数学联邦政治世界观
超小超大

Hilbert基定理与代数集

本文介绍Hilbert基定理,并给出它的一个几何背景

为介绍从几何的角度来看这个定理,我们先定义代数集

本文中我们设k 为代数闭域

Def 1

kⁿ 的代数集 V(S) 为 k[X₁,. . .,Xₙ] 的子集 S 的零点集

V(S)={(α₁,. . .,αₙ)∈kⁿ|f(α₁,. . .,αₙ)=0,∀f∈S}

此处我们没有约定S 有限,事实上,我们可以证明任意代数集都可视为有限个多项式的零点集,这就是Hilbert基定理

Thm 2

环k[X₁,. . .,Xₙ] 是notherian的

我们证明下面的引理

Lem 3

若A notherian,则 A[X] 亦然

pf

我们通过证明A[X] 的每个理想都是有限生成的来说明其是notherian的

设α 为 A[X] 的真子理想,记 α(i) 为所有出现在 i 次多项式的首项系数中的 A 的元素

容易验证,α(i) 为理想,且 α(i) ⊂ α(i+1)

任取含于α 的一个 A[X] 的理想 b ,显然 b(i) ⊂ α(i),∀i

我们先证若上式中对任意的 i 均有等号,则 b=α

任取f∈α

由于b(deg f)=α(deg f) ,则存在 g∈b 使得 deg(f – g)<deg f

于是f=g+f₁ ,且 deg f₁<deg f

同理f₁=g₁+f₂ ,且 deg f₂<deg f₁

于是存在m∈ℤ≥₀ 使得

f=g+g₁+. . .+gₘ ∈ b

下面我们构造一个有限生成的b 满足 b(i)=α(i) ,∀i

注意到α(1) ⊂ α(2) ⊂ . . .

由于A notherian,则存在 d∈ℤ≥₀ 使得 α(d)=α(d+1)=. . .

对任意i ≤ d , α(i) 有一个有限生成集,记为 {αᵢ₁,. . .,αᵢₙᵢ}

对一组(i,j) ,存在 fᵢⱼ ∈ α 使得其首项系数为 αᵢⱼ

取b 为生成集是 {fᵢⱼ} ,其中 1 ≤ i ≤ d , 1 ≤ j ≤ nᵢ

此时b(i)=α(i),∀i

于是我们有α=b 为有限生成的

由Lem 3,显然得到Thm 2

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(笔尖小说网http://www.bjxsw.cc),接着再看更方便。

相关小说

星辰荣耀之冠军之路 连载中
星辰荣耀之冠军之路
同学:好久不见
以下是为这部小说生成的作品简介:《星辰荣耀之冠军之路》讲述了性格内向但极具电竞天赋的女孩林悦瑶,在机缘巧合下被职业战队教练发掘,从此踏上电竞......
7.0万字5个月前
虚妄之国 连载中
虚妄之国
儚镜
如果在这个世界上,身边的所有人都否认一个你熟识的人的存在,且看不见她时,她找上了你,你该怎么办?是平行世界?亦或是自己的臆想?这个世界就是虚......
0.5万字4个月前
陌上月寒 连载中
陌上月寒
乔忆娇
神族战神转世为花界一个古灵精怪的小花精结识了温文尔雅的芍药花精又遇到了被抛弃的魔族殿下,她与他们之间会发生怎样的故事。
1.4万字4个月前
末世之人类命运共同体 连载中
末世之人类命运共同体
诺尔塔斯
主角在末世重新成长建立三观结交朋友共同创建人类命运共同体的过程。——————背景介绍:一个贪玩的高维生物不小心将一个使宇宙的再生平行世界的能......
1.5万字2个月前
全世界都有我的暗恋者 连载中
全世界都有我的暗恋者
少年兰司
17.3万字2个月前
愚人众执行官深空之恋(又名:原神深空传) 连载中
愚人众执行官深空之恋(又名:原神深空传)
琉璃女帝
愚人深空智慧超能力执行官传奇无人深空恋与制作人恋与深空探险冒险探索背景的“智慧超能力执行官传奇”故事:愚人众执行官恋与深空智慧城市智慧智能机......
64.7万字2个月前