逻辑主义与新逻辑主义（一）

逻辑主义是一种哲学的、基础的和基础主义的（foundationalist）学说，可以在数学的任何分支方面得到推进。传统上，逻辑主义特别关注算术和实分析。它有强些和弱些的版本。

逻辑主义的强版本认为，所选诸分支中的所有数学真理都形成了一种逻辑真理。相较之下，逻辑主义的弱版本仅认为所有定理（theorems）才是如此。（我们所说的“定理”是指在所讨论的数学分支内可证明的结果。）基础主义是针对逻辑学家重构的那部分数学。然而，这方面的成功与对数学的某些部分是不能如此重构的非基础主义（例如，融贯主义(coherentist)）观点是相容的。

两种版本的逻辑主义——强逻辑主义和弱逻辑主义——都坚称：

1. 构成这些数学分支主题的所有对象都是逻辑对象；

2. 逻辑——在逻辑学家必须定义的某种适当地普遍的且强有力的意义上——能够提供这些数学分支的原初概念的定义，允许人们在逻辑中推导出数学家的“第一原则”。（因此，所讨论的数学分支被还原为逻辑。）

对于接受康德的分析/综合（analytic-synthetic）真理区分的基础主义者来说，逻辑真理是分析真理的范例。它们的真仅凭借表达它们时所涉及的语言表达的意义；或者，用康德更喜欢的表述，凭借所涉及概念之间的内部关系。因此，任何数学分支的一个成功的逻辑主义还原都将表明其真（强版本）或其定理（弱版本）是分析的。

给定数学分支的成功的逻辑主义还原的另一个结果是，数学确定性（在该分支内）与逻辑真理的确定性有关。这同样适用于有关知识的必然和先天（a priori）特征。

直到 1930 年左右，逻辑主义学说以两种主要形式——弗雷格主义（Fregean）和罗素主义（Russellian）——受到拥护，此后逻辑主义开始衰落，这主要是由于哥德尔不完备性（Gödelian incompleteness）的发现，以及策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel set theory）的崛起，取代了罗素主义的类型论成为最有前途的数学基础理论。新逻辑主义随后复兴了逻辑主义的一些核心思想，在20世纪60年代中期出现了一点迹象，而更实质性的贡献则始于1980年代。

新逻辑主义者们的主要技术和哲学创新在于同弗雷格一样使用抽象原则（abstraction principle）来确保数（numbers）等事物作为逻辑对象的存在。一种受欢迎的抽象原则通常使得处于等价关系中的等价类的具体化。

弗雷格最喜欢的例子之一涉及线之间平行性的等价关系。相关的抽象是一条线的方向。因此，仅当两条线 l₂ 和 l₂ 平行时，它们具有相同的方向：

d(l₁ )＝d(l₂ ) ⇔ l₂|│l₂.

抽象算子 d() 表示的函数在这里作用于线，并生成方向（新的抽象对象）作为其值。请注意，抽象算子可以将变元作为参数。

新逻辑主义者将抽象算子描述为生成数作为它们的值。符号和方法的详细信息将在适当的时候展开。

逻辑主义的发展并没有出现任何明显的历史性趋势，即通过渐进的调整来处理偶尔出现的问题，同时保持朝着理想表述的相当稳定的轨迹。相反，就方法和材料而言，该学说的特点是突然变化，即使目标在这些变化中保持相对固定。随着下文对逻辑主义不同阶段的详述，我们将让将让变化的模式更加显明。

1 历史背景

康德认为算术和（欧式）几何都是先天综合的，对他来说，就像形而上学一样。实际上，这是为了说明数学和形而上学的特殊地位，使后者享有前者的崇高地位。对于康德来说，数学和形而上学都提供了对实在本质的丰富见解（它们是综合的）；然而，尽管如此，理性智性（the rational intellect）不需要感官经验来获得这样的见解（它们是先天的）。根据康德的说法，即使是简单的算术计算陈述也是综合的，更不用说那些涉及到最自然数量化的陈述。以下是他在《纯粹理性批判》B16中对这个问题的表述：

事实上，最初我们可能假定命题7+5=12是一个纯粹的分析命题，并且是从7和5的和这一概念中通过矛盾律推出来的。但是如果我们更加仔细地考察，我们便会发现7和5的和这一概念除了将两个数合二为一之外并不包含任何内容，并且在此没有任何考虑关于什么数使两者组合起来。12的概念绝非仅仅在考虑7和5的结合时就已经被想到的；只要我愿意，我可以分析我对一个可能总和的概念，但我永远不会在其中找到12。

康德对于概念包含（containment）的探索局限于那些他在相关命题的明确成分中所能找到的，而不受任何本身并不出现在命题中的相关概念的联系的影响。（我们注意到这一点是为了在适当时候与弗雷格对康德的分析真理的概念的修正进行对比。）对于康德来说，算术真理的先天特征并非源自（所讨论命题的）概念包含，而是源自对时间直观的纯粹形式，因为提供了一个无限序列的连续时刻。根据Michael Friedman，康德认为：

只有时间上连续和迭代的一般特征才能保证7和5的和的存在和唯一性...；只有时间连续性的无限性才能保证数序列的无穷性，等等...

同样，根据康德的说法，欧式几何的先天特征源自我们对空间直观的纯粹形式，这使得思想家（人们可能正确地认为）能够直观到空间中的直线是连续的。

对时间和空间直观的纯粹形式——分别为康德提供了算术和欧式几何的理论，并赋予它们两者先天特征。他们使直觉的时空的直观杂多（manifold）成为可能，反过来，通过运用知性概念（特别是实体和原因的概念）进行构建，使对在外部世界中的事物和事件的客观性知识成为可能。

那么，逻辑学家可以被视为采用了康德的区分，但将其应用到了截然不同的效果。他们的第一步是论证算术至少是分析的，而不是综合的。

逻辑主义在戴德金的著作中初露端倪，但实际上直到弗雷格的著作中才真正开花结果。在戴德金的著作中，这些想法以同时代数学界可以理解的形式呈现。尽管这些想法精确而严谨，但它们仍然以相对非形式的方式呈现。那时尚未有人提出足以形式化当时数学推理的形式逻辑演绎系统的想法；因此，戴德金时代的任何逻辑主义论点都不能用我们现在熟悉的方式来表述。当然，弗雷格的情况有所不同，因为他的最高成就是一个形式的逻辑演绎系统，逻辑主义论题最终可以通过借助该系统来表述。

现在，当人们将逻辑主义程序的详细执行归功于弗雷格时，我们不能忽视他一直坚称欧式几何的真理是先天综合的，并且以与算术真理完全不同的方式建立。因此，它们不受他的逻辑主义的约束。这就是为什么我们对逻辑主义的介绍性特征需要非常小心，因为它首先关注的是算术和实分析的真理。

在那个时代，顶尖数学家们使得实数（和复数）算术的算术化蓬勃发展，而戴德金和弗雷格的共同贡献则代表了这一趋势的顶峰。这种趋势甚至更早地始于高斯（Gauss）和波尔查诺（Bolzano）作品。它在柯西（Cauchy）和魏尔施特拉斯（Weierstraß）的著作中日趋成熟，并成为西方关于数学本质的思想的主导范式。算术家们的核心思想是，算术和分析的概念和首要原则可以在知性的概念中找到（正如康德主义者可能会说的那样），独立于一个人对于任何空间或时间连续体的几何直观。算术和分析在其公理的来源和演绎发展上完全是概念性和逻辑性的。

现在我们依次考察戴德金和弗雷格。

1.1 戴德金

可以说，戴德金使算术化的潮流在逻辑主义中达到了顶峰。在为实分析提供基础时应避免所有几何内容的建议（或方法论格言的陈述）至少可以追溯到戴德金的《连续统和无理数》 (Stetigkeit und Irrationale Zahlen, 1872)。这部作品出版较晚。它的突破性想法早在十四年前，也就是 1858 年就出现了。在第 3-4 页，戴德金以一种引人入胜且具有启发性的方式写下了他在 1858 年秋天为提供“算术（即实分析）的一个真正科学的基础”（eine wirklich wissenschaftliche Begründung der Arithmetik）而进行的早期奋斗。

很明显，戴德金的写作依据这样一种假定——假设它如此普遍，以至于不需要任何正当性论证——即在建立实数理论时，人们根本不应该求助于几何的直觉或第一原则。戴德金表示，这一假定“没有人会否认”。戴德金试图“为无穷小分析原则建立一个纯粹算术的且完全严格的基础”。

这一假定在戴德金的后期著作《什么是数且它们应当是什么？》（Was sind und was sollen die Zahlen?, 1988）中得到了进一步的强调，它与早期著作一样，出版时间比它本来可以（或应该）晚得多。在第一版的序言中（Dedekind 1996b：790-1），戴德金写道：

在谈到算术（代数、分析）仅仅是逻辑的一部分时，我的意思是我认为数-概念完全独立于空间和时间的观念或直观——我宁愿认为它是纯粹思维法则的直接产物…只有通过建立数的科学的纯粹逻辑过程，并以此获得连续的数-域时，我们才能通过将空间和时间的观念与我们大脑中创立的数域联系起来，准确地研究空间和时间的观念。

我们再次看到了这一假定的作用：在为实数理论奠定基础时，必须避免诉诸几何直观。探究这样的假定如何变得如此普遍，以及它起源于谁的著作，是本研究范围之外的话题。

1.2 弗雷格

从弗雷格的《概念文字》（Begriffsschrift）序言（第IX-X页）中可以清楚地看出，他与戴德金在方法论上有着同样的关切，而且他在设计他的概念文字时，他就已将最终对算术进行逻辑主义的处理纳入考虑。弗雷格区分了两类需要“确证”（Begründung）的真理：一类是可以纯粹逻辑地进行证明的；另一类则必须以经验事实（Erfahrungsthatsachen）作为支持。他试图探究在多大程度上人们可以仅通过基于超越所有特殊性的思维法则的推理来捕捉算术的本质（“durch Schlüsse allein …, nur gestützt auf die Gesetze des Denkens, die über allen Besonderheiten erhaben sind”）。他明确表示，他希望抓住序列中排序（ordering in a series）的根本概念，并从中推进到数的概念。接下来这句明确呼应了戴德金：

为了防止不知不觉间掺入一些直观的事物，一切都必须依赖于推理链的环环相扣。

Damit sich hierbei nicht unbemerkt etwas Anschauliches eindrängen könnte, musste Alles auf die Lückenlosigkeit der Schlusskette ankommen.

弗雷格强调，他关注的是揭示算术真理的分析性如何源自它们的证成。在《算术基础》(以下简称为《基础》，1884, Grundlagen der Arithmetik)的第3节中，他写道：

…“先天”与“后天”、“综合”与“分析”的区分…涉及…作出判断的证成。…当一个命题被称为…按照我的理解是“分析”的…它是关于最终根据的判断，基于这个根据的证成使其为真。

…问题于是变成…寻找命题的证明，并且一直追溯到原初真理。如果在进行这一过程中，我们只遇到了一般逻辑定律和定义，那么这个真理就是分析性的，但要记住，我们也必须考虑到任何定义的可接受性所依赖的所有命题…

由此可见，弗雷格对于分析的理解比康德的更为宽泛。康德要求概念包含必须在句子中显明，而不是要求句子作为结论，从逻辑或概念真实性自明的公理中逻辑推导得出，而这一过程可能包含不在所讨论句子中出现的表达式。正如我们在B16引文中看到的，康德并不认为“7+5=12”是一个分析真理。相比之下，弗雷格主义者能够利用数字（numerals）的内部结构，并援引加法的递归公理（这些公理本身也需要以逻辑主义的方式推导出来）。因此，对于弗雷格主义者来说，“7+5=12”是一个分析真理，尽管对于康德来说不是。用[公式]表示后继函数，康德的例子可以更详细地表达为

ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛₛₛₛₛ＋0＝ₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛ0，

这可以通过递归公理得到证明：

∀x(x＋0＝x)

∀x∀y(x＋sy＝s(x＋y))

后一个公理可以证成以下的传递：

ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛₛₛₛₛ＋0＝ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛₛₛₛ0)

＝ₛ(ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛₛₛ0))

＝ₛ(ₛ(ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛₛ0)))

＝ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛ0))))

＝ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0＋0)))))

现在前一个公理保证了：

ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0＋0)))))＝ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0)))))

因此（忽略括号）我们得到：

ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛₛₛₛₛₛ＝ₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛ0，

正如前面所预示的那样。

在这部著作中，弗雷格继续给出了他对“…的数”（number of）的著名阐明，将其视为一种概念的概念，并对当时受心理主义、经验主义或形式主义影响的同侪关于数的其他解释提出了强有力的批判。他在进行这一哲学阐明时，将技术细节保持在最低限度，展现出了一次力透纸背的哲学阐释之旅。

1.2.1 作为高阶概念的数字

弗雷格从未放弃过的核心洞见，最初在 § 46 中表达为：“…关于数的陈述的内容是对一个概念的断言。”为了说明这一点：假设某人说道

(ν) 2

(ν)显然是一个关于数的陈述。然而，当断言(ν)时，实际上说的是

(γ)

对弗雷格而言，(γ)是对“___是篮子里的苹果”这个概念的断言。它并不是对数2的断言，因为在(γ)中作为形容词出现的“两个”是可以避免的。我们可以重述(γ)为

(γ)

在提供一些关于数-抽象(number-abstraction)的符号的解释之后，我们将展示弗雷格在这里的观点如何可以变得严丝合缝且具有普遍适用。

在上述关于直线方向的简单示例中，抽象算子d()是一个函数记号，不约束任何变元。但在数的抽象方面，情况则稍有不同。这里的抽象算子#，意为“…的数”，可以以两种不同的方式应用。一方面，它可以作为一个函数符号：如果 F 是一个谓词（或一个二阶变元），那么#F就是一个单称词项，指称满足F的事物的数量（或在分配给二阶变元的外延中）。另一方面，算子#x可以应用于开语句Φ(x)，其中x是自由变元，从而约束变元x。由此形成的复合词项可读作“Φₛ的数”。

有了上述符号的解释，假设某人做出如下形式的关于数的陈述，其中#xFx是“Fs的数”的形式表达：

#xFx＝2.

那么根据弗雷格，这实际上是在断言

∃x∃y(x ≠ y∧Fx∧Fy∧∀z(Fz → (z＝x∨z＝y)))

在最后一个断言中，概念F 是除标准逻辑算子之外唯一的表达式。因此，该断言是关于概念F的。它是数感断言（numerosity assertion）的一般形式，不一定指称（refer to）或概括（generalize about）数。对于任意的n，相应逻辑形式将是：

∃x₁ . . . ∃xₙ(∧₁≤ᵢ≤ⱼ≤ₙxᵢ ≠ xⱼ ∧₁≤ᵢ≤ₙ Fxᵢ ∧ ∀z(Fz → ∨₁≤ᵢ≤ₙz＝xᵢ)).

当然（回到我们的例子，其中n=2），我们也可以从相反的逻辑角度考虑问题。如果首先做出数感断言，那么可以将此视为随后断言[公式]s的数量与2等同这一陈述的证成理由。

如果我们像弗雷格那样接受这种“切割”同一命题内容的两种不同方式，那么在任何足够丰富以能提供这两种表达式的语句中，我们都需要以下逻辑等价，用双向可推导符号⊣⊢表示：

xFx＝2：⊣⊢ ∃x∃y(x ≠ y∧Fx∧Fy∧∀z(Fz → (z＝x∨z＝y)))

正如弗雷格所说，右侧的命题性内容已被“再切割”为左侧的同一性陈述。同一个思想以两种截然不同的方式呈现。它们具有相同的真值条件，但逻辑语法形式不同。

右侧的形式，在一个没有算子#的语言中，完全不涉及将数作为对象的承诺。然而，如果这样的语言通过添加#到其逻辑表达式的库中而得以扩展，那么就可以表达左侧的承诺数的形式。

意识到右侧的数感-概念的思想在扩展语言中可以等价地表达为左侧涉及数的思想，人们就可以认识到数是抽象的逻辑对象。在扩展的语言中，它们的存在可以根据纯粹的逻辑根据来确立。

1.2.2 休谟原则和凯撒难题

在《基础》中，弗雷格考虑了如下等价关系，称为休谟原则（Hume's Principle）：

(HP) xFx＝#xGx：↔ ∃R(R F G )

有两个重要特征需要注意。

首先，HP 的右侧明显二阶的，因为它涉及到对关系 R 的二阶量化；并且 HP 的右侧是纯逻辑的。这里，要定义的概念（被定义项）是关系 R 将 F 的对象一一映射到 G 的对象的概念。这可以用纯逻辑术语来阐明：每个 F 都与恰好一个 G 存在 R 关系，并且每个 G 都恰好与一个 F 存在 R 关系。用符号表示，这个定义项如下：

∀x(Fx → ∃y∀z(z＝y ↔ (Gz∧Rxz)))∧∀x(Gx → ∃y∀z(z＝y ↔ (Fz∧Rzx)))

我们将其简写为：

₁₋₁

Rxy[Fx ↦ Gy].

onto

其次，HP 涉及两个谓词，F 和 G。它这样做是为了陈述一个关于分别表示为 xFx：和 xGx：的数的同一性的重要标准。注意，左侧同一性陈述中的两个词项都是抽象词项。

让我们称（新）弗雷格的抽象原则（如 HP）为双管抽象原则（double-barreled abstraction principles），它们试图指定涉及两个不同抽象词项（涉及同一个抽象运算符 @）的同一性的真值条件。（单管抽象原则将稍后讨论。）双管抽象原则的一般形式是：

@xFx＝@xGx ↔ Ψ(F，G)

其中右侧表达了F 和 G 之间的二阶等价关系 Ψ，并且未使用 @。但这不排除这样的原则实例，其中 F 或 G，或两者，包含 @ 的出现。

通常，这些双管抽象原则被作为公设，或公理（或公理模式）提出。但这并不是绝对必要的。重要的是相关理论中是否包含这样一个原则作为定理（或定理模式）。像早期的方向抽象原则一样，HP 是一个双管抽象原则。弗雷格不幸失败的基本法则V 也是一个双管抽象原则，我们将在适当时候讨论它。

HP 告诉我们，数xFx：和 xGx：是相同的，当且仅当它们分别编号的谓词外延一一对应（在某个二元关系 R 下）。这种条件的另一种表达方式是说 F 和 G 是等数（equinumerous）的。

这一等价的基本思想归功于休谟（因此这一原则的名称由此而来）；并且在弗雷格写作《基础》之前，康托早已利用这一思想取得了巨大的成果。如果不以这种方式使用一一对应，康托就无法激发他后来的突破性思想，即存在不同的无限数（见Cantor, 1891）。

弗雷格考虑是否可以将 HP 作为数的构造性定义——一个可以全面而准确地刻画数的性质的定义。但他得出结论，HP 不能满足这一更为严格但合理的要求。原因就是现在所知的尤利乌斯·凯撒难题（Julius Caesar Problem）。弗雷格坚持，我们对于数的定义应该使我们能够决定尤利乌斯·凯撒不是一个数（Grundlagen，§ 56）。他的结论是，HP 不能使我们做到这一点。

假设我们说如果篮子里恰好有两个苹果，那么篮子里的苹果数就是尤利乌斯·凯撒。为了保持一致，只需确保（根据 HP）将同一个数（即尤利乌斯·凯撒）分配给任何其他与概念“...是篮子里的苹果”一一对应的概念。因此，例如，严格介于4和8之间的素数的数量是尤利乌斯·凯撒。事实上，严格介于1和4之间的素数的数量是尤利乌斯·凯撒，其中一个素数就是尤利乌斯·凯撒本人！

一方面，HP 确实是关于数的一个必要条件。它必须被任何合法的抽象算子# 的解释所满足。然而，HP 并不充分确保由形式 # 指称的东西确实是数！

另一方面——正如弗雷格的细致推演所揭示的那样——HP 足以逻辑主义地导出自然数算术的戴德金-皮亚诺公设。这解释了 HP 在某些后来的新逻辑主义解释中享有的声誉（参见第2节）。

但是，弗雷格不仅仅想要一个逻辑上足够强大的来源来支持算术；他还想要一个能够解释数的形而上学本质的原则。数肯定至少是抽象的吧？数也是永恒的和必然的。它们不位于空间中，也不参与任何因果互动。因此，弗雷格寻求一种更深层的逻辑理论，能够为数赋予这些特性，从而解决凯撒难题。

不幸的是，在这方面他按理来说失败了（而这一失败与稍后讨论的罗素悖论无关）。弗雷格（错误地）认为（根据 Dummett, 1998），他可以通过将数识别为某种特殊的类（classes）或（概念的）外延来避免尤利乌斯·凯撒难题。在《基础》第68节，他写道：

我（对数）的定义如下：

属于概念 F 的数是概念“与概念 F 等同”的外延（Umfang）。

在“Umfang”的脚注处以这样一句话结尾：我假定一个概念的外延是众所周知的。对于那些仍需指导的人，《基本法则》（Grundgesetze）旨在提供这方面的说明。

尤利乌斯·凯撒难题原则上会困扰任何双管抽象原则。（这不是逻辑主义特有的问题；这是特定形式的抽象原则的问题。）这个问题可以通过使用单管抽象原则来避免。

当用句子而不是推理规则表示时，单管抽象原则的一般形式是：

t＝@xFx ↔. . .t. . .F. . .，

其中t 是一般性的单称词项（包括参数）的占位符，而不仅仅是 @词项。右侧可能包含 @ 的出现；此外，在取实例时，用以替换 F 或 t 的表达式可能包含 @ 的出现。对于单管抽象原则来说，重要的是相关理论中是否包含它作为定理（或定理模式）。

以下是一些单管抽象原则的例子。这里，∃

t 是 ∃xx＝t 的简写。它可以读作“t 存在”。

对于限定摹状词（definite descriptions）（根据 Smiley 的处理，Smiley 1970）：

t＝ιxFx ↔ (∃！t∧∀x(x＝t ↔ Fx)).

对于集合抽象：

t＝{x|Fx} ↔ (∃！t∧∀x(x ∈ t ↔ Fx)).

对于数-抽象（根据 Tennant 的处理——见第4节）：

t＝xFx：↔ ∃R∃G(Rxy[Fx1 – 1Gy)∧t＝#xGx).

对于数-抽象（根据 Zalta 的处理——见第5节）：

t＝G：↔ t＝ιx(Ax∧∀F(xF ↔ F G )).

我们关注的这类单管抽象原则的重要特征是，它们不具备本体论承诺。假定或证明这些原则的理论需要通过特定的进一步本体论承诺的假定进行补充，才会承诺某些存有物，它们的广泛逻辑行为由单管抽象原则所捕获。例如，上述集合-抽象原则仅仅对集合、成员关系（membership）（‘∈’）和集合定义条件 F 之间的关联进行限制。它逻辑上暗示了外延性和转换模式（“如果 u 是所有且仅是 Fs 的集合的成员，那么 u 是 一个 F”，以及“如果 u 是一个 F，并且所有且仅是 Fs 的集合存在，那么 u 是其成员”），但不保证任何集合的存在——甚至不保证空集的存在。

1.2.3《法则》

弗雷格逻辑主义成就的核心内容被推迟到《算术基本法则》(Grundgesetze der Arithmetik)，该书的第一卷于1893年出版。他在前言中解释说，在《基础》之后将近十年的延迟，是由于他对《概念文字》（1879年）进行了一些重新思考——最重要的创新是引入了概念的 Werthverlauf（值域，或外延）的概念和符号。在《法则》出版时，弗雷格还明确了涵义和指称的区分，并决定将真值视为对象，实际上是作为句子的指称。

他坦言，他预计自己的符号体系会成为阻碍其思想传播和影响的一个“巨大的障碍”（Frege, 1893: x）。一方面，严格的符号和绝对严密且逻辑上无懈可击的证明对他的逻辑主义计划是必需的。另一方面，他担心，数学家会认为“这是形而上学，不值得阅读！”（metaphysica sunt, non leguntur! ），而哲学家则会认为“这是数学，不值得阅读！”（mathematica sunt, non leguntur! ）；（Frege, 1893: xii）。可怜的弗雷格或许是对的。但他《法则》的主要内容从未被很好地消化的原因可以从前后的对比中读出来。他在第一卷前言的结尾充满信心地写道：

我唯一会承认的反驳是，如果有人能实际证明在其他基础信念上可以建造一个更好和更可持续的大厦，或者有人能证明我的公理导致显然错误的结果。但没有人会成功做到这一点。”（Frege, 1893: xxvi）

这自信的陈述在某种程度上掩盖了他自己在几页前表达的对基本法则V 很有先见之明的疑虑：

据我所知，争议可能只会出现在我的值域（V）基本法则上，尽管逻辑学家可能没有将它特别表达出来，但例如当谈及概念的外延时，人们会想到它。我认为它是纯粹逻辑的。无论如何，这标志着必须作出决定的地方。”（Frege, 1893: vii）

结果确实如此。事实证明，弗雷格为验证其逻辑主义，而使形式系统适得其反。他试图在类、或（概念）的外延的一般理论中统一所有的算术和分析。类被认为是逻辑对象的典范。策略是将自然数定义为抽象、逻辑对象的更广泛宇宙中的特定类。然后，利用这些定义，可以将算术的基本原则（如戴德金-皮亚诺公理）作为类理论中的定理推导出来。为此，最终只需利用支配类本身的更深层次的公理（或基本法则）。有关此策略的更多细节，请参见第1.2.4节。

在这些更深层次的公理中，有弗雷格命运多舛的基本法则V。这与 HP 一样，是一个双管抽象原则。然而，基本法则 V 允许类的抽象，而实现这一点的等价关系是定义谓词之间的共外延关系。弗雷格从未用尤利乌斯·凯撒难题反对基本法则 V。使用现代符号，基本法则 V 可以表示为以下公理模式，其中 Φ 和 Ψ 是公式的占位符：

V {x│Φx}＝{x│Ψx} ↔ ∀x(Φx ↔ Ψx).

弗雷格假设一种“逻辑完美”的语言，其中每个良构词项——包括任何形式为{x│Φx}的类-抽象词项——都指称。如果相反，某人认为在其语言中的某些良构单称词项可能不指称对象，那么就必须采用一种不同的逻辑——所谓的自由逻辑。（它不受所有单称词项都指称这一背景假设的影响。）这种逻辑用关于涉及词项的“存在前提”限定了量词规则。例如，在使用逻辑完美语言的非自由逻辑时，不能直接从“对所有 x，F(x)”推导出“F(t)”：

∀xF(x)

────

F(t)

在处理可能不指称项的自由逻辑中，需要确保单称项t 指称：

∀xF(x) ∃！t

───────

F(t)

请读者注意，∃！t，应读作“t 存在”，是 ∃xx＝t 的简写。其他量词规则也需要类似的修改。

即使弗雷格没有假设一种逻辑完美的语言，而是使用自由逻辑，基本法则 V 仍然会使他承诺所有 Φs 的类的存在，不论定义公式 Φ 是什么。证明如下。

证明：首先，注意到这是一个逻辑真理：

∀x(Φx ↔ Φx).

根据基本法则 V 的从右到左方向，取 Φ 为 Ψ ，可以得出：

{x│Φx} ＝{x│Φx}.

但在自由逻辑中，同一性成立的前提是其词项指称。因此：

∃y(y＝{x│Φx}).

▢

这个模式如今被称为“朴素概括”（Naïve Comprehension）。概括是对集合或类的抽象。基本法则V 使弗雷格声称，对于任何定义谓词 Φ，都存在一个所有且仅包含满足 Φ 的事物的类。

请注意，任何涉及抽象算子 @ 的双管抽象原则，其右侧

i. Φ Ψ

ii. Φ Ψ

都将产生对任何良构抽象词项@xΦx 的指称的存在承诺。这是因为，鉴于(ii)，自我等同 @xΦx＝@xΦx 也将逻辑上为真。而 @xΦx＝@xΦx 只有在 ∃！@xΦx 时才为真。这种考虑适用于任何定义谓词 Φ。这引发了 Tennant（1987: 236）和 Boolos（1987: 184）提出的反对意见，即在某些明显的情况下，对于特别有问题的概念 Φ 如自我等同），没有承诺这些词项的指称存在的先天证成。这是‘坏伙伴反对’（Bad Company objection）的最早形式。

1.2.4 弗雷格对自然数的处理

我们不会过多讨论弗雷格类理论的特殊性，而是尽力概述弗雷格论述中主要思想的总体形态，它们在《基础》中非正式地提出、并在《法则》中正式实行。

首先，弗雷格必须识别0，他将其定义为任何空概念的数。一个必然空的概念是非自我等同的概念：

0＝df x(x：≠ x).

接下来，弗雷格必须指定一个自然数是另一个自然数的后继或紧随其后的自然数的含义。如何定义 m 紧随 n 之后？答案是诉诸概念 F 和 G，它们分别具有 m 和 n 作为其（有限）基数（cardinals）。落入概念 F 下的对象必须比落入概念 G 下的对象刚好多一个。这将表现为在所有 G 和除一个之外的所有 F 之间存在一个一一对应关系（例如 R）。形式上：

m n ↔ ∃G(n＝#xGx∧∃F(m＝#xFx∧∃R∃y(Fy∧Rzω

₁₋₁

[Gz ↦ Gy](Fω∧ω ≠ y)]))).

onto

容易证明 n 恰好只有一个紧随的后继。也就是说，如果m 紧随 n 之后，且 m’ 紧随 n 之后，则 m＝m’。

现在，我们能对‘自然数’概念的外延说些什么呢？它必须包含0 以及从 0 通过有限多个连续后继可以到达的任何数。然而，这种描述又可能是循环的：如果不诉诸自然数本身这个概念，如何理解“有限”这个副词呢？

弗雷格的天才体现在他解决这一循环问题的方法中。他在1879年的《概念文字》中已经铺设了必要的逻辑和概念基础。对于任何二元关系R ，弗雷格定义了 x 是 y 的 R–祖先（R – αncestor），在此简写为R*xy）的含义。为此定义，他使用了两个辅助概念。第一个是概念 F 的 R–遗传性（R – hereditαry）：

∀x∀y(Fx → (Rxy → Fy)).

我们将其简写为

Hxy(Fx，Rxy)

第二个辅助概念我们表示为“ x 被 F R–阻挡”（ R – bαr），或者“F R–阻挡 x”，其定义如下：

∀z(Rxz → Fz).

我们将其简写为 Bz(Rxz，Fz).

现在我们可以给出弗雷格对祖先关系 R*xy 的定义：

∀G(Hυω(Gυ，Rυω) → (Bz(Rxz，Gz) → Gy)).

这告诉我们，y 落入任何 R–遗传且 R–阻挡 x 的概念 G。

仍然遵循弗雷格的思路，我们可以定义Nx（“x 是自然数”）为：

0＝x∨successor*0x

弗雷格关注的关系Rxy 是 y 紧随 x 的关系。这进一步的优点在于这是一个函数，即一种多对一的关系。这使得弗雷格证明了后继的祖先关系是线性的：

∀x∀y∀z((successor*xy∧successor*xz) → (y＝z∨successor* yz∨successor*zy)).

这种对Nx 的定义确保了期望的结果：每个自然数都是从 0 开始通过有限多次的直接后继。祖先化捕捉到了“有限多”这一概念，而无需借助自然数的概念，并且实际上充当了定义自然数概念本身的独立的逻辑概念基础。还要注意，这本质上是一个二阶概念。

鉴于直接后继关系的函数性质，当m 是 n 的直接后继时，我们可以写作 m＝sn。弗雷格定义 Nx 的一个特别重要的后果是，它使人们能够证明作为纯逻辑结果的数学归纳原则：

∀F(F0 → (∀x((Nx∧Fx) → Fsx) → ∀z(Nz → Fz))).

因此，弗雷格还能够逻辑地推导出所有其它自然数的戴德金-皮亚诺公设（涉及名称 0 和后继函数记号s）。

其中最重要的公设是，每个自然数都有唯一的（直接）后继。为了完全一般地证明这一点，弗雷格当然要考虑到一个任意给定的自然数可能远远超过宇宙中任何物理对象的集族的大小。那么（对于给定的自然数 n），他可以借助什么概念，其基数将是 n 的后继？

他的回答被称为“弗雷格技巧”。所寻求的概念正是“successor*xn”，即“x 是在 n 之前或等于 n 的自然数”。一旦我们尝试计数，自然数会不断地产生更多的同类。这就是为什么它们是无限的。每个自然数都数着其在自然数系列中的所有前趋，这一想法在《基础》§ 82 中完全形成，并在《法则》第一卷的 §§ 114-119 中严格实行。

到《法则》时，弗雷格已经确定了一种用类-理论术语来解释基数，保留了上述考虑的结构。Fs的数（即所有 Fs 的类的基数）被识别为与所有 Fs 的类等数（即一一对应）的所有类的类。因此，所有 Fs 的类是其自身基数的成员。与所有 Fs 的类等数的任何类也是如此。因此，任何单成员类的基数是所有单成员类的类；任何双成员的类的基数是所有双成员类的类；依此类推。很容易看出，根据弗雷格对基数的类-理论定义，任何两个等数类具有同一个基数。数不是自有的（sui generis），而是某种特殊的类。详见哲学百科关于《弗雷格定理和算术基础》的词条。

1.2.5 罗素悖论

在现代逻辑的语言中，使用成员关系的二元谓词∈，弗雷格在《法则》中由基本法则 V 所承诺的朴素概括原则也可以表示为以下模式：

∃x∀y(y ∈ x ↔ Φy).

著名的罗素悖论随之而来。 证明：对于上述朴素概括表达式中的Φy，取 y ∉ y（非自我成员）。由此得到

∃x∀y(y ∈ x ↔ y ∉ y).

令r 为这样的 x。因此

∀y(y ∈ r ↔ y ∉ y).

但r 是这个概括范围内的一个对象。实例化 r，得到

r ∈ r ↔ r ∉ r

但是我们可以在非常弱的命题逻辑内快速证明，任何形式为

A ↔ ¬A

的陈述是不一致的。因此弗雷格的基本法则 V 是不一致的。□

这个简单的形式发现引发了20世纪初的“基础危机”。 弗雷格在1902年10月写的《法则》第二卷的后记以令人心碎的词句开头：

对于一位科学家来说，几乎没有什么比他在完成他的工作时，发现其大厦的一块基石破碎更不幸的事情了。（Frege [1903]，p.253） 罗素悖论使得《法则》的细节被相对忽视。学术界不得不等待很长时间才能看到该作品的完整英文翻译。考虑到它对于 20 世纪 60 年代开始的新弗雷格主义复兴的重要意义，这是令人遗憾的。

1.3 弗雷格和策梅洛之间的逻辑主义

1.3.1 罗素类型论

罗素提出了他自己的解决悖论的方法，即他的类型论（theory of types）（包括简单的和分支的（ramified））。通过将对象宇宙分层为类型，罗素试图避免恶性循环，他认为这是弗雷格类抽象中的根本问题。

个体形成最低类型。个体的属性或性质（或者罗素称之为命题函数（propositional functions）的东西，它们对个体可以为真或为假）形成下一个更高类型……依次类推。在罗素的类型论中，成员关系只能在不同类型的对象之间成立：如果 α 是 β 的成员，那么α 的类型低于 β 的类型。在类型论中，变量是有类型的。也就是说，给定变量只能理解为范围仅限于某种类型的对象。因此，将会有“个体”变量（比如类型 0），它们的范围仅限于个体。在下一个更高的类型——类型 1——中，将会有“属性”和“关系”变量，它们的范围限于个体间成立的属性和关系。（0和1在此作为类型的索引（indices）。）这个想法迭代覆盖了所有有限索引的类型。此外，在罗素的理论中，只能形成有限索引的类型。这些是可以从“外部”通过自然数 n 进行索引的类型。不存在超限（transfinite）类型，即没有可以由超限序数（例如 ω）索引的类型。

一个直谓（predicative）命题函数是指其不涉及对高于其参数类型的类型进行量化的命题函数。罗素不仅对论域（各种类型及其类型的对象）进行分层，还对语言进行分层。假设一个罗素类（或直谓命题函数）β 首先在比 α 更高的等级中形成。那么（在类型论的语言中）说 β 是 α 的成员是没有意义的，其中这是在官方意义上理解将假定地与 α 对应的属性归属于对象 β。（相比之下，在集合论的语言中，说 β∈α 是有意义的——即使是假的。）因此，在罗素的类型论中，不可能处理可能的非自我成员这一谓词或属性。因为这要求自我成员谓词 x∈x 是有意义的（且良构的）；而它并不是。因此，罗素在他的类型论中阻止了他自己悖论的推导，而弗雷格的类理论却深受其害。

然而，罗素试图保留弗雷格将基数定义为同样大小类的类的做法：

一个类α 的基数被定义为所有与 α 相似的类的类，当存在一一对应关系时，两个类是相似的。（Russel 1908: 256）

这个定义及其引发的问题延续到了《数学原理》。

由于罗素将逻辑宇宙划分为类型，他的“基数”变得典型地模糊的。（在下面的引用中，符号 ∧ 表示空类。）如罗素承认的（1908: 257），

…根据[我们的]定义，0和1及所有其他基数都是模糊符号，如cls，并且有与类型一样多的意义。首先，0的意义取决于∧ 的意义，∧ 的意义根据其作为空类的类型而不同。因此，有多少个类型，就有多少个 0；这同样适用于所有其他基数。

然而，罗素并没有完全接受由此而施加的限制。他豁然地立即补充道：

尽管如此，如果两个类α 和 β 是不同类型的，我们可以说它们有相同的基数…因为可能存在一个一一对应关系在 α 的成员和 β 的成员之间，即使 α 和 β 是不同类型的。[强调部分为作者所加]

通过屈从于这种结构主义的冲动，罗素实际上提出了基数的第二种解释，与其官方的类型论的解释相竞争。新的解释是基数是从类的相似性中抽象出来的，而不是从形成相似类的类中抽象出来的。这种抽象采取了休谟形式（康托著名利用的形式）

1–1

Cand(α)＝Cand(β) ⇔ ∃R(R：α ↦ β).

onto

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