Krull 维数和 Artin 环的结构

引理 （Prime Avoidance Lemma）

（1）设p₁，· · ·，pₙ 为素理想， l ⊂ A 为理想，如果

ₙ

l ⊂ ∪pᵢ，

ᵢ₌₁

则必存在一个 1 ≤ i ≤ n 使得 l ⊂ pᵢ ；

（2）设l₁，· · ·，lₙ ⊂ A 为理想， p 为素理想，如果

ₙ

∩lᵢ ⊂ p，

ᵢ₌₁

则必存在一个 1 ≤ i ≤ n 使得 lᵢ ⊂ p ；

特别地，可将（1）和（2）的“⊂ ”改为“ ＝ ”

定理 （中国剩余定理，CRT）设 l₁，· · ·，lₙ ⊂ A 是理想，环同态

ф：A → A/l₁ × · · · × A/lₙ

x↦(x＋l₁，· · ·，x＋lₙ)

（1）如果对任意的i ≠ j 有 lᵢ 和 lⱼ 互素，即 lᵢ＋lⱼ＝(1)＝A ，则 l₁ · · · lₙ＝l₁∩· · ·∩lₙ ；、（2）Kerф＝l₁∩· · ·∩lₙ ，进而 ф 为单射 ⇔ l₁∩· · ·∩lₙ＝(0) ；

（3）ф 为满射 ⇔ 对任意的 i ≠ j 有 lᵢ 和 lⱼ 互素 ⇔ A/l₁∩· · ·∩lₙ ≃ A/l₁ × · · · × A/lₙ.

5.4 Artin 环

在前面的章节中我们证明了，一个模同时是 Noether 模和 Artin 模，当且仅当它具有有限长度，即有一个合成列；和模相比，环还有乘法的结构，这就导致 Artin 环的更多特殊性质，本节我们将介绍这些性质，并定义环的 Krull 维数，最后用 Krull 维数给出 Artin 环的结构定理

命题5.4.1 设 A 为 Artin 环

（1）A 的每个素理想均为极大理想；

Pf. 设 p ⊂ A 是素理想，则商环 B＝A/p 是 Artin 整环，我们证明 B 为域

任取 0 ≠ x∈B ，考虑降链

(x) ⊃ (x²) ⊃ · · ·，

根据 Artin 环性质可知，存在 n ∈ ℤ 使得 (xⁿ)＝(xⁿ⁺¹) ，于是存在 y∈B 使得 xⁿ＝xⁿ⁺¹y ，利用整环的消去律即有 1＝xy ，因此 x 可逆

（2）素谱SpecA 是有限集；

Pf.考虑集合 Σ：＝{m₁∩· · ·∩mᵣ|mᵢ ∈ SpecA}，根据降链条件知 Σ 存在极小元，记为 m₁∩· · ·∩mₙ ，则对任一素理想 m ，必有

m∩m₁∩· · ·∩mₙ＝m₁∩· · ·∩mₙ，

即 m₁∩· · ·∩mₙ ⊂ m ；利用 Prime avoidance 引理可知，存在 1 ≤ i ≤ n 使得 m＝mᵢ ，根据极大理想性质即有 m＝mᵢ

（3）A 的幂零根 𝕹 是幂零的；

Pf.对 𝕹 ⊃ 𝕹² ⊃ · · · 使用降链条件可知，存在一个 k∈ℤ 使得 𝕹ᵏ＝𝕹ᵏ⁺¹＝· · ·＝：l.

如果 l ≠ 0 ，考虑

Σ：＝{J ⊂ l ideαl|lJ ≠ 0}，

则由 l²＝l ≠ 0 知 Σ ≠ ф；

根据降链条件可知 Σ 存在极小元，设为 C ≠ 0 ，则 Cl ≠ 0 ，我们证明 C 由一个元素生成

选取 0 ≠ x∈C ，使得 xl ≠ 0 ，则 (x) ∈ Σ ， (x) ⊂ C ，于是由 C 的极小性可知 C＝(x) ；

又因为 xl · l＝xl²＝xl ≠ 0 ，所以 xl ∈ Σ ，继续利用 C＝(x) 的极小性可知 xl＝(x) ，故存在 y∈l 使得 xy＝x ，进而对任一 m ∈ ℤ＞₀ 有 x＝xyᵐ ；但 y∈l＝𝕹ᵏ ⊂ 𝕹 ，故 y 幂零，由此推出 x＝0 ，这与 x 的选取矛盾

接下来我们定义 Krull 维数

定义5.4.2 （Krull 维数）定义环 A 的 Krull 维数为

dim A：sup{n| n p₀ ⊊ · · · ⊊ pₙ}.

任一环A 的 Krull 维数 dim A 必满足 dim A ≥ 0 或 dim A＝∞ ；特别地，域的维数总是 0 ，整数环的维数是 1 ；域 k 上 n 元多项式环 k[X₁，· · ·，Xₙ] 的维数就是 n

dim A＝0 意味着 A 的所有素理想都是极大理想

以下的定理说明，Artin 环就是零维的 Noether 环

定理5.4.3 设 A 为环，则 A 为 Artin 环 ⇔ A 为 Noether 环，并且 dim A＝0

Pf.“ ⇒ ”命题5.4.1表明， A 的素理想均为极大理想，因此 dim A＝0 ；根据笔记（十）推论5.3.9，为了证明 A 是 Noether 环，只需证明存在 A 的一组素理想 m₁，· · ·，mɴ （可能重复），满足 m₁，· · ·，mɴ＝(0) ；设 SpecA＝{m₁，· · ·，mₙ}，

则根据 A 的幂零根是幂零的可知，存在一个充分大的 k ，使得

ₙ ₙ

∏ mᵏᵢ ⊂ (∩mᵢ)ᵏ＝𝕹ᵏ＝(0)，

ᵢ₌₁ ᵢ₌₁

ₙ

因此 ∏ mᵏᵢ＝0

ᵢ₌₁

“⇐”由 dim A＝0 可知， A 的所有素理想均为极大理想；利用 准素分解与诺特环（下）的推论2.6即有 A 中必存在一组素理想（极大理想） m₁，· · ·， mɴ （可能重复），其乘积为零，再利用推论5.3.9即可

下面考虑局部的情形

命题5.4.4 设 A 为 Noether 局部环， m ⊂ A 是极大理想，则以下条件恰有一个成立：

（1）对任意的n＞0 ， mⁿ ≠ mⁿ⁺¹ ；此种情形对应于 A 不为 Artin 环；

（2）存在一个n＞0 ，使得 mⁿ＝0 ；此种情形对应于 A 为 Artin 环

Pf.由命题5.4.1（3）可知，当 A 是 Artin 局部环时，必有 m 幂零；反之如果 mⁿ＝0 ，则结合 A 为 Noether 环和推论5.3.9即有 A 是 Artin 环；

如果对任意的 n＞0 均有 mⁿ ≠ mⁿ⁺¹ ，则 mⁿ 不可能等于零，因而命题5.4.1（3）表明 A 不为 Artin 环；反之如果有 mⁿ＝mⁿ⁺¹ 成立，则根据 Nakayama 引理必有 mⁿ＝0 ，进而推论5.3.9给出 A 必为 Artin 环

例如，设A 为 Noether 环， p ∈ SpecA ，考虑局部化 Aₚ ，它是一个 Noether 局部环，极大理想为 pAₚ ，于是对任意的 n＞0 ，商环 Aₚ/(pAₚ)ⁿ 是 Artin 局部环

定理5.4.5 （Artin 环的结构定理）设 A 为 Artin 环，则 A 环同构于有限个 Artin 局部环的乘积

Pf.根据命题5.4.1， A 的素理想均为极大理想，并且只有有限个；设 SpecA＝{m₁，· · ·，mₙ}，则由定理5.4.3的证明过程可知，存在一个 k＞0 使得

ₙ

∏ mᵏᵢ＝0；

ᵢ₌₁

对指数 l 归纳可以证明，所有的 mˡᵢ 总是两两互素的，即对任意的 j ≠ i 均有 mˡᵢ＋mˡⱼ＝(1) ，进而由 mˡᵢ＋mˡⱼ ⊂ mˡᵢ＋mⱼ 可知 mˡᵢ＋mⱼ＝(1) ，故 mˡᵢ ⊈ mⱼ ；于是每个 A/mᵏᵢ 只有唯一的极大理想 mᵢ/mᵏᵢ ，即为 Artin 局部环

根据中国剩余定理，有

ₙ ₙ

A＝A/∩mᵏᵢ ≃ ∏ A/mᵏᵢ.

ᵢ₌₁ ᵢ₌₁

命题5.4.6 设 A 为 Artin 局部环， m 为极大理想， k＝A/m 为剩余域，则以下等价：

（1）A 的每个理想均为主理想；

（2）A 的极大理想是主理想；

（3）dimₖ(m/m²) ≤ 1

Pf.（1） ⇒ （2）显然；

（2） ⇒ （3）注意到如果 x₁，· · ·，xₙ 是 m 的一组生成元，则有 m/m²＝kˉx₁＋· · ·＋kˉxₙ，

于是 dimₖ(m/m²) ≤ n ，由此即得（3）；

（3） ⇒ （1）我们分两种情况：如果 dimₖ(m/m²)＝0 ，则 m/m²＝0 ，由 Nakayama 引理知 m＝0 ，因此 A＝A/m 是一个域；

如果 dimₖ(m/m²)＝1 ，根据 Nakayama 引理， k– 线性空间 m/m² 的一组基在 m 中的原像构成了 m 的一组生成元，由此推出 m 必为主理想，无妨设 m＝(x)

任取 (0) ⊊ l ⊊ A 为理想，下面证明 l 是主理想；首先 l ⊂ m ，根据 Artin 局部环的性质有 m 幂零，于是必存在一个正整数 r 满足 l ⊂ mʳ 而 l ⊈ mʳ⁺¹ ，所以存在 y∈l ， y＝αxʳ ，但 y ∉ mʳ⁺¹ ，其中 α ∈ A ，故 α ∉ (x)＝m ，也即 α 为单位，于是 xʳ＝α⁻¹y∈l ，由此推出 l＝mʳ＝(xʳ) 为主理想

最后来看一些例子

例5.4.7

（1）设p∈ℤ 是素数，则 (p) ⊂ ℤ 为素理想，而整数环是 Noether 环，故对任一 n＞0 ， ℤ/(pⁿ) 为 Artin 局部环；

（2）设f ∈ k[X] 为域 k 上的不可约多项式，则对任一 n＞0 ， k[X]/(fⁿ) 是 Artin 局部环；

（3）设x 为域 k 上的任一超越元，考虑环 A：＝k[x²，x³]/(x⁴) ，可以证明 A 的理想仅有如下的这些

(0) ⊊ (αˉx²＋bˉx³) ⊊ (ˉx²，ˉx³) ⊊ (1)，

其中 α，b ∈ k ；于是 A 为 Artin 局部环，其极大理想 m＝(ˉx²，ˉx³) 满足 m²＝(0) ，我们有 A/m ≃ k ，因此 dimₖ(m/m²)＝dimₖ m＝2，

此即命题5.4.6的反面构造

命题5.4.6很重要，我们后面还会再遇到；下一节我们将给出 Noether 环上有限生成模的一条特殊的链

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