将问题约化为 n＝1 的情形；只需对 Noether 环 A 证明，多项式环 A[Ⅹ] 是 Noether 环即可；

任取理想 l ⊂ A[X] ，我们期望构造有限个元素 f₁，. . .，fₘ ∈ A[X] 使得 l＝(f₁，. . .，fₘ)

ₙ

对任意的 f＝∑ αₖ Xᵏ ∈ A[X]，

ₖ₌₀

αₙ ≠ 0 ，定义 f 的领导系数为 in(f)：＝αₙ.

下面来归纳构造；首先选取 f₁∈l\{0} ，使得次数 deg fₖ₊₁ 最小；现假设已经选取 f₁，· · ·，fₖ∈l ，如果有 l＝(f₁，. . .，fₘ) 则构造终止，否则选取 fₖ₊₁ ∈ l 使得：

（1） fₖ₊₁ ∈ l\(f₁，. . .，fₖ) ；

（2）次数 deg fₖ₊₁ 在满足条件（1）的前提下最小；

现在证明上述构造的过程在有限步内必终止

设 αᵢ：＝in(fᵢ) ，由 A 为 Noether 环可知，理想升链

(α₁) ⊂ (α₁，α₂) ⊂ · · ·

由此可得理想 (α₁，α₂，· · ·，αₖ，· · ·) 有一组生成元 α₁，· · ·，αₘ ；假设上述的构造可以进行到第 m＋1 步，则有表达式

ₘ

in(fₘ₊₁)＝αₘ₊₁＝∑ uᵢαᵢ，

ᵢ₌₁

其中 u₁，· · ·，uₘ∈A ；根据次数的最小性可知，对 i＝1，· · ·，m 皆有

dᵢ：＝deg fₘ₊₁ – deg fᵢ ≥ 0

于是

ₘ

fₘ₊₁ – ∑ uᵢfᵢXᵈⁱ∈l\(f₁，· · ·，fₘ)

ᵢ₌₁

并且其次数严格小于 deg fₘ₊₁ ，这与 fₘ₊₁ 次数的最小性矛盾

这就完成了希尔伯特基定理的证明

对于形式幂级数环，也有类似的结论成立

定理3 设 A 为 Noether 环，则对任意的 n ≥ 1 ， A 上的 n 元形式幂级数环 A[[X₁，· · ·，Xₙ]] 也是 Noether 环

Pf.根据自然的环同构 A[[X₁，· · ·，Xₙ]] ≃ A [[X₁，· · ·，Xₙ₋₁]] [[Xₙ]]，可将问题约化为 n＝1 的情形；只需对 Noether 环 A 证明，形式幂级数环 A[[X]] 是 Noether 环即可；

证明思路与希尔伯特基定理的思路完全类似，不同的是此处考虑形式幂级数的最低次项；

对任一 f＝∑αₙXⁿ∈A[[A]] ，其中 αₘ ≠ 0 ，定义

υₓ(f)：＝αₘ＝min{n|αₙ ≠ 0}，

然后将定理2证明过程中的领导系数 in(f) 定义改为 in(f)：＝υₓ(f)＝αₘ，并将所有的 deg 替换为 υₓ 即可；此后的 f₁，· · ·，fₘ 构造是完全相同的（仍取 υₓ 最小）

学习了环的完备化之后我们将看到，定理3无非是完备化和 Noether 环的相容性

希尔伯特基定理相当重要，后面我们还会反复遇见

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