逻辑主义与新逻辑主义（三）

迄今为止讨论的所有逻辑主义解释仅处理零、后继和“...是自然数”。但它们之间存在重要差异。构造性逻辑主义的一致性强度是否具有与弗雷格算术的一样高，这还并不清楚。在构造性逻辑主义系统内，似乎无法推导出形如

∃y(y＝#xF(x))

的存在性声明，其中F 的外延是一个无限集（例如所有自然数的集合）。与此相比，FA 证明了

∃y(y＝x(x：)).

因此，本文作者推测，这一系统的一致性强度低于 FA。

在 Tennant（2009）中，构造性逻辑主义的处理扩展到加法和乘法。关键的创新是一个“有序配对的逻辑”：一套自然演绎推理规则，它支配从既有对象t 和 u 的有序对 π(t，u)的形成，以及任何有序对成员 u 的左投影 λ(u) 和右投影 ρ(u)。

5. 模态新逻辑主义

Zalta（1999）提出了一条有趣且不同的（因为是模态逻辑的（modal-logical））通向自然数的路径。尽管 Zalta 自己并未将其归类为新逻辑主义，但他的进路似乎值得称为“新逻辑主义”。（我们暂且不讨论模态逻辑的逻辑地位问题。）

Zalta 使用带有同一性的经典二阶模态逻辑（S5），并带有一阶 Barcan “公式”，或公理模式

♢∃xψ(x) → ∃x♢ψ(x).

及其二阶对应

♢∃Fψ(x) → ∃F♢ψ(F).

一阶 Barcan 公式迫使人们将量词解释为涵盖所有可能的个体，无论处于哪个世界——在穿越可达关系从一个可能世界到另一个可能世界时，不会涉及任何领域的“扩展”或“收缩”。

逻辑是自由的，摹状词（摹状算子ι 是原初的）被严格解释——即如果在现实世界中摹状词有一个指称，那么该指称在任何其他可能世界中也是它的指称。

有必然性和可能性的常见的真势模态词□ 和 ♢（当然由 S5 解释），以及现实算子 A。编码关系 xF 可以在抽象对象 x 和属性 F 之间成立。

Ax 意味着 x 是一个抽象对象。抽象对象所编码的属性构成其本质，因此，对于其作为对象的身份至关重要（Zalta 1993: 396）。

例如，柏拉图的三角形形式编码了作为一个三角形的属性，但并未例示了（examplify）这一属性。

Zalta的基本原则包括以下几点：

• 日常对象不能编码任何属性。

• 对于属性的任何给定条件，某个抽象对象仅编码满足该条件的属性。

• 同一个体可以保全真值地互相替换。

• 同一属性可以保全真值地互相替换。

• 如果某个特定编码是可能的，那么它是必然的。

Zalta定义了一种针对日常对象的属性间的等数关系 ≈。基于 ≈ ，Zalta提出了（基）数的概念（Zalta 1993: 630）：

这意味着x 计数了 G 仅当 x 是一个抽象对象，且 x 编码的属性正好与 G 等数（注意，仅针对日常对象来判断等数性）。根据 Zalta 的首要原则，容易得出“对于每个属性 G，都有一个唯一的对象对其计数”。

Zalta的系统推导出休谟原则：

F＝#G：↔ F ≈ G

以及以下明显的推论：

∀G∃y(y＝#G).

在这方面，Zalta 的系统与 Wright 的系统一样强大：它们都保证了每个属性的数。然而，Wright 以休谟原则为首要原则，而 Zalta（如同Frege最初所做的那样）从他自己的“更基本”（且可能更强大）的原则中推导出休谟原则。

我们总结 Zalta 系统的三个要点。在他的“具体”和“抽象”意义上：

1. 对于普通对象成立的属性可以分配数。

2. 对于抽象对象（包括数本身）成立的属性，不能分配数。

3. 所有无限多个自然数的存在依赖于可能存在的无界（但有限）多个具体对象。

在第(2)和第(3)点上，Zalta 明确背离了 Frege 和之前讨论的所有（新）逻辑主义者。

6. 或被《法则》启发、或背离它的近期工作

自20世纪80年代初以来，人们又重新对新逻辑主义燃起了兴趣。这一时期的工作试图将逻辑主义从弗雷格灾难中拯救出来（不完全放弃基本法则V，也不以 HP 为起点），其中一种方式是研究各种“《法则》的片段”。这一群学者的共同想法源自 Parsons 1987，具体如下：弗雷格的《法则》屈服于罗素悖论。但弗雷格的系统是一个庞大的系统。让我们看看是否可以从中提取一个（a）一致的，（b）足够强大的片段，以提供相当数量的算术。这是典型的对受到不一致困扰的理论的标准的一致性-恢复修正，但其主要目标是将其从废墟中抢救出来。在这一方向上迄今为止所取得的进展值得报告。我们将这些理论努力称为“片段化”（fragmenting）。

上述片段化的学者们都将项-形成的变量-约束的抽象算子视为原始的，并将其应用于谓词以形成单称词项。他们对于这个算子的符号选择各不相同。这里我们将泛指形为@xA(x) 的项。对于 @，Parsons 跟随弗雷格，在变量 x 上方使用一个呼吸符号（如逗号）。Heck 使用一个紧置于 x 前面的脱字符号（音调符号），并紧随变量-约束前缀后的 x 后面加一个句号。Wehmeier 将脱字符号直接放在 x 上方。Boccuni（严格来说不是一个片段化者——见下文）使用 {x：A(x)} 的形式，其中的冒号类似于现代集合论中的实线：{x│A(x)}。因此，这些学者都在使用某种形式的集合-或类-抽象项，这些项通过一个变量-约束的抽象算子形成。

回到我们使用@ 作为覆盖这些独特变体的通用符号，我们提醒读者，基本法则 V 的模式化形式（其中 A(x) 和 B(x) 是公式的占位符）可以表示为

@xA(x)＝@xB(x) ↔ ∀x(A(x) ↔ B(x)).

基本法则 V 的公理化形式将是二阶的：

∀F∀G[@xF(x)＝@xG(x) ↔ ∀x(F(x) ↔ G(x))].

Parsons 1987 给出了模式V 与一阶逻辑一致的模型论证明。（这是由 Schroeder-Heister 1987猜测的）。J. Burgess 1998 提供了相同结果的证明论和构造性证明。Heck 1996 扩展了 Parsons 的论证，证明了弗雷格系统中简单的和分支的直谓性片段都是一致的。Wehmeier 1999 为一个包含公理 V 和更高阶概括原则的一元二阶逻辑理论提供了一致性证明。Ferreira 和 Wehmeier 2002 证明了模式 V 和相同概括原则的一致性。有关更高阶的原则被称为 Δ¹₁-概括。

近期另一项创新类似于对《法则》适当片段的研究，它涉及使用复数量化逻辑的资源。这当然将我们带出了《法则》真正片段的领域。但这些想法与上述片段化学者的想法密切相关。

Boccuni 2011 为一个允许复数量化的语言提供了一个解释，Boccuni 认为这种解释使构成她称为 PG（“复数基本法则”）系统的每一个原则的实例都成立。这些原则包括复数概括原则、谓词概括原则和模式V。Boccuni 2013 将 PG 描述为“一个一致的二阶系统，旨在[推导]二阶皮亚诺算术”。

另一项值得一提的近期创新是 Studd 2016 的工作，旨在寻求对弗雷格式（双管）抽象的可行的新逻辑主义理解。正如他指出的那样，

这种风格[即避免“具有对概念的非直谓概括原则的完整二阶逻辑”]的现有回应的主要缺陷在于，它们破坏了新逻辑主义对数学的恢复。弗雷格定理依赖于完整的二阶逻辑。直谓理论及其分支变体太弱，无法解释二阶算术PA₂（见John P. Burgess 2005，ch. 2）。

在他的阐述中，Studd 避免使用复数逻辑，但在过程中提出了一些评论，大意是人们愿意的话，可以用复数逻辑语言来表达他的主张。他重新考虑起抽象词项。他诊断了寻找“充分性标准...以筛选‘好’的[双管—NT]抽象原则如休谟原则与‘坏’的如基本法则V”的问题。他总结说，这种解决坏伙伴问题的进路

是错误的方向…如果新逻辑主义者仍持有将其在算术上的成功扩展到数学其他分支（包括标准的策梅洛-弗兰克尔集合论）的野心。

Studd 诊断出双管抽象原则的问题在于它们是静态的。它们被认为支配一个全包域，该域本身不能通过左侧的抽象项的指称来扩展。Studd 提出，我们应该将抽象视为动态的，允许通过新抽象的抽象物来扩展域。他为此制定了一个双管抽象理论来实现这一点。

7. 对逻辑主义问题的总结

从前面的讨论中我们可以看出，现有文献中的逻辑主义或新逻辑主义版本存在各种问题。读者如果能牢记这些问题，就能以更批判的眼光来审视任何新提出的新逻辑主义解释的细节。

这些问题中，有些是所有逻辑主义版本都会遇到的，其解决方案可能被视为逻辑主义的“充分性条件”。而另一些问题则仅针对所考虑版本的逻辑主义所使用的特定的方法或假设。以下问题在前面的讨论中显得尤为重要：

1. 弗雷格的“概念化问题”

如果我们认为算术不是基于康德的“时间的纯直观形式”，那么我们如何理解数？正如弗雷格在《基础》§ 62 中所问：“如果我们无法对数有任何观念或直观，那么数是如何被给予我们的？”

2. 弗雷格的“尤利乌斯·凯撒难题”

如果我们有一个对数本质的逻辑主义解释，如何证明尤利乌斯·凯撒不是一个数？更一般地说，在这样的理论中，如何证明没有数是具体的个体？

3.“适用性问题”

逻辑主义能否解释：(i) 自然数如何应用于对有限集族的计数，(ii) 实数如何应用于测量诸如长度、时间段等连续变化的量？

4.“包容性问题”

如何证明自然数 n 与整数 n、有理数 n 和实数 n 是同一个抽象对象？

5.“抽象问题”

（对于那些认为数是逻辑抽象物的人来说）什么形式的数-抽象原则是正确的？

6.“分析性问题”

能否证明自己所选择的数-抽象原则是分析的？

7.“存在性问题”

逻辑能否承诺某个事物或某种事物的存在？

8.“无穷性问题”

逻辑主义者是否可以简单地假设无穷公理，或认为存在（可能是某种特定类型的）无限多的事物？

9.“界定问题”

什么使某物成为逻辑常量？哪些通常认为是数学的概念实际上可以在逻辑主义的适当表述的逻辑中被定义，无论是隐含地还是明显地？

10.“坏伙伴”或“丰富的尴尬”

一些抽象原则是不一致的。然而，另一些原则虽然每一个是一致的，但彼此之间是不一致的。那么对于任何提议的抽象原则，我们如何知道是否应该接受它呢？

11.“理论不变性”

自然数具有普遍适用性；它们具有的算术性质，并必然地进入其算术关系，独立于可能存在的其他种类的事物，也独立于这些事物可能如何。因此，自然数的抽象原则应与关于任何论域的任何一致理论相一致。它们是这样的吗？

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