《数学哲学》三大主义（二）

5.科里

• 科里认为，随着一门数学分支的发展，在其方法论上会变得越来越严格，结果是该分支在形式演绎系统中被编集成典，科里把这种形式化的进程作为数学的本质。

• 科里声称，所有其他数学哲学都“依赖于形而上学的假设”，数学应该不受任何此类假设的限制，而只有形式主义没有额外的形而上学假设。

• 科里的形式主义的主要论点是，一个成熟的数学理论的论断不应该被解释为某一特定的演绎系统之中若干动作的结果，而应该是关于一个形式系统的论断。

• 对科里来说，数学是一门关于形式系统的客观科学，或者说数学就是元数学。

• 不同于希尔伯特，科里并不把元数学限于有穷元算术；他承认某种“直观”处于这种元数学中，但他声这种直观的形而上学本性是无关紧要的。

• 按照科里的观点，元数学本身也是数学的一个分支，它也应该被形式化，也就是说，元数学中的非有穷元结果应通过建立元数学的一个形式系统而被纳入考虑，并且把问题的结论解释为关于那个形式系统的定理。

• 对科里来说，不存在真正的关于一个给定形式系统的真的问题，而只存在关于引导我们对某个形式系统感兴趣而非另一个的考虑的问题，这个关于“兴趣”的问题在很大程度上是实用主义的。

• 科里提到三种形式系统的“可接受性的标准”：（1）前提的直观自明性，（2）一致性，（3）该理论整体的有用性。

• 科里认为，形式系统的一致性并不要求一个一致性的证明，即使不一致性被发现，这也不意味着这一理论被完全抛弃，而是意味着它的修改与提炼。

• 由于在接受一个形式系统之前没必要去证明一致性，科里的哲学不会受哥德尔第二不完全性定理的影响；由于科里并不把数学限制于单个形式系统，他的哲学也不受哥德尔第一不完全性定理影响。

• 科里式形式主义的反对者质疑其观察（即随着某个数学分支的发展并变得严格，它就会被形式化）的哲学意义，一些逻辑学家坚持认为，在形式主义中一些本质的东西丢失了。

三、直觉主义

• 直觉主义试图把对排中律的教条的坚持解释为：经典逻辑对一组广泛的简单日常现象而言的实践的有效性，这个事实造成了一种强烈的印象，以至于经典逻辑被看作不仅是有用的还是先天的。

• 直觉主义一方面精细化逻辑，另一方面谴责把逻辑作为真的来源；直觉主义数学是内在的建筑学，而数学基础的研究是内在的查问。

1.修正经典逻辑

• 数学实践本质上是一种精神活动，数学家的主要工具是他们的心灵。

• 令Φ为一命题，那么相应的排中律的实例就是命题，或者是Φ或者不是Φ所说的情况，记作Φ或非Φ；直觉主义是用以指那些对排中律提出异议的数学哲学的一般术语。

• 包括排中律的常见的逻辑系统被称作是经典的，遵循经典逻辑的数学被称作经典数学，而没有排中律的较弱的逻辑被称为直觉主义逻辑，而对应的数学是直觉主义数学。

• 直觉主义逻辑缺少其他一些依赖排中律的原理和推论，其中之一是双重否定消去法则，它允许人们从Φ的否定的否定推出Φ；运用直觉主义逻辑，一个人可以从Φ推出非非Φ，但反过来不行。

• 直觉主义者认为，排中律及其相关推理显示了对数学对象的独立存在和对数学命题独立于数学家而为真或为假的信念，排中律是本体论的实在论和真值的实在论的推论。

2.老师——布劳威尔

• 布劳威尔是康德主义的，他将康德哲学封为“一种旧式的直觉主义”，尽管康德不批判数学实践。

• 布劳威尔与希尔伯特都指出，如果一个人专注于有穷元算术的实践，那么经典的途径与直觉主义的途径之间并没有太多差异，但是希尔伯特与布劳威尔之间存在实质的和无法调和的分歧。

• 直觉主义与形式主义的不同在于对数学科学的“精确有效性”的来源的不同回答：直觉主义者说，在人类理智中，而形式主义者说：在纸上。

• 对布劳威尔来说，与对康德来说一样，大部分数学真不能得到“分析的证明”，它们不能仅仅通过概念分析而被认识，并且它们并非由于意思而为真，所以大量的数学是综合的；数学的真是先天的，独立于任何特殊观察或其他我们可能具有的经验。

• 布劳威尔是本体论上的反实在论者和真值上的反实在论者，并且他绝不是经验主义者，像康德一样，布劳威尔试图在实在论和经验主义之间锻造一种综合体。

• 布劳威尔重申了康德的主要话题，人类不是被动的自然观察者，而是在组织经验的过程中扮演了一个积极的角色，数学关注的就是这种积极的角色。

• 布劳威尔承认，19世纪数学的发展使康德对于几何的观点站不住脚，严格性的产生引发了认为逻辑推理是独立于内容的观念，对射影几何多解释的发展也支持了只有几何定理的逻辑形式有关系的观点，这让“纯直观”在几何学中没有了空间。

• 非欧几何的出现和被接受使布劳威尔抛弃了康德的空间观，取而代之的是，他提出把所有的数学建立在康德式的时间观上，其根本的观点可能是把自然数建立在时间知觉的形式上。

• 布劳威尔陈指出，时间观这种基本直觉把“联系的和分离的”东西统一起来，每个时刻都是独一无二的，又仍然是与每个其他时刻相联系的；这种原始直觉还使“连续的和离散的”东西统一起来并且立即就引起了线性的连续统的直觉，时间的各时刻是截然不同的，但它们仍然是连续地流逝的。

• “在…之间”的概念引出了有理数，并最终引出实数，我们先天地知道任何两个时刻之间存在第三个，时间的连续统不会被插入新的单位所耗尽，因而不能被想成仅仅是一些单位的聚集，因此自然数和实数（离散的和连续的）都建立在时间的直觉之上，这就产生了算术和实分析。

• 布劳威尔按照标准的笛卡尔式的技巧，通过将点定义为数对而把几何建立在实数上，这就使普通平面和立体几何以及非欧几何和n维几何得以成为先天综合的，所以几何学最终也基于时间的直觉。

• 布劳威尔非常明确地认为，数学的本质是理想化的精神的构造，布劳威尔对排中律的摒弃来源于他对数学采取构造的观念。

• 令P为自然数上的性质，并且考虑命题：存在自然数n满足P对n成立；用符号表示即∃nPn；对直觉主义者来说，这条命题只有当一个人证明了如何构造一个具有性质P的自然数n才能被确立。

• 对于双重否定┐┐∃nPn，只有当一个人证明了假设┐∃nPn是矛盾的才被确立，而从假设┐∃nPn构造一个矛盾不是去构造一个自然数n满足Pn，所以布劳威尔认为，双重否定消去是无效的。

• 布劳威尔承认，经典分析可能是“适于科学的”，但它比直觉主义分析具有“更少的数学真”，因为经典分析违背了依赖心灵的数学构造的本质，这是在数学和经验科学间做出的大胆的分离。

• 布劳威尔把对排中律的信念追溯到“本体论的实在论”，证明经典数学合法性的各种方法都根据同一个主导观念，即对数学对象世界的存在的预设，这是一个独立于思考着的个体的世界，它服从经典逻辑的法则。

• 布劳威尔认为，数学实践源自人的心灵的内省，一句传统观念论哲学的口号是“存在即被感知”，直觉主义一句相应的口号是“在数学中存在即被构造”。

• 直觉主义者理解的是，排中律原理相当于全知的原理：任何某性质与某数学实体的搭配都可以被判断，即被证明或导出谬误，而布劳威尔的论证是，我们不是全知的，所以我们不应该假设排中律。

• 一个数学实体的定义是非直谓的，是指它涉及包含这个实体的集合；对一个直觉主义者来说，非直谓定义是恶性循环，我们不能运用包含一个数学实体的集合来构造这个实体。

• 布劳威尔反对把数学实体的集合当作似乎它们是完成了的全体来考虑，因为数学家并没有完成对一些常用集合中的所有元素的构造。

• 在他生涯的早期，布劳威尔把实数等同于由一个规则给出的小数扩张，“0和1之间的实数”这个概念意味着在小数点后构造一个初等数列的规则，这一规则有一组有穷的运算序列构成。

• 布劳威尔在规则决定的序列上又补充了“自由选择序列”，这是一种“创造的主体”，它具有自由地在一串展开中的选择序列后构造更多成员的能力。

• 规则决定的序列和自由选择的序列的都只是潜无穷，而不是实无穷。

• 任何关于一个给定实数的定理必须得归自于该实数的有穷多的信息；对规则决定的序列，数学家可以运用那些规则去确定相应实数的一些事实；对自由选择序列，不存在规则，因而数学家在任一时刻所具有的关于它的信息只是该序列的一个有穷前段。

• “弱反例方法”是指直觉主义者通过证明某条经典数学原理会导致排中律的实例来驳斥该条原理，比如对“存在从实数到实数的不连续函数”的驳斥。

• 考虑函数g 满足，当x是有理数时gx＝0，而当x 是无理数时gx＝1；令c为任意实数，如果c是一个自由选择序列，就无法判断c是否是有理数；如果c是由规则决定的，那么在一些情况下也许有可能通过关于该规则的推理去判定c是否是有理数，从而判断是否gc＝0，但是并不存在一般性的方法来计算gc；g的存在导致了不该有的排中律实例，因此g的定义对直觉主义者是不合法的。

• 与从康德的数学哲学走出来的趋势并列的是越来越明显的专注于数学的语言和逻辑的趋势，布劳威尔冲击了这个趋势，语言只不过是一种为了交流精神所构造的不完美的媒介，并且正是这些构造才构成了数学的本质。

3.学生——海丁

• 海丁发展了一套严格的直觉主义逻辑的形式化系统，这个系统被称作“海丁谓词演算”。

• 海丁认为，从经典逻辑背后的形而上学假设（真值的实在论）来看，经典数学的语言最好被理解为（客观的）真的条件，由于对二值性的拒斥，这样的语义学对直觉主义是不合适的，直觉主义的语言应该被理解为证明的条件，这个语言系统被称为海丁语义学。

• 很多排中律的实例似乎无法在海丁语义学中得到合法性证明；此外，一个人只有给出构造那样一个x的方法，才能证明以“存在一个x”开头的句子，这是主流直觉主义主题的形式化。

• 海丁同意布劳威尔关于宣扬精神构造而贬低语言和逻辑的观点，和布劳威尔一样认为语言是交流真实的数学构造的不完美的媒介，而且逻辑依赖于数学。

• 海丁认为，经典数学依赖于下述“形而上学”原则：数学的对象独立于数学家而存在并且数学真是客观的和永恒的；唯一避免“形而上学难题困局”的方法是“把它们从数学中排除”，海丁谴责经典数学家通过排中律把形而上学的论证牵扯进来。

• 数学是依赖于人的心灵的，在对精神的数学构造的学习中，“存在”必须与“被构造”同义。

• 海丁承认，如果自由选择序列被丢弃，那么直觉主义数学将是无力的，而如果没有排中律，经典数学也将是无力的。

• 海丁比布劳威尔更为折中，认为直觉主义数学理应有一个与经典数学“并列的”位置，他的直觉主义不要求对数学的“垄断”，只要经典数学家“承认”直觉主义观念的“正当性”就满足了。

4.达米特

• 布劳威尔和海丁都认为，语言对于精神数学构造的交流（数学的真正本质）是一种不完美的媒介，而达米特研究数学及其逻辑的主要路径从一开始就是语言学的，他的哲学兴趣更多地在于直觉主义逻辑而非数学上的事情。

• 达米特认为，任何关于哪种逻辑正确的考虑必须最终取决于意义的问题，从一系列前提做出推论的规则源于前提中的一些词项（“逻辑词项”）的意义，逻辑推理是分析的或意义构成的。

• 达米特认为，数学陈述的意义决定了它的使用并且完全被它的使用所决定，一个陈述的意义只是由它作为个人间交流的工具的作用所构成的。

• 对语言的常识的看法支持了达米特的明示需要，即任何人要理解一个表达式的意义，必须能够通过他的行为，通过他对该表达式的使用来证明其理解，理解不应该是不可说的。

• 形式主义者反对对经典逻辑的排中律的修正，他们认为正确的数学实践可以被编入形式演绎系统，而直觉主义者认为证明本来就是非形式的。

• 达米特也反对对经典逻辑的排中律的修正的，它的“整体论”观点是，追问任何单个陈述的内容都是不合法的，因为每个陈述的意义都由它与语言中其他区域的其他陈述之间的多种连接形成的整体所修饰，没有一种方法可以批判一个特定的陈述而不批判整个语言。

• 一个典型的语义学是组合的，即一个符合陈述的语义内容通过分析它的各部分的语义内容而得到，例如在塔斯基语义学中，一个复杂公式的真值条件通过其子公式的真值条件而得到定义。

• 为了满足表明的需要，达米特认为，可证实性或可断言性应该取代真作为成分语义学的主要元素，如果条件下的每个句子都可以被证实或断言的话，语言使用者大概就可以表明他们对这些条件的理解了，而在数学中，证实就是证明。

• 达米特对语义学整体论的替代品是为“分子”语义学，单个句子所承载的属于它的内容对应于它被它自己的各组成元素复合起来的方式，这独立于语言中其他不涉及这些组成元素的句子。

• 对语言的分析可能揭示出逻辑算子使用中的不一致，达米特和特纳特论证了逻辑算子被引入证明的典型方式与经典原理和推理相冲突，即分别引入否定和析取算子（和证明一个人对其意义的把握）的规则并没有证明当这些连接符复合起来时排中律的合法性。

• 达米特和特纳特指出，直觉主义逻辑得到了语义学上的合法性证明，而经典逻辑没有。

• 在达米特式的框架中，经典数学的主要预设是存在或可能存在不能被认识的真，达米特的观点有时候被称作全局语义反实在论，他指出（至少在理论上）所有真都是可知的。

• 每个自然数或者是质数或者是可分解的是直觉主义算术的一条定理，理由是我们有一种有穷的方法来判定一个数是否是质数，这个方法如何可行是无关紧要的。

• 从海丁语义学到对经典逻辑的否定的路径依赖某种对人类数学能力的悲观主义，如果人类能够判定每个合式的数学陈述的真值，那么经典逻辑终将盛行。

• 达米特的直觉主义处在是严格的有穷主义观点，即我们只能理解我们确实证明了的东西，也是一种强健的乐观主义，即数学家可以判定每个清晰的数学句子Φ是真是假。

• 达米特指出，如果他的结论是可靠的，那么它们可以支持在所有论述中采用直觉主义逻辑，而布劳威尔和海丁同意经典逻辑对关于独立于心灵的对象的有穷集合的日常推理是合适的。

• 达米特定义一个概念是无限可扩展的，是指不可能描绘出该概念可应用其上的对象的范围，即任何描绘这个概念外延的企图都会引出一个不在该描绘中的概念的实例。

• 达米特认为，哥德尔的不完全性定理证明了算术真的概念是无限可扩展的，事实上任何实质的数学领域都是无限可扩展的，不存在实无穷，只有潜无穷。

• 达米特认为，经典逻辑只可应用于那些不是无限可扩展的领域，这一结论部分是基于对数理逻辑，特别是对模型论的分析得出的；经典逻辑对经典模型论的可靠性证明预设了这样一个领域是有限而非无限可扩展的，因此经典逻辑理论不能应用于数学，因为其量词范围是无限可扩展的。

参考文献

夏皮罗，《数学哲学》

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