SEP丨集合论：早期发展

原文： The Early Development of Set Theory

1. 兴起

集合概念至少对于训练有素的数学家来说看似非常简单，以至于难以正确判断和欣赏先驱者的贡献。他们付出大量精力的工作，数学界花了很长时间才接受，虽然对我们来说可能相当自明甚至琐碎。文献中普遍存在的三个历史误解应该在一开始就指出：

1. 并非所有人在康托尔之前都普遍拒绝实无穷。

2. 集合论观点并非仅仅源于分析学，而且还在代数、数论和几何学中出现。

3. 实际上，集合论数学的出现先于康托尔的关键贡献。

这些点在后面将变得清晰。

群组概念与计数一样古老，至少从“波尔菲利树”（公元3世纪）以来，关于类的逻辑思想就已经存在。因此，弄清楚集合概念的起源变得困难。但是，集合既不是日常意义上的群组，也不是19世纪中叶之前逻辑学家所说的“类”。关键缺失的元素是对象性——集合是一个数学对象，就像任何其他对象一样被操作（集合N 就像数字3一样是‘一个东西’）。为了澄清这一点，罗素作出了如下区分：多个东西的类概念（传统观念）和一个东西的类（集合）。

恩斯特·策梅洛，我们故事中的关键人物，说这个理论历史上是“由康托尔和戴德金创立的”[策梅洛1908，262]。这暗示了一个便利的实用标准：应该从那些对康托尔、戴德金和策梅洛的观念产生了重大影响的作者开始。大体上，这就是这里采用的标准。然而，每个规则都有例外，波尔查诺的案例既重要又富有启发性，尽管波尔查诺并没有对后来的作家产生重大影响。

19世纪德语区存在一部分提倡接受实无穷的知识趋势（例如，莱布尼茨思想的复兴）。尽管高斯警告说无穷只能是一种说法，一些次要人物和三个主要人物（波尔查诺、黎曼、戴德金）在康托尔之前完全接受了数学中的实无穷。这三位作者在推动数学思想的集合论表述方面活跃，其中戴德金在许多经典著作（1871、1872、1876/77、1888）中的贡献至关重要。

按时间顺序，伯纳德·波尔查诺是第一个，但他几乎没有影响力。他在逻辑和数学基础方面的高质量工作是众所周知的。一本名为《无穷的悖论》（Paradoxien des Unendlichen）的书在他去世后的1851年出版。这本书中波尔查诺详细论证了围绕无穷的一系列悖论在逻辑上是无害的，并为实无穷进行了有力的辩护。他提出了一个有趣的论证，试图证明无穷集合的存在，常与戴德金（1888）稍晚些的论证相比较。尽管他使用了不同种类的集合或类的复杂区分，波尔查诺清楚地认识到将两个无穷集合一一对应的可能性，就像人们可以轻松地做到的，例如，通过函数 5y＝12x 将区间 [0，5] 和 [0，12] 一一对应。然而，波尔查诺抵制了两个无穷集合“在其部分的多样性方面是相等的”这一结论[1851，30–31]。很可能，传统的度量观念在他的思维方式中仍然太有力，因此他错过了基数概念（然而，人们可以考虑非康托尔式的观点，参见Mancosu 2009）。

波尔查诺的案例表明，度量概念的解放（伴随着射影几何学、拓扑学的发展）使集合论的抽象观点成为可能起到了关键作用。伯恩哈德·黎曼在他著名的就职演讲《几何学的基础假设》（1854/1868a）中，提出了关于拓扑学、类意义上的集合/流形概念而构建所有数学领域的宏大想法。黎曼特别强调概念数学，尤其是在他对复分析的方法中显而易见（这再次深入到拓扑学）。给出最简单的例子，黎曼是狄利克雷观点的热情追随者，即函数必须被视为数值之间的任意对应，无论是否能够用公式表示；这意味着抛弃了函数被定义为解析表达式的时代。通过这种新的数学风格，以及通过他对集合的新形象和发展拓扑学的完整计划的愿景，黎曼对戴德金和康托尔都产生了关键影响（参见Ferreirós 1999）。

1868年至1872年的五年间，德国出现了集合论方案的激增，以至于我们可以将其视为集合论数学的诞生。黎曼的几何学讲座于1854年发表，戴德金于1868年出版，连同黎曼关于三角级数的论文（1854/1868b，提出了黎曼积分）。后者是深入实分析研究的起点，开始研究“严重”不连续的函数。年轻的格奥尔格·康托尔进入了这一领域，这引导他研究点集。1872年，康托尔引入了一个对点集的操作（见下文），不久他就在思考将该操作迭代到无穷甚至超穷的可能性：这是对超限领域的第一瞥。

与此同时，另一个重大发展由理查德·戴德金于1871年提出。在他关于代数数论的工作中，戴德金引入了一个本质上属于集合论的观点，定义了代数数的域和理想。这些想法以非常成熟的形式呈现，使用了集合操作和结构保持映射（参见Ferreirós 1999的相关段落：92–93；康托尔在他自己的集合论工作中大约在1880年使用了戴德金的术语[1999：204]）。考虑到给定代数数域中的整数环，戴德金定义了某些称为“理想”的子集，并将这些集合作为新对象进行操作。这个程序是他通往该主题的一般方法的关键。在其他作品中，他非常清晰和精确地处理了等价关系、划分集合、同态和自同态（关于等价关系历史的参考文献，参见Asghari ‎2018）。因此，许多二十世纪数学中常见的集合论计划都可以追溯到他的工作。几年后（在1888年），戴德金发表了一篇论文，介绍了集合论的基本元素，只是稍微更明确地说明了他自1871年以来一直在使用的关于集合和映射的操作。

次年，戴德金发表了一篇论文[1872]，在其中对实数集R 的结构进行了公理化分析。他将其定义为一个有序域，同时也是完备的（意味着所有在 R 上的戴德金分割对应于 R 中的一个元素）；该意义下的完备性可以推理出阿基米德公理。康托尔也在1872年提供了 R 的定义，使用有理数的柯西序列，这是对卡尔·魏尔斯特拉斯在他的讲座中提供的定义的一个优雅简化。魏尔斯特拉斯偏爱的完备性公理形式是波尔查诺原理，即 R 中的嵌套闭区间序列（一个序列，使得 [αₘ₊₁，bₘ₊₁] ⊂ [αₘ，bₘ]）“包含”至少一个实数（或者，正如我们所说，有一个非空交集）。

康托尔和戴德金对实数的定义隐含地依赖于集合论，并且可以上溯至幂集公理的假设。两者都将有理数集视为给定的，并且对于R 的定义依赖于某个有理数无穷集的全体（无论是柯西序列的全体，还是所有戴德金分割的全体）。随着这一点，对集合论的建设性批评开始出现，随着利奥波德·克罗内克开始对这种无限过程提出反对。同时， R 的拓扑学研究开始进行，特别是在魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔的工作中。集合论方法也应用在一些作者（例如，汉克尔、杜布瓦-雷蒙、H.J.S.史密斯、U.迪尼）的实分析和复分析领域工作中，同样地也出现于戴德金和韦伯合作开创的代数几何中。

康托尔的导出集合特别有趣（关于这个想法在实分析中的背景，请见如Dauben 1979, Hallett 1984, Lavine 1994, Kanamori 1996, Ferreirós 1999）。康托尔将实数的“概念范围”视为已知的，并考虑任意子集P ，他称之为‘点集’。当 r 的所有邻域都包含 P 的点时，实数 r 被称为 P 的极限点。这只有在 P 是无穷的情况下才会发生。借助于魏尔斯特拉斯的这个概念，康托尔继续定义了 P 的导出集合 P' ，作为 P 的所有极限点的集合。通常 P' 可能是无穷的，并且有自己的极限点（参见康托尔在Ewald [1996, 第2卷, 840ff]的论文，特别是p. 848）。因此，可以迭代该操作并获得更多的导出集合 P''，P''' . . . P⁽ⁿ⁾ . . . 很容易给出一个集合 P 的例子，该集合将产生对于所有有限 n 的非空导出集合 ᴘ⁽ⁿ⁾ 。（一个相当平凡的例子是 P＝Q[0，1] ，单位区间中的有理数集；在这种情况下， P'＝[0，1]＝P'' ）因此，可以将 ᴘ⁽∞⁾ 定义为所有有限 n 的 P(n) 组成的交集。这是康托尔第一次遇到超限迭代。

然后，在1873年末，发生了一个令人惊讶的发现，完全打开了超限领域。在与戴德金的通信中（参见Ewald 1996, 第2卷），康托尔提出了一个问题，即自然数的无穷集N 和实数的无穷集 R 是否可以一一对应。作为回应，戴德金提供了一个令人惊讶的证明，即所有代数数的集合 A 是可数的（即，存在与 N 一一对应的关系）。几天后，康托尔证明假设 R 是可数的会导致矛盾。为此，他采用了上述的波尔查诺-魏尔斯特拉斯完备性原理。因此，他已经证明了 R 中的元素比 N 、Q 中的元素要多，确切地说， R 的基数严格大于 N 的基数。

2. 巩固

集合论开始成为新的“现代”数学方法的一个基本组成部分。但这种观点受到了争议，其巩固过程相当漫长。戴德金的代数风格直到1890年代才开始找到追随者；大卫·希尔伯特就是其中之一。数学土壤在实函数领域更完善：意大利、德国、法国和英国的数学家在1880年代做出了贡献。而新的基础观点被皮亚诺及其追随者——在某种程度上是弗雷格、1890年代的希尔伯特，以及后来的罗素所接受。

与此同时，康托尔在1878年至1885年间发表了关键作品，帮助将集合论变成了数学的一个独立分支。让我们用A ≡ B 来表示两个集合 A，B 可以建立一一对应关系（具有相同的基数）。在证明了无理数可以与 R 建立一一对应关系之后，令人惊讶的是，康托尔在1878年猜想任何 R 的子集要么是可数的 (≡ N) ，要么是不可数的 R 。这是连续统假设的第一种也是最弱的形式。在接下来的几年里，康托尔探索了点集的世界，引入了几个重要的拓扑学概念（例如，完备集、闭集、孤集），并得出了如康托尔——本迪克松定理之类的结果。

一个点集P 是闭的当且仅当其派生集 P' ⊆ P ，点集 P 是完备的当且仅当 P＝P' 。康托尔——本迪克松定理声明，一个闭点集可以被分解为两个子集 R 和 S ，使得 R 是可数的， S 是完备的（实际上， S 是 P 的第 α 个导出集合，对于一个可数的序数 α 。因此，闭集被认为具有完备集性质。此外，康托尔能够证明完备集具有连续统的势（1884年）。这两个结果意味着连续统假设对所有闭点集都是有效的。许多年后，在1916年，帕维尔·亚历山德罗夫和费利克斯·豪斯多夫能够证明更广泛的类别——博雷尔集也具有完备集性质。

他对点集的研究使康托尔在1882年构想了超限数（参见Ferreirós 1999：267ff）。这是他研究的一个转折点，因为从那时起，他独立于与点集及其拓扑有关的更具体问题研究抽象集合论（直到1880年代中期，这些问题在他的议程中占据了突出位置）。随后，康托尔专注于超限基数和序数，以及独立于\(R\)的拓扑性质的一般序类型。

超限序数在1883年的一篇重要的数学哲学论文《一般多样性理论基础》中作为新的数字被引入，注意康托尔仍然使用黎曼的术语Mannigfaltigkeit（或‘多样性’）来表示集合。康托尔根据两个“生成原则”定义了它们：第一个（1）为任何给定的数字α 产生后继数 α＋1 ，而第二个（2）规定，在任何没有最后一个元素的数字序列之后，都有一个数字 b 紧随其后。因此，在所有有限数之后，通过（2），来到了第一个超限数 ω （读作：欧米伽）；

ω＋1，ω＋2，. . .，ω＋ω＝ω · 2，. . .，ω · n，ω · n＋1，. . .，ω²，ω²＋1，. . .，ωω，. . .

等等。每当出现没有最后元素的序列时，人们可以继续前进，并且可以说，通过（2）跳跃到更高的阶段。

这些新数字的引入，对于他的大多数同时代人来说似乎是无用的猜想，但对于康托尔来说，它们发挥了两个非常重要的功能。为此，他将超限序数分类如下：第一个“数字类”由有限序数组成，自然数集N ；第二个“数字类”由 ω 及其之后的所有数字（包括 ωω ，以及许多更多）组成，这些数字只有一个可数集的前驱。这个关键条件是由证明康托尔-本迪克森定理的问题所提示的（参见Ferreirós 1995）。基于此，康托尔能够建立结果，即“第二数字类”的基数大于\(N\)的基数；并且不存在中间基数。因此，如果你写 cαrd(N)＝ℵ₀ （读作：阿列夫零），他的定理为称呼“第二数字类”的基数为 ℵ₁ 提供了理由。

在第二数字类之后是“第三数字类”（所有超限序数，其前驱集的基数是ℵ₁ ；可以证明这个新数字类的基数是 ℵ₂ 。依此类推。超限序数的第一个功能，因此，是建立一个递增的超限基数的明确刻度。（上面使用的阿列夫符号直到1895年才由康托尔引入。）这使得能够更精确地表述连续统问题；康托尔的猜想成为了假设 cαrd(R)＝ℵ₁ 。此外，依靠超限序数，康托尔能够证明康托尔——本迪克松定理，完善了他在这些关键年份期间一直在阐述的关于点集的结果。康托尔——本迪克松定理声明： Rⁿ 的闭集（可推广到波兰空间）具有完备集性质，因此 Rⁿ 中的任何闭集 S 都可以唯一地表示为一个完备集 P 和一个可数集 R 的不相交并集。而且， P 是 Sα ，对于一个可数序数 α 。

研究超限序数使康托尔的注意力转向了有序集，特别是良序集。一个集合S 通过关系＜被良好排序，当且仅当＜是一个全序，并且 S 的每个子集在＜排序中都有一个最小元素。（实数在它们通常的顺序中不是良序的：只需考虑一个开区间。同时， N 是最简单的无限良序集。）康托尔认为，超限序数真正值得被称为数字，因为它们表达了任何可能良序集的“序类型”。还要注意，康托尔很容易指出如何重新排序自然数，使它们对应于序类型

ω＋1，ω＋2，. . .，ω＋ω＝ω · 2，. . .，ω · n，ω · n＋1，. . .，ω²，ω²＋1，. . .，ωω，. . .

等等。（例如，按照形式： 2，4，6，. . .，5，15，25，35，. . .，1，3，7，9，. . . 重新排序 N ，我们得到一个具有序类型 ω · 3 的集合。）

还要注意，如果连续统假设为真，那么实数集R 确实可以被良好排序。康托尔非常坚定这一观点，以至于他将每个集合都可以良好排序的进一步假设呈现为“一条基本且重大的思维定律”。几年后，希尔伯特将连续统假设和良序问题作为他著名的“数学问题”清单中的问题1引起了注意。这样做是强调集合论对数学未来的重要性以及其新方法和问题的成果性的一种聪明方式。

在1895年和1897年，康托尔发表了他的最后两篇文章。这些文章是他关于超限数（基数和序数）及其理论，以及关于序类型和良序集的结果的有组织的呈现。然而，这些论文没有提出重大的新想法。不幸的是，康托尔对他准备的第三部分有所怀疑，这本应讨论与良序问题和悖论（见下文）有关的非常重要的问题。令人惊讶的是，康托尔也未能在1895/97年的论文中包括他几年前发表的一个定理，这个定理简称为康托尔定理：给定任何集合S ，存在另一个集合，其基数更大（这就是我们现在所说的幂集 P(S) ，康托尔使用的是所有形式为 f：S → {0，1} 的函数的集合，这是等价的）。在同一篇短论文（1892年）中，康托尔通过对角线方法展示了\(R\)是不可数的，这是一种他随后扩展用来证明康托尔定理的方法。（类似的论证形式早在P. du Bois-Reymond [1875年]的工作中出现，参见[Wang 1974, 570]和[Borel 1898], Note II等。）

与此同时，其他作者正在探索集合论为数学基础开辟的可能性。最重要的是戴德金在1888年的贡献，他深入介绍了自然数的理论。他提出了一些集合（和映射）理论的基本原则；给出了自然数系统的公理；证明了数学归纳法是有力的，递归定义是无瑕的；发展了算术的基本理论；引入了有限基数；并证明了他的公理系统是分类的。他的系统有四个公理。给定定义在S 上的函数 φ ，一个集合 N ⊆ S ，和一个特殊元素 1 ∈ N ，它们如下：

(α) ф(N) ⊂ N

(β) N＝фₒ{1}

(γ) 1 ∉ ф(N)

(δ) ф

条件（β）至关重要，因为它确保了自然数集的最小性，这解释了数学归纳法证明的有效性。N＝φₒ{1} 读作： N 是在函数 φ 下单元素集 {1} 的链，即 {1} 在函数 φ 下的最小闭包。一般来说，人们考虑在任意映射 γ 下集合 A 的链，记作 γₒ(A) ；在他的小册子中，戴德金发展了这样的链的有趣理论，这使他能够证明康托尔——伯恩斯坦定理。这一理论后来被策梅洛推广，并被斯科勒姆、库拉托夫斯基等人应用。

在接下来的几年里，朱塞佩·皮亚诺给出了自然数的更表面化（但也更有名）的处理，采用了逻辑的新符号语言，而戈特洛布·弗雷格则阐述了他自己的想法，然而这些想法却陷入了悖论。受集合论思维风格启发的一本重要书籍是希尔伯特的《几何学基础》（1899），它通过对几何系统的丰富研究，将“公理数学”推进了一步，这些研究是由关于他的公理独立性的问题所激发的。希尔伯特的书明确了与集合论的新方法相联系、正在形成的新公理方法论，并将其与源自射影几何的公理趋势结合起来。

然而，正如我们之前所说，对集合论、无穷方法有相当多的批评。早在1870年，克罗内克就开始发表具有构造主义倾向的批评性言论，许多年后，这些言论会被布劳威尔或维特根斯坦等杰出思想家所回响。克罗内克的批评方向是放弃实数系统和经典分析，转而支持某种更严格形式的分析——二十世纪的例子包括预言性分析（H. Weyl基于庞加莱的基本概念，参见Feferman 1988）和直觉主义分析（布劳威尔）。即使是魏尔斯特拉斯也有异议（至少在1874年），反对区分无穷大大小的想法，尽管面对康托尔的证明。例子比比皆是，因此在1900年代，许多数学家对集合论的关键思想和方法表示怀疑。一个典型案例是E. Borel，在引入康托尔的思想到法国后[1898]，他对集合论的怀疑日益增加（他与贝尔、勒贝格、阿达马在1905年交换的五封信已经变得很有名；参见Ewald [1996, vol. 2]）。但还有像庞加莱、魏尔、斯科勒姆等人的案例。在哲学家中，最著名的例子是维特根斯坦，他谴责集合论建立在虚构符号的“胡说”上，暗示了“错误的意象”等等。

3. 批判时期

在十九世纪末，普遍的观点是纯数学不过是算术的一种复杂形式。因此，人们常常谈论数学的“算术化”，以及它是如何带来最高标准的严谨性的。随着戴德金和希尔伯特，这种观点导致了将所有纯数学基于集合论的想法。在提出这种观点的过程中最困难的步骤是建立实数的理论，以及将自然数归约为集合论。康托尔和戴德金的工作解决了这两个问题。但正当数学家们庆祝“完全的严谨性”终于达成时，集合论的基础出现了严重问题。康托尔首先，然后是罗素，发现了集合论中的悖论。

康托尔是通过引入超限数的“概念领域”而被引向悖论的。每个超限序数是其前驱集的序类型；例如，ω 是 {0，1，2，3，. . .} 的序类型， ω＋2 是 {0，1，2，3，. . .，ω，ω＋1} 的序类型。因此，序数系列的每个初始段都对应一个立即更大的序数。现在，“所有”超限序数的“整个系列”将形成一个良序集，对应于它将有一个新的序数。这是不可接受的，因为这个序数 ο 必须大于“整个系列”的所有成员，特别是 ο＜ο 。这通常被称为Burali-Forti悖论，或序数悖论（尽管Burali-Forti本人未能清楚地阐述它，参见Moore & Garciadiego 1981）。

尽管康托尔可能早在1883年，就在引入超限序数之后立即发现了这个悖论（支持这一想法的论据参见Purkert & Ilgauds 1987和Tait 2000），但证据清楚地表明，直到1896/97年他才发现这个悖论性论证并意识到其含义。到那时，他还能够利用康托尔定理得出康托尔悖论，或阿列夫悖论：如果存在“所有”基数（阿列夫）的“集合”，康托尔定理应用于它将给出一个新的阿列夫ℵ ，使得 ℵ＜ℵ 。这位伟大的集合论家非常清楚地意识到，这些悖论对弗雷格和戴德金所青睐的“逻辑”方法来说是致命打击。康托尔强调，他的观点与戴德金的“完全相反”，特别是对他的“天真假设，即所有定义良好的集合或系统也是‘一致系统’”（参见1987年给希尔伯特的信，Purkert & Ilgauds 1987: 154）。（与常常被声称的相反，康托尔在1895年论文中对集合的模糊定义，意图与逻辑主义者对集合的理解“完全相反”——经常被称为“朴素”集合论，更恰当地说，应该称为集合的二分法概念，遵循哥德尔的建议。）

康托尔认为他可以通过区分“一致多重性”或集合和“不一致多重性”来解决悖论问题。但是，在缺乏明确区分标准的情况下，这只是对问题的口头回答。意识到他的新想法存在缺陷，康托尔从未发表他一直在准备的最后一篇论文，在那篇论文中，他计划讨论悖论和良序问题（我们很清楚这篇未发表论文的内容，因为康托尔在与戴德金和希尔伯特的通信中讨论过；参见1932年给戴德金的信，Cantor或Ewald 1996: vol. 2）。康托尔提出了一个依赖于“Burali-Forti”序数悖论的论证，并旨在证明每个集合都可以良序。这个论证后来被英国数学家P.E.B. Jourdain重新发现，但因为它涉及“不一致多重性”（康托尔在上述信件中的术语），所以受到批评。

康托尔的悖论使希尔伯特和戴德金确信，关于集合论基础存在重要的疑问。希尔伯特提出了他自己的悖论（Peckhaus & Kahle 2002），并与哥廷根圈内的数学家讨论了这个问题。因此，恩斯特·策梅洛发现了“所有不属于自身的集合”的“集合”的悖论（Rang & Thomas 1981）。这也是伯特兰·罗素独立发现的，他是通过仔细研究康托尔定理得出的，这与罗素相信普遍集合的观念存在深刻冲突。一段时间后，在1902年6月，他将这个“矛盾”通报给了正在完成自己的算术逻辑基础的戈特洛布·弗雷格，通过一封著名的信[van Heijenoort 1967, 124]。弗雷格的反应非常清楚地表明了这个矛盾对逻辑主义计划的深远影响。“我能总是谈论一个类，一个概念的扩展吗？如果不能，我如何知道例外？”面对这个问题，“我看不出数学如何能被赋予科学基础，如何将数字视为逻辑对象”（弗雷格 1903: 253）。

弗雷格的《基本法则》第二卷的出版（1903年），尤其是罗素的《数学原理》（1903年）的工作，使数学界充分意识到集合论悖论的存在，以及它们的影响和重要性。有证据表明，直到那时，即使是希尔伯特和策梅洛也没有完全意识到损害的程度。值得注意的是，罗素-策梅洛悖论涉及非常基本的概念——否定和集合成员资格——这些概念广泛被视为纯逻辑的。根据理解原则（允许任何开放句子确定一个类），集合R＝{x：x ∉ x} 存在，但如果是这样， R ∈ R 当且仅当 R ∉ R 。这直接与弗雷格和罗素所青睐的原则相矛盾。

显然需要澄清集合论的基础，但总体情况并不使这项任务变得容易。不同的竞争观点差异很大。康托尔对集合论有一种形而上学的理解，尽管他对该领域有着最敏锐的观察，但他无法提供一个精确的基础。对他来说很清楚（正如恩斯特·施勒德在他的《逻辑代数讲义》，1891年，有点神秘地），必须拒绝弗雷格和戴德金所青睐的通用集合的想法。弗雷格和罗素基于理解原则，这被证明是矛盾的。戴德金避免了那个原则，但他假设绝对宇宙是一个集合，一个“事物”，在他的技术意义上是Gedankending；并且他将这个假设与任意子集的全面接受结合起来。

承认任意子集的想法是康托尔和戴德金的深刻灵感之一，但他们都没有对其进行主题化。（在这里，他们对分析的现代理解扮演了一个关键但隐含的背景角色，因为他们在狄利克雷——黎曼传统的“任意”函数内工作。）至于现在著名的迭代概念，其中有一些元素（特别是在戴德金的工作中，他的数字系统的迭代发展，以及他对“系统”和“事物”的看法），但在许多相关作者中显然缺失。典型地，例如，康托尔没有迭代集合形成过程：他倾向于考虑同质元素的集合，这些元素被认为属于“某种概念领域”（无论是数字，还是点，或函数，甚至是物理粒子——但不混杂）。迭代概念首次由库尔特·哥德尔在[1933年]提出，与几年前冯·诺伊曼和策梅洛的技术工作有关；哥德尔在他关于康托尔连续统问题的著名论文中坚持这一想法。这只是在大量集合论已经发展和完全系统化之后才出现的。

这种观点的多样性极大地增加了总体的混乱，但还有更多。除了上述的集合论悖论（正如我们所说），“逻辑”悖论的列表还包括了一系列进一步的悖论（后来称为“语义”悖论）。其中包括由罗素、理查德、康尼格、贝里、格雷林等人引起的悖论，以及古老的爱比门尼德斯的谎言悖论。对损害的诊断和提出的治疗方法极其多样化。像罗素这样的作者认为，找到一个新的逻辑系统来解决所有悖论至关重要。这使他进入了构成《数学原理》（3卷，怀特海德和罗素，1910-1913）基础的分支类型理论。其他作者，如策梅洛，认为大多数悖论一旦在一个受限的公理系统内工作就会消失。他们专注于“集合论”悖论（正如我们在上面所做的），并被引导寻找集合论的公理系统。

更重要的是，康托尔留下的问题和希尔伯特在他1900年的第一个问题中强调的问题引起了热烈的争论。在1904年海德堡的国际数学家大会上，朱拉·康尼格提出了一个非常详细的证明，表明连续统的基数不能是康托尔的任何阿列夫。他的证明之所以有缺陷，是因为他依赖了之前由费利克斯·伯恩斯坦，“康托尔和希尔伯特的学生”“证明”的一个结果。费利克斯·豪斯多夫花了几个月的时间确定了这个缺陷，并通过正确陈述伯恩斯坦结果的特殊条件来纠正它（参见豪斯多夫2001年，第1卷）。一旦得到纠正，康尼格的定理成为限制连续统问题可能解决方案的非常少数结果之一，例如，暗示cαrd(R) 不等于 ℵω 。与此同时，策梅洛能够使用选择公理证明每个集合都可以良序[1904年]。在接下来的一年里，德国、法国、意大利和英国的杰出数学家讨论了选择公理及其可接受性。

选择公理声明：对于每个非空集合的集合A ，存在一个集合，它与 A 中的每个集合恰好有一个共同元素。这开启了一个时代，在这个时代里，选择公理被非常小心地作为一个可疑的假设对待（参见Moore 1982的重要研究）。这是具有讽刺意味的，因为，在所有常用的集合论原则中，选择公理是唯一一个明确强制存在某些任意子集的原则。但是，重要的是，这个想法在激发康托尔和戴德金的动机方面是多么重要，以及它与经典分析是多么纠缠不清，无限的任意子集被许多其他作者所拒绝。在接下来的时期，最有影响力的一些人中，应该强调罗素、赫尔曼·魏尔和当然还有布劳威尔的名字。

选择公理长时间以来是一个有争议的公理。一方面，它在数学中被广泛使用，实际上，它是许多重要的分析定理的关键（这随着像谢尔宾斯基[1918]这样的作品逐渐清晰）。另一方面，它有一些相当不直观的后果，如Banach-Tarski悖论，它说单位球可以被分割成有限多个“片段”（子集），然后可以重新排列形成两个单位球（参见Tomkowicz & Wagon [2019]）。反对这一公理的理由来自于它断言存在无法明确定义的集合。在1920年代和1930年代，每当一个定理依赖于这个公理时，都存在明确提及它的惯例。这一做法只在哥德尔讨论的相对一致性证明之后才停止。

围绕他的良序定理的激烈争论，以及数学基础提出的最有趣和最困难的问题，促使策梅洛专注于公理化集合论。由于他深刻的分析，1908年他发表了自己的公理系统，展示了它如何阻止已知的悖论，同时又允许对基数和序数理论进行巧妙的发展。然而，这是条目“策梅洛的集合论公理化”的主题；另外，关于策梅洛的生平和工作，参见Ebbinghaus 2015。

4. 从策梅洛到哥德尔

在1900年至1930年的时期内，“集合论”这一术语仍然被理解为包括拓扑学和函数论的主题。尽管康托尔、戴德金和策梅洛已经把重点转移到纯集合论上，但对于广大数学家来说，这仍将是一个漫长的过程。因此，在1897年的第一届国际数学家大会上，哈达马德和赫尔维茨通过主题演讲为集合论辩护，基于其对分析学的重要性。大约在1900年，受到分析学主题的启发，三位法国专家进行了重要的工作：博雷尔[1898]、贝尔[1899]和勒贝格[1902][1905]。他们的工作开创了描述集合论的发展，通过扩展康托尔对可定义的实数集合的研究（在其中他已经证明了连续统假设对闭集是有效的）。他们引入了博雷尔集的层次结构、贝尔函数的层次结构，以及勒贝格测度的概念——现代分析学的一个关键概念。

描述集合论（DST）是对某些类型的可定义实数集合的研究，这些集合是通过像补集或投影这样的众所周知的操作从简单类型（如开集和闭集）获得的。博雷尔集是第一层次的可定义集合，由埃米尔·博雷尔在1898年的书中引入；它们是通过对开集进行可数并和补集操作的迭代应用获得的。1905年，勒贝格在一篇开创性的回忆录中研究了博雷尔集，展示了它们的层次结构对所有可数序数都有等级，并分析了贝尔函数作为博雷尔集的对应物。描述集合论的主要目标是找到所有这类可定义集合共有的结构属性：例如，博雷尔集被证明具有完美集属性（如果是不可数的，它们有一个完美子集），因此符合连续统假设（CH）。这一结果是由豪斯多夫和亚历山德罗夫在1916年独立建立的。DST中研究的其他重要“规则性属性”包括勒贝格可测量性，以及所谓的贝尔属性（与所谓的稀疏集或第一类集不同的开集）。

当时同样关键的是对分析集的研究，即博雷尔集的连续像，或等价地，博雷尔集的投影。年轻的俄罗斯数学家米哈伊尔·苏斯林在意识到博雷尔集的投影通常不是博雷尔集后，发现了勒贝格1905年回忆录中的一个错误[Suslin 1917]。然而，他能够证明，分析集也具有完美集属性，从而验证了CH。到了1923年，尼古拉·卢辛和瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基正在研究共析集，这将引导他们到一个新的投影集层次结构，从分析集(Σ¹₁) 开始，它们的补集（共析集， Π¹₁ 集），这些最后的投影 (Σ¹₂) ，它们的补集 (Π¹₂) ，等等。在1920年代，主要是围绕谢尔宾斯基和卢辛及其学生的俄罗斯数学学派的波兰数学家们对这些新类型的集合进行了大量工作。谢尔宾斯基获得的一个关键结果是，每个 [公式] 集是 [公式] 个博雷尔集的并集（对 [公式] 集也是如此），但这种传统研究在大约1940年后停滞了（见Kanamori [1995]）。

不久，卢辛、谢尔宾斯基及其同事们在他们的工作中遇到了极大的困难。卢辛非常绝望，以至于在1925年的一篇论文中得出了“完全出乎意料”的结论：“人们不知道，也永远无法知道”投影集是否具有所期望的规则性属性（引自Kanamori 1995: 250）。鉴于后来的发展，这些评论在方法论和哲学问题上引起的困难非常有趣，这些问题是由这些较新的假设提出的，即支持它们的证据类型的问题。

卢辛在他1930年的书《关于分析集合的课程》（巴黎，Gauthier-Villars）中总结了艺术的现状，这本书在未来几年将成为关键参考。自此以后，将DST的结果呈现在ω空间的无限自然数序列上，这已经成为惯例，实际上这是由勒内·贝尔在1909年发表的一篇论文中引入的。贝尔空间赋予了一定的拓扑，使其与无理数集同胚，并被专家认为是“集合论研究的最基本对象”之一，仅次于自然数集[Moschovakis 1994, 135]。

这一系列关于DST的工作必须被视为集合论对分析学和拓扑学所做的最重要贡献之一。但是，最初试图证明连续统假设的尝试未能达到这一目标。很快就使用选择公理证明了存在非勒贝格可测量的实数集（Vitali 1905），以及不存在完美子集的不可数实数集（Bernstein 1908）。这些结果清楚地表明，通过专注于可定义和“行为良好”的实数集，无法达到CH的目标。

此外，随着哥德尔大约在1940年（以及1960年代的强制方法）的工作，研究为何在1920年代和30年代停滞不前变得清晰：基本的新独立性结果显示，苏斯林（分析集的完备集性质）、谢尔宾斯基（Σ¹₂ 集是 ℵ1 个博雷尔集的并集）和其他一些人所建立的定理是基于ZFC公理系统的最佳可能结果。这在哲学上很重要：已经对从开集（或闭集）通过补集、可数并集和投影可定义的集合世界的探索足以达到ZFC系统的极限。因此需要新的公理，这是哥德尔在二战后强调的[Gödel 1947]。

让我们现在转向康托尔的另一个主要遗产，超限数的研究。到了1908年，豪斯多夫正在研究不可数的序类型，并引入了广义连续统假设（2ℵα＝ℵα₊₁ ）。他还是第一个考虑“过分”的基数可能性的人，即弱不可达基数，即不是后继的正则基数（如果将 α 分解为较小的基数之和需要 α 个这样的数，则称基数 α 为正则的）。几年后，在1910年代初，保罗·马洛在研究这类大基数的层次结构方面的工作开创了集合论的一个中心领域；他通过使用涉及静止子集概念的某种操作获得了一系列不可达基数；它们被称为马洛基数。但是，大基数的研究发展缓慢。与此同时，豪斯多夫的教科书《集合论基础》（1914）引导了两代数学家进入集合论和一般拓扑学。

接下来进入“非常高”的无穷的关键步骤是在1930年完成的。强不可达基数的概念当时由谢尔宾斯基和塔斯基，以及策梅洛[1930]孤立出来。强不可达是一个正则基数α ，使得 2ˣ 小于 α ，当 x＜α 时。虽然弱不可达仅涉及对后继操作的闭包，强不可达涉及对幂集操作的更强的闭包概念。同年，在一篇关于ZFC模型的开创性论文中，策梅洛[1930]建立了不可数（强）不可达基数与某些“自然”ZFC模型之间的联系（在这项工作中，他假设幂集操作是完全确定的）。

同年，斯坦尼斯拉夫·乌拉姆由分析学（测度论）的考虑引出了一个将成为中心的概念：可测基数。结果表明，这样的基数，由测度论属性定义，必须是（强）不可达的。实际上，许多年后，汉夫在塔斯基早期工作的基础上证明了第一个不可达基数不是可测的，表明这些新基数甚至更加“过分”。可以看出，由谢尔宾斯基领导的波兰学派在两次世界大战之间的集合论发展中扮演了非常中心的角色。当在1960年代晚期明确了存在一个可测基数与哥德尔的可构造性公理（V＝L ，在类符号中）相矛盾时，可测基数特别受到关注。这再次证明了哥德尔的信念，表达在有时被称为“哥德尔的新公理计划”中。

集合论数学继续发展成为强大的公理化和结构化方法，这将主导20世纪的大部分时间。举几个例子，希尔伯特的早期公理化工作（例如，在他极有名的《几何学基础》中）是深刻的集合论性质；恩斯特·施泰尼茨在1910年发表了关于抽象域理论的研究，本质上使用了选择公理；大约在同一时间，希尔伯特、莫里斯·弗雷歇等人开始了函数空间的研究。在1920年代和30年代，第一本专门的数学杂志《数学基础》致力于当时理解的集合论（中心包括拓扑学和函数理论）。在这几十年里，结构代数成熟，抽象拓扑学逐渐成为一个独立的研究分支，集合论开始了其元理论转向。

从那时起，“集合论”通常被认为是数学逻辑的一个分支，研究超限集合，起源于康托尔的结果，即R 的基数大于 N 。但是，正如前面的讨论所示，集合论既是现代数学兴起的效果，也是其原因：这一起源的痕迹在其公理结构上留下了不可磨灭的印记。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。