delta系统引理的一个证明

Δ系统引理（AC）：令 H 是不可数个有限集构成的集族，那么存在 ↅ ⊆ H 满足 |ↅ| ≥ ω₁ 且 ↅ 同根，同根是指 ∃r∀x，y ∈ ↅ(x ≠ y → x∩y＝r) 。

由于AC等价于良序定理，因此∪H 可以被良序化，固定 H 上的良序 R ，下面我们证明引理：

不妨假设(∪H，R) ，这样可以直接令 {pα：α＜ω₁}＝H ⊆ [ω₁]＜ω。如果 {min pα：α＜ω₁} 在 ω₁ 中无界，那么由 ω₁ 的正则性，我们从 H 中挑选出不可数子集 ↅ＝{p'α：α＜ω₁} ，其中 α＜β＜ω₁ → max p'α＜min p'ᵦ ，这就有 ∀x，y ∈ ↅ(x ≠ y → x∩y＝∅) ；如果 {min pα：α＜ω₁} 在 ω₁ 中有界，令 {min pα：α＜ω₁} ≤ β，由 ω₁ 的正则性，存在 γ ≤ β 使得 {pα：min pα＝γ} 的基数是 ω₁ ，令 γ₀ 是满足上述条件的最小 γ 且 ↅ₀＝{pα ∈ H：min pα＝γ₀} 。

现在我们考察ↅ₀ 。令 secmin(pα) 是 pα 中倒数第二小的元素，如果不存在倒数第二小的元素就令 secmin(pα)＝∅ 。这时分成两种情况：第一种情况是 {secmin(pα)：pα ∈ ↅ₀} 在 ω₁ 中无界，那么可从 ↅ₀ 中挑选出不可数子集 ↅ₁＝{p'α：α＜ω₁} ，其中 α＜β＜ω₁ → max p'α＜secmin(p'ᵦ) ，这就有 ∀x，y ∈ ↅ₁{x ≠ y → x∩y＝{γ₀}} ；第二种情况是 {secmin(pα)：pα ∈ ↅ₀} 在 ω₁ 中有界，那么存在 γ 使得 {pα ∈ ↅ₀：secmin(pα)＝γ} 的基数是 ω₁ ，令 γ₁ 是满足上述条件的最小 γ 且 ↅ₁＝{pα ∈ ↅ₀：secmin(pα)＝γ₁} 。

重复进行上述过程，由于H 中元素都是有穷集，因此必然存在自然数 n 使得 Hₙ＝{p ∈ H：|p|＝n} 不可数，不妨令 H＝Hₙ ，则上述过程必在有穷步内结束，结束后就得到了所求的 ↅ 和根 r ，引理成立 ⊣

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