逻辑主义与新逻辑主义（二）

由于上述类型论的内在原因，基数不能是类型论的官方本体论中任何类型内的对象。因为它可能的定义域不仅必须跨越不同类型，还必须包括所有类型的类。但这对于任何类型论上可接受的函数或操作来说是不可能的。这个事实也使得罗素无法使用弗雷格技巧来确保数的无限性。因为弗雷格将每个自然数 n 作为数着其前趋自然数的数。要让后者被如此编号，它们必须是官方本体论中的对象——然而，正如刚才所观察到的那样，罗素的基数并不是这样。

将宇宙划分为类型可能会使“逻辑主义”付出高昂的代价。令人不安的是得知，既有的逻辑主义重构对于人们喜欢的数学结构是如此慷慨，以至于每种类型内都有唯一的再现。人们希望在某一个结构中捕捉它们的共性。正如我们刚刚看到的那样，罗素正试图做到这一点，尽管从一开始就注定要失败，因为它承诺在每一类型中存在一系列“相同”的数。

导致这种丰富多彩的类型划分的动机在当时是可以理解的。罗素希望避免任何由非直谓定义（impredicative definitions）可能导致的恶性循环。据罗素所言，对一个类C 本身必然属于的任何个体的范围进行概括来定义 C，这应当是非法的。因此，通过类型划分，自我成员的概念和非自我成员的概念甚至不能使用。

然而，这种对类抽象的罗素式约束导致了：以形为“所有满足Φ(x) x ”的非直谓的“类抽象”的类，它们的存在不能从逻辑上得到保证。因此，罗素必须假定这些类的存在。这被认为削弱了它们作为可能的逻辑对象的地位，并将它们揭示为仅仅是数学假定物。它们的存在再一次（充其量）是先天综合的，而不是分析上必然的和确定的。

人们可能会想，为什么基于一个非常强大的假定，这些类有资格作为一个逻辑对象，但如果它们的存在必须通过更加逐步的假设方式得到保证，反而没有资格。然而，这是罗素逻辑主义的致命弱点。罗素的乘法公理（Multiplicative Axiom）（现在称为选择公理（Axiom of Choice））和他的无限公理（Axiom of Infinity）中的存在假定被视为纯数学的标志，尽管是在一个比自然数或实数本身更广阔的抽象对象宇宙的背景下。

罗素式类型是分支的：也就是说，同一类型的命题函数根据其内部逻辑结构而属于不同的阶（orders）。正如我们所见，命题函数的类型是由其自由变量的类型决定的。但两个同类型的命题函数 ф 和 ф’ 可以涉及不同种量化。如果 ф 涉及量化的（约束）变量范围比 ф’ 内的约束变量更高，那么 ф 的阶相应地就比 ф’ 的阶更高，即使 ф 和 ф’ 是同一类型的。回想一下，一个非直谓命题函数 ф 是一个包含类型高于或等于 ф 类型的约束变量的函数。将非直谓命题函数分配到更高阶是用分支的方式来标记它为非法的。

罗素扩展了他的类型论以避免明确的非直谓定义（庞加莱对此类定义提出了有影响的反对意见）。罗素随后发现自己陷入了困境，无法推导出某些想要的数学结果。其中包括康托定理，以及实分析中的一个定理，该定理指出每个实数集X 如果有上界，则有一个与 X 中的实数是同阶的上确界。分支类型论显得无力证明这些结果。因此，罗素以实用主义的精神，引入了还原公理（Axiom of Reducibility）来解决问题。

罗素类型论中的还原公理规定，每个命题函数与一个直谓函数共外延——即其量化范围仅限于比自身低的类型。这个公理的非平凡内容是，每个非直谓命题函数都与一个直谓命题函数共外延。一个著名的例子是非直谓命题函数 ∀F(Fx ↔ Fy)。在这个例子中，我们可以通过引入直谓命题函数 x＝y 来证实还原公里——前提是接受莱布尼兹有争议的不可分辨物的同一性原则（principle of the identity of indiscernibles）。如果不同于莱布尼兹，人们相信不可分辨物可以是不同的，那么为了证实还原公理，就必须引入其他的直谓命题函数，如 x ~ y，其为真的条件是

∀F(Fx ↔ Fy) ↔ x ~ y.

然而，还原公理等同于承认非直谓定义的可接受性。因为它使类型 1 的命题函数的阶崩塌了。批评者指出，最好放弃分支，并接受非直谓定义的合法性。

人们只剩下简单类型论（不再需要还原公理）。但即使是简单类型论最终也不是一个受人喜爱的数学基础理论——可能是因为在分层类型论之后，没有任何版本的类型论能在数学家中获得青睐。类型论被策梅洛和弗兰克尔的新兴集合论所取代，因为数学家更容易将其视为康托式数学实践的形式编码（codification）。关于罗素逻辑主义接受与衰退的详尽历史可以在 Grattan-Guinness（2000）中找到。（采用“集合”这个术语是为了将这些“更安全”的、无悖论的对象与弗雷格不一致理论中有问题的类区分开。）

1.3.2 策梅洛-弗兰克尔集合论

有理由认为ZFC（包含选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论）可以被看作是罗素类型论的思想后裔，尽管这两种理论都起源于同一年——1908年。

集合论取代类型论发生在1920年代。其目标仍然是统一所有数学，并试图通过提供一个广阔的抽象对象宇宙来做到这一点。所有不同的数学理论都可以在集合论中得到解释，只需适当地识别这些理论研究对象的“集合论替代物”。例如，有限的冯·诺依曼序数（ordinals）可以作为自然数的集合论替代物。而自然数的幂集℘(ω)，则是实数连续统的集合论替代物。

ZFC集合论是对纯集合的累积层级结构V的描述，其根本从空集 ∅ 构建而来。V 中的每个集合都是按某个序数索引的秩（rank）而“形成”。这些秩是累积的，并通过幂集操作在后继序数处生成。原先的类型重生为秩，不同之处在于秩是累积的——每个秩包含所有较低秩的所有成员。它们的成员可以说是扁平的（on all fours），因为它们被视作占据一个单一外延的、无类型化的集合宇宙 V。

蒯因（Quine 1969）的第十一和第十二章巧妙地描绘了一条原则上可行的渐进式理论调整的路径，从《数学原理》的类型论开始，最终到达策梅洛-弗兰克尔集合论。之前提到，在类型论中假设还原公理的目的是确保每个命题函数与一个直谓函数共外延。然而，正如蒯因指出的（以及拉姆齐在他之前也指出的），还原公理实际上违背了其自身假设的目的，从而促使人们采用简单类型论来取代《数学原理》的分支类型论。如果接着用“一般”或无类型变量重新表述简单类型论，并使类型累积（而不是互不重叠地分层），就会自然过渡到策梅洛集合论。弗兰克尔的替代公理模式（Axiom Scheme of Replacement）最终允许人们“[刺穿]所有类型的隔层”（Quine 1969: 282），达到策梅洛-弗兰克尔集合论。替代公理指出，任何在一个集合上定义的函数，其值域也是一个集合。例如，对于任何超限序数，可以形成所有无限基数 ℵα 的集合：

{ℵα│α＜ }

其中α＝0，1，2，. . .＜。小于 的序数 α 形成一个集合（实际上： 本身）。ℵα，或更好地表示为 ℵ(α)，是第 α 个无限基数。因此，ℵ 是定义域为 的一个函数，其在 α 上的值是第 α 个无限基数。通过替代公理，集合 {ℵα│α＜ } 存在。这样的集合位于远高于 的秩上。

蒯因的论述扩展了哥德尔（1993/1995）中略显简略的描述。正如哥德尔所观察到的（pp. 45-46），“聚集物理论”，或集合论

由策梅洛、弗兰克尔和冯·诺依曼提出的理论...只不过是类型论的一种自然推广，或者更确切地说，如果去除类型论中某些多余的限制，结果就是它。

这些去除分为三方面：使类型累积化；变量无类型化；并允许类型的形成扩展到超限。

ZFC避免了罗素悖论，即使其所有成员-集都扁平在一个无类型的宇宙中。这是因为其宇宙V 本身不是一个集合。通过不采用任何足够强大的集合抽象原则，集合论者避免了罗素悖论。将论域划分为类型，在方法论上似乎是对罗素悖论的一种过度反应。如果人们将宇宙 V 视为一个集合，罗素悖论当然会重新出现。只需应用分离公理模式（Axiom Scheme of Separation）：

∀y∃z(z＝x│x ∈ y∧Φ(x))，

用罗素式公式实例x ∉ x替换 Φ(x)，并将 ∀y 实例化为 V。

数学家们有一套完善的做法将集合-抽象视为良构项。它们的逻辑-语法形式为{x│Φ(x)}。如果形式化逻辑要尊重这一做法，则必须提供集合-抽象的约束形成算子 (υ.b.t.o.)：

{x│. . .x. . .}

该算子可以应用于任何公式Φ 以产生一个项。这些公式中有一些是危险的，例如 x＝x 和 x ∉ x。形式化基础主义者因此会小心采用一种自由逻辑，其中并不假定每个良构项都有一个指称。罗素悖论的证明因此不再有问题：它仅仅成为一个否定存在 ¬∃x x{y│y ∉ y}的证明。

采用自由逻辑会带来这样的义务：如果一个人希望承认某种对象存在，或者某个特定对象存在，则必须明确假定它们的存在。这种存在不再从底层逻辑的内在或隐含、默认的假设中推导出来。相反，它需要一种明确表达的理论承诺。

ZFC理论家会问：你要一个空集吗？当然可以！这里有一个：

∃x(x＝{y│y ≠ y}).

你要单元素集吗？没问题！：

∀x∃y(y＝{ω│ω＝x}).

...或者，如果你愿意，可以通过两次相同的无序对公理实例得到它们：

∀x1∀x2∃y(y＝{z│z＝x₁∨z＝x₂}).

你要一个无限集吗？当然可以！这里有一个非常有用的：

∃x(x＝{y│Ny})，

其中Ny 表示 y 是一个有限冯·诺依曼序数（这个概念可以用集合论术语明确定义）。

ZFC理论家在其假设中非常明确地表达了本体论承诺，不管是直接的还是有条件的。他们的目的当然是描绘一个非常丰富的数学宇宙——在这个宇宙中有如此多的东西，以及如此多样的结构，几乎可以找到任何你希望推测和证明的数学对象或结构的集合论“替代物”。ZFC理论家只关心将所有数学统一在一个总的领域中，而并不特别坚持有关对象和结构的逻辑主义观点。逻辑主义甚至可能面临一个新的挑战：展示集合论本身——就像算术和分析一样——仅仅是伪装为定义的逻辑真理的一员；并展示如何将集合本身（重新）解释为某种纯粹逻辑对象的定义性关联！

2. 新弗雷格主义

新弗雷格主义的复兴源于Charles Parsons的一个洞见（见Parsons 1965:183和194）。他指出，基于弗雷格在《基础》中的论证结构，下面的原则（A）足以推导出皮亚诺算术公理。Parsons使用二元量词“Glz”来简写“gleichzahlig”（等数），并用 Nₓ 来简写“...的数”：

A NₓFx＝NₓGx ≡ Glzₓ(Fx，Gx).

…我们可以将[弗雷格过程]形式化为定义皮亚诺的三个原始概念‘0’、‘自然数’和‘后继’，并证明皮亚诺公理。...除了引入形式‘NₓFx’的项和证明（A）外，不需要使用任何集合存在的公理，因此这个论证可以将（A）作为公理。

这现在被称为“弗雷格定理”。弗雷格定理以原则（A）作为假设。奇怪的是，弗雷格在《基础》中对这一原则（即两个概念具有相同的数仅当它们等数）的重要性的强调，在《法则》中却消失了，其中双向条件句的两半似乎相去甚远在：在 § 53 他证明了如果两个概念一一对应，那么它们的数目是相同的，而在 § 69 他证明了反过来也成立。但在《法则》中，他从未重新组合这个双向条件句并赋予其首要的哲学重要性。如果他这样做了，他很可能会成为第一个回应罗素悖论的新弗雷格主义者。然而，要做到这一点，他必须克服将（A）视为逻辑公理的顾虑。

新弗雷格主义运动旨在揭示大量数学是分析的。该主张更强于：大量数学是先天的，不从经验科学甚至从经验科学的成功应用中获取其任何部分的证成。因为那样的主张会适用于被视为先天综合的数学（或任何其他知识分支）。新弗雷格主义者进一步主张，数学的重要部分在逻辑上是从其核心概念或谓词（如“自然数”或“实数”）的分析性（或定义性）原则中推导出来的。即，这些数学内容源自这些核心谓词的意义（我们这里选择分析性主张的语言版本）。请注意这里对“重要部分”的强调。我们知道，根据哥德尔第二不完备性定理，任何一致且足够强的算术理论都无法证明或反驳其自身一致性（的形式化陈述）。后者陈述是真的，但不可证明。鉴于不完备性现象，人们很难兑现这样的主张：仅凭形式证明系统中可以捕捉到的逻辑考虑，所有数学真理都是真的。当一个数学理论（如算术）的第一原则形成一个本质上不完备的公理化体系时，逻辑主义者将不得不坚持，任何新的第一原则的证成都可以以某种严格的逻辑方式提供。

注意上述评论描述了任何形式的新弗雷格式逻辑主义复兴的一般背景。它们并不规定任何这种复兴的确切形式。在第3节中，我们将讨论一种特殊的复兴形式，它通过用休谟原则拓展二阶逻辑；在第4节中，我们将讨论构造性逻辑主义。

这两种形式的新弗雷格式逻辑主义复兴与弗雷格自己的处理方式共同具有以下三个重要特征。

首先，数字 0（零）仍然被定义为任何空概念的数：特别是，作为非自我同一事物的数目（形式上：#x¬x＝x）。

其次，一旦任何自然数 n 的存在被确立，通过将其后继s(n) 定义为从 0 到包括 n 在内的所有自然数的数（弗雷格技巧），s(n) 的存在也随之确立。

第三，自然数概念的定义利用了后继关系的祖先概念：仅当 x 通过有限多步的后继关系到达 y 时，x 才与 y 有后继祖先关系。（如前所述，这一定义中源自副词“有限地”的任何明显的循环，经仔细检查发现只是表面现象。）“z 是自然数”这一概念被定义为“要么0是 z，要么0与 z 有后继祖先关系”。这就是新弗雷格式逻辑主义者用以推导自然数的数学归纳原则的方法。本文章的读者幸免于形式细节。它们可以在Tennant（2022）中找到。

3. 带有休谟原则的二阶逻辑

新弗雷格式复兴真正开始于Wright。Wright（1983）试图从被称为N⁼ 并且后来被称为休谟原则（即上述Parsons的原则（A））中推导出后继算术的戴德金-皮亚诺公理：

形苑粟：F(x)＝x：G(x) ↔ ∃R(R Fs Gs).

Wright 勾画了从休谟原理推导戴德金-皮亚诺公理的过程。这些推导将在标准二阶逻辑中进行——“标准”的意思是，在 HP 的情况下，可以证明所有形式为xΦ(x)：的数-抽象项具有指称。这样的系统对于其数-抽象项来说是非自由的。即使所涉及的二阶逻辑在官方意义上是自由逻辑，即对于任何良构的单称词项 t，不承诺定理模式 ∃！t（即 ∃x x＝t），这一点依然成立。这一点的证明简短容易，与 § 1.2.3 中给出的证明类似。我们给出一个非正式版本如下。

显然，等同关系是Φs 和 Φs 之间的一一映射关系。因此，这是二阶逻辑的一个定理：

∃R(R Φs Φs)

这是 HP 的一个实例的右侧，其左侧为：

#xΦ(x)＝#xΦ(x).

在包含 HP 的二阶逻辑，这被确立为一个定理模式。因此，在这个系统中，我们有以下定理模式：

∃！#xΦ(x).

总的模式是，尽管罗素发现了弗雷格自己的类理论中的悖论，但我们可以挽救弗雷格关于自然数和实数及其知识的关键的哲学见解。尽管存在该悖论，数仍然是逻辑对象，通过抽象的方法或原则来刻画——当然，这些原则不能像弗雷格的基本法则V 那样雄心勃勃。这些原则提供了一种独特的对数字的认知途径。支配这两种数字的常用数学公理将被视为从（高阶）逻辑中推导出来的结果——基本上遵循弗雷格的演绎计划。这些推导将利用所涉及的数理论的原始常量、函数和谓词的适当定义。（例如：0，1；s，＋，×；＜；N(x)；ℝ(x)。）

主要的区别在于：新弗雷格主义者不再接受弗雷格将数定义为等数类的类。相反，根据新晋的抽象原则，数被认为是自有的。Wright 式新逻辑主义者（以下简称 HP-er）选择 HP；构造性逻辑主义者则更为谦逊地选择了允许引入零和后继的规则。然而，除了这一关键区别外，新弗雷格主义者在推导戴德金-皮亚诺公设时，在其他方面仍然非常接近弗雷格整体的演绎策略。

推导这些假设不需要借助任何直觉或感官经验。所涉及的推理过程只依赖于我们对逻辑有效性的理解，并辅以适当的定义。（对于 HP-er 而言）声称的结果：因为 HP 是分析的，逻辑主义得以证实；通过这种方式推导出来的数学知识被揭示为分析的，而不是综合的。

然而，对于这一结果的保留意见，请参见 Boolos（1997）。HP-er 需要应对的主要反对意见是，休谟原则既不是逻辑的也不是分析的真理。反对意见认为，它不能是逻辑的，因为它有如此巨大的本体论承诺：对于每个概念，都有其所谓的数。它也不能是分析的，因为双向条件句的两边有不同的本体论承诺：右边没有对数的承诺，而左边则充满了这样的承诺。为了应对这些反对意见，HP-er 需要做两件事。首先——任何逻辑主义者都需要做的——他需要挑战这样一个教条：逻辑原则都不可以带来任何本体论承诺。其次，他需要提供一种关于分析性的解释，根据这种解释，即使双向条件句两边的明确的本体论承诺不同，双向条件句也可以是分析的。（通过考虑将每一边视作受限语言中的句子来判断这些承诺，这个语言的词汇足以构成该句子。）

HP-er 提倡不受限制的休谟原则，因此如我们所见，他承诺每一个形如{x│Φ(x)} 的项都有指称。HP-er 承诺的不仅是所有自然数的数，还有所有自我等同事物的数——至少，Wright在 Wright (1983) 是这样。这个“普遍数” （universal number）x(x＝x)：有时被称为“禁零”（anti-zero）。在第 187 页的注释 5 中写道：

值得强调的是，当然，存在一个像Nx：x＝x 这样的数是绝对必要的；因为如果对此有所怀疑，那么就无法想象有什么理由承认 Nx：x ≠ x。

Boolos（1987）在对普遍数表示担忧后，提供了一个巧妙的模型（Geach (1975: 446-7) 非正式地预示了这一模型），以消除对包含 HP 的完整二阶逻辑一致性的疑虑（即现在称为 FA 的系统，即“弗雷格算术”）。只需将自然数和不同的对象ω 作为定义域的元素。元素 ω 作为任何形为 xΦ(x)：的术语的指称，其中 Φ 被无限多的元素满足。然而，这个一致性证明仅在 FA 被单独考虑时有效。不能依靠 Geach-Boolos 模型来确保 FA 与其他理论（如集合论）结合的一致性，尽管人们可能希望将 FA 扩展到这些理论。由于计数有限外延应当是一个普遍适用的智力运算，无论内容是什么，因此仅适用于自然数（或者再加一个非自然的总数 ω)的 FA 不是一个规则，而是一个例外。FA 应适用于不仅是具体对象，还应适用于抽象数学实体，如实数和集合。只要有一个关于所讨论对象的同一性标准，就应该能够计数它们的任何有限集族。

随后，在 Hale 和 Wright 2001（p. 315）中，Wright 对有资格加上前缀“满足...x 的数”的“x＝x”是否可以作为分类谓词（sortal predicate）持保留意见。现在 Wright 正在探讨“驱除反零所需的是什么”（p. 314，重点为作者所加）。他深思熟虑后的答案是，只有当概念 F 既是分类的又不是有无限外延的，一个形为 xFx：的项将指称一个数。所以 Wright 接下来就希望实现他之前声称无法想象的情况。技术性建议必须是休谟原则应限制在既是分类的又不是有无限外延的谓词(表达的概念)上。但这当然引发了这样一个问题，即是否有一种有效的方法可以确定任何给定的谓词 F，是否 F（表达的概念）既是分类的又不是有无限外延的。如果没有这样的有效方法，该理论将无法被公理化。

本词条主要限于（新）逻辑主义对自然数的解释。但值得提出另一个问题，它关于扩展新弗雷格主义解释以应对实数。我们将其称为包容问题（inclusion question）。如何理解作为实数的自然数（在非双关的数同一的意义上）是得到逻辑主义保障的自然数？ Shapiro（2000）中的新弗雷格式抽象主义的解释没有回答这个问题。在该解释中，各种新的抽象对象是从相当不同的等价关系中抽象出来的，没有试图保留自然数 n 是整数 n，是有理数 n，和是实数 n 的可能性。（尽管 Shapiro 在第 339 页写到，他建议“在此避免（包容下的等同）问题”，他的处理方法实际上还是对包容问题作出了否定回答。）

一个没有得到令人满意解决的问题是：如果 Wright 的新弗雷格式逻辑主义的公理化原则 HP 以及所采用的二阶逻辑（= FA）的一致性强度比要“建立”的理论要高得多，那么在何种意义上他们可以声称为一阶皮亚诺算术提供了认识基础？（这再次引起了 Boolos（1997: 248-9）所表达的担忧。）

基础研究的一个古老传统是，提供的基础不仅显然是一致的，而且显然是真实的，并且所建立的（各）数学分支的结果都必须从中逻辑地推导出来。而且，这种逻辑推导本身也必须是认识论上可通达的——因此，可验证的证明很重要。一个基础性的努力可以同时针对数学的许多不同分支，或者只是针对某个特定的分支，例如算术。在前一种情况下，如果所选择的基础理论（例如 ZFC）相对于任何一个正被建立的数学分支具有更高的一致性强度，这是可以理解的。但如果努力只针对某一个分支（比如算术），那么相较于那个分支，所提供的基础的一致性强度应尽可能地低。

FA 的一致性强度等同于二阶算术Z₂（即实分析），这与不包含幂集公理的策梅洛-弗兰克尔集合论的强度相同。而一阶皮亚诺算术的一致性强度则要弱得多，即等同于不包含幂集公理（Axiom of Power Sets）和无穷公理（Axiom of Infinity）的策梅洛-弗兰克尔集合论。

通过以无限制的形式采用包含休谟原则的二阶逻辑，Wright 不仅承诺每一个自然数（具有分析性），而且还承诺任何概念的基数（具有分析性）。我们现在知道，哥德尔预见性的“完成性”洞见早已被充分验证了。这一洞见是：集合论者证明数学中越来越强的结果——尤其是每个新获得系统的一致性——的关键在于假设存在越来越大的基数。如果所有这些基数都可以通过对适当表达的概念应用休谟原则而得到，那么 Wright 就提出一个具有巨大强度的基础理论。FA 之所以不比 Z₂ 更强大的唯一原因是该系统的本体论完全由抽象所生成。存在性假设没有其他来源，如将集合论添加到理论组合中那样。

当考虑到由休谟原则生成的 Wright 的超限基数的本质时，我们需对这样的添加过程更加小心。Kit Fine（1998：515；2002）的研究揭示了，任何将这种超限基数的抽象解释与集合论结合的尝试，都必须将抽象出的基数视为无素（Urelemente）而不是集合。对于由休谟原则生成的每个超限基数，集合论本身不能提供集合替代物。

Mancosu（2016：Chapter 4）对 HP 是分析的主张提出了另一种截然不同的反驳。讽刺的是，Mancosu 提出了他称之为对 HP 的“好伙伴”反驳。HP 与至少无限多的“好伙伴”抽象原则争夺首位。它们之所以是好的，是因为像 HP 一样，它们可以逻辑推导出戴德金-皮亚诺公理。它们通过各自的“数”-抽象算子以及谓词（这些谓词的外延是（戴德金-）有限的）做到这一点。他们为这些外延分配正确的自然数来作为它们的基数。然而，当该算子应用于外延为（戴德金-）无限的谓词时，这些其他原则的结果任意地不同于从更康托式的 HP 中可得到的结果。HP 和这些好伙伴在所有有限外延上的结果都是正确的。但这些好伙伴在无限外延的“数”-分配上则引起了混乱。Mancosu 认为，HP-er 的问题是如何考虑到所有这些好伙伴，如何保持 HP 是分析的。我们在这里看到了另一个认识论担忧的表现：当逻辑主义的目标只是为戴德金-皮亚诺算术提供一个更深入但分析的基础时，HP 的一致性强度过高。这样一个基础所需要的只是 HP 和这些竞争的好伙伴原则达成一致的——即，应该分配正确的数（即自然数）给具有（戴德金-）有限外延的谓词。关于戴德金-皮亚诺算术的逻辑主义者来说，没有必要对任何无限数作出声明。

Mancosu 的 HP 的好伙伴之所以出现，只是因为他与 HP-er 分享了一个基本的逻辑承诺：语言中的每一个单称词项必须指称。这意味着为算术的逻辑主义基础所提供的逻辑不是自由逻辑。通过将数-抽象算子应用于谓词而形成的每一个单称词项都被认为代表了某个对象。如果人们认为，仅生成对数作为抽象存在物的认识论上可证成的承诺是逻辑主义计划的一部分，那么这种对自由逻辑的拒绝会使问题变得过度复杂。可以说，我们希望能够识别出只有那些存在资格绝对可信的数。特别是，当提供对戴德金-皮亚诺公设更深的逻辑推导时，逻辑主义者应该能够只提供自然数。

4. 构造性逻辑主义

4.1 一种不同的新逻辑主义的动机

我们从一些关于根岑式（Gentzenian）证明论的评论开始。这并不是因为它在逻辑主义的发展中起了任何直接作用——远非如此——而是因为我们试图在本节中大致描述一种不同类型的新逻辑主义，它更依赖于证明论资源。

直到 20 世纪 30 年代初的格哈德·根岑（Gerhard Gentzen）的工作（见 Gentzen 1934, 1935），基础的研究者们才能够使用形式的演绎计算来切实地反映数学证明中推理依赖关系的实际结构。我们在这里指的是结论对前提和假设的依赖关系，这些假设可能仅是“为了论证”而做出的。一个很好的例子是归谬假设（假设ф； 导出谬误；得出为 ¬ф， 现在独立于 ф）。

令人意想不到的是，在 Frege 于 1879 年破译了先前隐藏的多重量化句子的语法代码之后，数理逻辑学家们又花了这么长时间才发现自然演绎计算（以及序列计算）。非凡的是，Gödel 在 1929 年已经证明了一阶逻辑的完备性，这早于根岑对其自然的形式化，而当时可用的逻辑只有弗雷格、希尔伯特（Hilbert）和罗素与怀特海（Whitehead）发明的极其不自然的演绎计算形式。

根岑处理的关键突破是用每个逻辑算子自身的规则对其分别刻画，这些规则中只有该算子才具有明确地位。此外，这些规则仅处理有关算子（处于主导地位）的单个出现。推理到结论的规则被称为算子的引入规则（introduction rule）；而从前提出发的推理规则被称为消除规则（elimination rule）。

任何逻辑算子的引入和消除规则必须处于某种平衡状态，这种平衡可以将规则解释为将任何负责任、理性和真诚的说话者的推理义务与任何负责任、理性和值得信赖的听者的推理权利匹配起来。

有关平衡通过逻辑算子所谓的归约程序（reduction procedure）来解释。这些程序使得人们可以从证明中移除任何既是作为引入规则应用的结论、又是作为相应消除规则应用的主要前提的句子出现。重复应用这些程序最终会将证明转变为一种正常形式的证明——本质上是一种不再适用这些程序的证明。正常形式的证明的意义在于，它们代表了从前提到结论的直接演绎路径。

尽管根岑的方法后来被证明是强大、深刻和革命性的，但它在某种程度上是有限的。它仅限于公认的一阶逻辑的逻辑算子：¬，∧，∨，→，∃ 和 ∀

与此完全同时出现的是卡尔纳普（Carnap）的《语言的逻辑语法》（Logische Syntax der Sprache 1934），该书提供了语言的分析性说明，其中所有的逻辑-数学算子都可以对句子是否分析真（或分析假）做出类似的贡献。然而，卡尔纳普是通过使用包含所有不同的逻辑-数学算子的公理化来实现这一点的，这些算子在语法上复杂的公理中共同发挥作用。因此，他的方法与根岑的更加“自然”的方法截然不同，后者聚焦于单一算子。此外，直到他 1939 年的《逻辑与数学的基础》（Carnap 1939），非自然的方法仍是卡尔纳普的首选。我们提到卡尔纳普与根岑的对比，是因为根岑在二战结束时不幸早逝。谁知道根岑可能会如何将他精心设计的推理主义（inferentialist）技术推广到更一般的逻辑主义方案的项目中呢？他的著作直到 1969 年才被翻译为英文出版（见 Gentzen 1934/1935 [1969]）。然而，卡尔纳普幸存下来，并对一代新的数学哲学家在逻辑主义问题和前景上的想法上产生了相当大的影响；他能如此，是因为从 20 世纪 30 年代中期起，他就在美国用英语写作。

20 世纪 40 年代初以后，证明论并未扩大和多样化，以处理一个潜在的丰富的议题：研究各种引入和消除规则的形式，因为它研究了受到规则支配的表达式，这些规则并不像引入和消除规则那样容易分类。例如，一类逻辑-数学中“相伴而生”和相互依赖的概念家族就是这样的例子。这种家族的一个例子是任何两个事物的有序对；任何有序对的第一个成员；和同样的第二个成员。这个例子以及可以给出的其他例子的重要特征是，有关算子是项-形成算子。根岑将他的研究限制在句子-形成算子上。也许是塔斯基（Tarski）的形式化语言的真理论（见 Tarski 1956 [1933]）转移了人们对进一步发展本质上对逻辑和数学算子意义的推理主义进路的兴趣。

4.2 反实在论和逻辑主义的推理主义式进路

推理主义进路对语义反实在论者具有特殊的吸引力。根据迈克尔·达米特对语义实在论颇具影响力的描述，实在论者相信，一个语言的每个陈述句都是确定地真或假，独立于我们得知其真假与否的手段。这被认为是实在论者对严格的经典逻辑原则（如排中律）使用的证成。相比之下，反实在论者坚持所有真理都是可知的；并迅速指出，我们没有任何有效的方法来确定数学陈述的真假。因此，反实在论者拒绝排中律（以及所有其他在直觉上与之等同的严格经典规则），并主张使用直觉主义（intuitionistic）或构造性（constructive）逻辑，而不是经典逻辑。

一个关心证明算术的基本定律分析性的反实在论者会询问，在推导皮亚诺公设时，是否可以避免严格经典的推理路径。因为，如果这些公设是分析真的，那么反实在论者会期望通过仅诉诸涉及构造性内容的可证成的规则来达到它们（见 Rumfitt 1999）。而且，反实在论者确实可以。她可以避免诉诸休谟原则的全部力量。就有限数而言，休谟原则概念内容中的无害成分，可以在反实在论者为零、# 和后继所规定的推理规则中得到表达。毕竟，海廷（Heyting）算术具有与皮亚诺算术完全相同的公理，并且是那些公理在直觉主义而非经典逻辑下的逻辑闭包。PA 和 HA 系统仅在用于闭包的逻辑上有所不同。如果在这里所讨论的意义上，直觉主义者被禁止成为逻辑主义者，那将是相当奇怪的。

达米特式反实在论者的意义理论所青睐的证明论方法可以很好地服务于在算术基础中对分析性的追求。此类证明论进路的核心是形式化支配所有相关的表达式-形成算子的推理规则——这些规则最好以引入-消除的形式成对出现。这些规则构成了各算子意义的本质；因此，仅通过这些规则证明的结果可被视为分析的。因此，任何敏锐的意义理论家都会提出以下问题：本着弗雷格精神，通过适当的、符合反实在论意义理论一般要求的意义-构成的推理规则，是否可能压根没有一个反实在论（构造性、或直觉主义）的对算术基本定律的推导？反实在论学说将这种拓展引入到基本理论（如算术）内的数学表达式中。它可以为弗雷格式逻辑主义者提供他们所寻求的东西：戴德金-皮亚诺公设的基本推导来自更基本的逻辑原则，这些逻辑原则在认识论上至少与他们试图推导的数学假设一样安全。

4.3 实行

Tennant (1987) 提出了一种称为构造性逻辑主义的理论。其显著特征可总结如下：

• 有限性：它证明了至多有限外延的概念的数的存在；

• 逻辑上弱：它仅使用自由直觉主义式相干逻辑（free intuitionistic relevant logic）；

• 概念充分性：它证明了模式 N 的所有实例（见下文）；

• 严谨性：它提供了一个“完全严格的皮亚诺公设的推导”（Burgess 2005：147）。

• 单管抽象：其基本原则是实现“单管条款”抽象的推理规则。

构造性逻辑主义完全背离了《法则》的形式方法及其双管抽象原则基本法则V，也与许多新逻辑主义者选择的起点——运用同样是双管的休谟原则——不同。构造性逻辑主义本质上是一种自由逻辑，即一种摆脱了教条的（和约束的）弗雷格式假设的逻辑，这一假设认为每个语言中的良构的单称词项都必须指称某个对象。在自由逻辑中，单管抽象原则可以被形式化为对于任何约束变量抽象算子 α的引入和消除规则，该算子支配其在形如 t＝@xA(x) 的典范等同陈述中的出现。当然，构造性逻辑主义者试图将 # 替换为 @。

关于这一替代进路的细节，对不仅是自然数理论，还包括有理数和实数理论的逻辑主义推导，详见 Tennant 2022。这一进路还可以应用于集合论本身；见 Tennant forthcoming。在那里，所揭示的“集合的逻辑”正是蒯因所说的虚拟集合论（virtual set theory）：我们称那个学说的主体为分析的，它涉及集合-抽象、谓词化和成员关系之间的相互联系，而不作任何本体论承诺。采用这种进路，策梅洛的外延性公理可以作为逻辑定理推导出来。

构造性逻辑主义基于自然演绎规则，这些规则由于其核心概念零（0）、后继（s）和“...的数”是分析的。这些规则确定了数-项-形成算子 xΦ(x)（Φs：的数）的意义。用上述术语，x：的规则相当于单管抽象原则。其余的规则仅允许带有非常局域和适度的本体论承诺，理由是诸如项“0”在一个语言的使用本身就意味着对 0 这一数的存在作出了承诺，这是 0 真正意义的一部分。例如，以下是关于零的自然演绎规则。‘⊥’ 表示谬误。

(i) ─── ─── (i)

F(α) ∃！α

︸

⁝

⊥

0– ──── (i) → ↓

0＝#xF(x)

0＝xF(x)：∃！tF(t) ←

0– ───────────

⊥

（其中参数α 只出现在假设中）

为了缓和上述的最适度的承诺，所有推导都在自由逻辑内构建，因此除了规则本身引起的存在性承诺外，所有其他存在性承诺都必须变得明确。无论如何，构造性逻辑主义者通过这种方式所承担的所有存在性承诺，都是提倡休谟原则的HP-er所承担的。请记住，HP-er不仅承诺所有自然数的数，还承诺所有自我等同事物的数。

相比之下，构造性逻辑主义者的本体论清单要更为适度。构造性逻辑主义者（通过他设定的规则）甚至不承诺所有自然数的数的存在。（通过使用弗雷格技巧）逐一承诺自然数作为必然的存在物。但并不承诺其他任何基数。

Tennant（1987）的第25章题为《论推导算术基本定律：或者如何Frege–Wright a Dedekind-Peano》，提供了在自由直觉主义式相干逻辑内对戴德金-皮亚诺公理的详细形式推导。所有的推导都是直觉主义的，符合上述解释的反实在论目标，并为了保证“构造性逻辑主义”这一短语中的形容词“构造性”。

Heck（1997b）处理了所谓的“有限弗雷格算术”。他的处理是经典的。但与构造性逻辑主义一样，Heck 关心的是推导算术的基本定律时只对自然数进行本体论承诺。为此，Heck 将休谟原则限制为具有有限外延的谓词。因此，自然可以推测，构造性逻辑主义是 Heck 的有限弗雷格算术的直觉主义式（相干的）片段。

Tennant（1987）认为，任何逻辑主义理论的充分性条件是解释有限基数的适用性（见 p. 234）。令∃ₙxFx 为具有同一性的一阶逻辑公式，按通常方式进行归纳定义，表示正好有 n 个 Fs。

n

令 – 为指称自然数 n 的数，即“s . . . s0”，其中有 n 个后继符号 s 的出现。模式 N 是以下的双向条件句，通过固定特定自然数 n 和开公式 Φ 获得其实例。

(N ) xΦx＝n：↔ ∃ₙxΦx.

–

一个充分的数理论应允许推导出模式 N 的每个实例；构造性逻辑主义理论确实做到了这一点。Tennant 认为，这解决了自然数在计数有限集族中的适用性的问题。

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