准素分解与诺特环

在抽象代数的课程里，我们学习过唯一分解整环的概念，它的定义是：任一非零元素均可分解为有限个不可约元素的乘积，并且这种分解是唯一的。可以证明，整环A 是唯一分解整环 ⇔ A 满足理想的升链条件（即 A 为 Noether 环），并且 A 中每个不可约元都是素元（注意素元显然是不可约元）

一般情况下，一个整环可能不具有“唯一分解”这样好的性质，最经典的例子比如ℤ[√–5] ，可以证明 2 ， 3 ， 1 ± √–5 均是其上两两不相伴的不可约元，但我们有等式 6＝2 × 3＝(1＋√–5)(1 – √–5)，因而 ℤ[√–5] 不是唯一分解整环

代数数论中我们更多考虑的是理想的分解，即将一个理想分解为若干个素理想的乘积，而不是元素的分解；将素数过渡到理想，即为素理想，将素数幂过渡到理想，就是本节研究的对象——准素理想；这一类比对于本节概念的理解是十分有帮助的

我们后面会证明，Dedekind 整环具有素理想分解的唯一性；如果仅仅只是 Noether 环，则不一定具有此性质，它的理想不一定可分解为素理想之积，但 Noether 环总是满足较弱一些的性质，即理想总可以分解为准素理想之交，这就是准素分解

本节内容参考 Atiyah 第四章和第七章，纯水，就是翻译了一遍，建议读者养成阅读原著的好习惯

1准素分解理论

定义1.1 （primary ideal）称 A 的一个理想 q ⊂ A 是准素的（primary），如果 q ≠ A ，并且对于 xy ∈ q ， x ∉ q ，必存在正整数 n 使得 yⁿ ∈ q ，即 y ∈ r(q) ；换句话说就是， A/q ≠ 0 并且 A/q 的任一零因子皆是幂零元

容易证明，任一素理想必为准素理想；设f：A → B 为环同态， q ⊂ B 为准素理想，则其原像 f⁻¹(q) 也为准素理想；如果 f 是满射，可以证明，如果 A 的准素理想 q ⊃ Kerf ，则 f(q) 是 B 的准素理想

命题1.2 设 q ⊂ A 为准素理想，则其根基 r(q) 必为素理想；进而推出 r(q) 是包含 q 的最小素理想

Pf. 设 xy ∈ r(q) ，则存在 m＞0 使得 xᵐyᵐ＝(xy)ᵐ ∈ q ，于是由 q 的准素性可知有 xᵐ ∈ q 或者存在一个 n＞0 使得 yᵐⁿ ∈ q ，此即 x ∈ r(q) 或 y ∈ r(q)

如果p＝r(q) ，则称 q 是p– 准素的（p– primary）；设 xy ∈ q ， q 为 p– 准素的，则或有 x ∈ q 或有 y ∈ p

我们来看几个例子：

（1）整数环ℤ 的所有准素理想为 (0) 和 (pⁿ) ，其中 p 是素数， n＞0 为正整数；

（2）设A＝k[x，y] ， q＝(x，y²) ，则 A/q ≃ k[y]/(y²) ，容易看出 A/q 的所有零因子是 y 的某个倍数，所以其零因子均是幂零的，由此得到 q 是 A 的准素理想；计算可得 q 的根基 p＝(x，y) ，于是 p² ⊊ q ⊊ p ，由此推出准素理想并不一定总是一个素理想的幂次（这里用到任一素理想幂次的根基均等于该素理想）；

（3）反之一个素理想的幂次也未必是准素理想；例如，设A＝k[x，y，z]/(xy – z²) ，用 ˉx ， ˉy ， ˉz 表示变元 x，y，z 在 A 中的像，则 p：＝(ˉx，ˉz) 是 A 的素理想，因为 A/p ≃ k[y] 为整环；我们有关系式 ˉxˉy＝ˉz² ∈ p² ，但是 ˉx ∉ p² 并且 ˉy ∉ r(p²)＝p ，因此 p² 不为准素理想

但是我们有以下关于极大理想的结论

命题1.3 如果根基 r(l) 是极大理想，则 l 必为准素的；特别地，任一极大理想 m 的幂次均为 m– 准素的 ─

Pf. 设 r(l)＝m ，则 m 在商环 A/l 中的像 m 是环 A/l 的幂零根；

─

但同时 m 也是 A/l 的极大理想，因此 A/l 有唯一的素理想

─

m，所以 A/l 的每个元素或为单位，或落在幂零根 ─

m 中，即为幂零元；进而 A/l 的零因子必为幂零元，这就证明了 l 是准素理想

我们的目标是研究一个理想如何表示为若干个准素理想的交；类比于同一素数幂的乘积必为素数幂，属于同一素理想的准素理想之交仍为准素理想

引理1.4 设 qᵢ，1 ≤ i ≤ n 皆是 p– 准素的，则其交

ₙ

q：＝∩qᵢ 也为 p– 准素的

ᵢ₌₁

ₙ ₙ

Pf 首先 r(q)＝r(∩qᵢ)＝∩r(qᵢ)＝p

ᵢ₌₁ ᵢ₌₁

；设 xy ∈ q ，并且 x ∉ q ，即存在一个 i 使得 x ∉ qᵢ ，于是根据 xy ∈ qᵢ 和 qᵢ 的准素性可知存在一个正整数 n 使得 yⁿ ∈ qᵢ ，因此 y ∈ r(qᵢ)＝p＝r(q)

下面对任一x ∈ A 分类 (q：x)

引理1.5 设 q 是 p– 准素的， x ∈ A ，则

（1）如果x ∈ q ，则 (q：x)＝(1) ；

（2）如果x ∉ q ，则 (q：x) 是 p– 准素的；

（3）更进一步如果x ∉ p ，则 (q：x)＝q

Pf. （1）是显然的；（3）根据准素理想的等价定义即可证明；

对于（2），首先 (q：x) ⊂ p ，这是因为对任一 y ∈ (q：x) ，据定义有 xy ∈ q ，而 x ∉ q ，所以 y ∈ p ；这样我们就有 q ⊂ (q：x) ⊂ p ，再取根基即有 r(q：x)＝p ；现在设 yz ∈ (q：x) ，则 xyz ∈ q，如果 y ∉ (q：x) ，即 xy ∉ q ，则必有 z ∈ r(q)＝p＝r(q：x) ，这就证明了 (q：x) 是准素的

现在正式定义准素分解

定义1.6 （Primary decomposition）设 l ⊂ A 为理想， l 的一个准素分解是指将 l 表示为有限个准素理想的交，即

ₙ

l＝∩qᵢ.(*)

ᵢ₌₁

一般来讲，准素分解(*) 不一定存在，即使存在也不一定唯一；但是引理1.4告诉我们，总是可以将属于同一个素理想的准素理想因子合并，得到一个“极小的”准素理想因子，同时将 (*) 右边对交集无贡献的项删去，这样我们总可以假设：

（M1）r(qᵢ) 是互异的；

（M2）对任一1 ≤ i ≤ n 均有 qᵢ ⊉ ∩qⱼ 成立；

j≠i

满足上述条件（M1）（M2）的准素分解称为极小的（minimal），或称无赘的（irredundant）、既约的（reduced）、正规的（normal）（名字真多）

如果理想l ⊂ A 有一个准素分解，则称 l 为可分解的（decomposable）

定理1.7 （第一唯一性定理）设 l 是一个可分解的理想，有极小的准素分解式

ₙ

l＝∩qᵢ

ᵢ₌₁

设 pᵢ＝r(qᵢ) ， 1 ≤ i ≤ n ，则所有的 pᵢ （注意 pᵢ 互异）恰好是集合

{r(l：x)|x ∈ A}

中的所有素理想，进而素理想 pᵢ，1 ≤ i ≤ n 无关 l 准素分解的选取

ₙ ₙ

(l：x)＝(∩qᵢ：x)＝∩(qᵢ：x)，

ᵢ₌₁ ᵢ₌₁

所以根据引理1.5有

ₙ

r(l：x)＝∩r(qᵢ：x)＝∩pⱼ，

ᵢ₌₁ x∉qⱼ

筛选掉了包含 x 的因子；

现在假设 r(l：x) 是素理想，则根据 Prime avoidance 引理可知，存在 j 使得 r(l：x)＝pⱼ ，这样集合 {r(l：x)|x ∈ A} 中的每个素理想必形如 pⱼ，1 ≤ j ≤ n ；反之，极小准素分解的条件（M2）告诉我们，对每个 1 ≤ i ≤ n ，均存在元素 xᵢ ∈∩qⱼ ，而 xᵢ ∉ qᵢ j≠i

，于是 r(l：xᵢ)＝pᵢ

注记1.8

（1）上述证明中，我们选取的xᵢ ∈ A 事实上满足 (l：xᵢ)＝q(qᵢ：xᵢ) 是 pᵢ 准素的，这由引理1.5（2）可推出；

（2）视A/l 为 A– 模，则（1）中的 (l：xᵢ) 也就是 am ᴀ/ɪ(xᵢ) ，于是定理1.7告诉我们，准素分解产生的素理想 pᵢ，1 ≤ i ≤ n ，恰好就是所有形如 A/l 中某个元素零化子的根基的素理想

称准素分解(*) 中产生的素理想 pᵢ 为属于 l 的素理想或者与 l 相关联的素理想；集合 {p₁，· · ·，pₙ} 中的极小元称为属于 l 的极小（或孤立）素理想，其余的素理想称为嵌入（embedded）素理想

我们来看一个例子：

设A＝k[x，y] ， l：＝(x²，xy) 为理想；设 p₁＝(x) ， p₂＝(x，y) ，则 p₁ 为素理想， p₂ 为极大理想，根据命题1.3知 p²₂＝(x²，xy，y²) 是 p₂– 准素的，并且 p₁ ⊊ p₂ ；我们有 l＝p₁ ∩ p²₂ ，这是 l 的极小准素分解， p₁ 和 p₂ 是属于 l 的素理想（与 l 关联的素理想），其中 p₁ 是极小的，而 p₂ 是嵌入的；注意到 r(l)＝p₁∩p₂＝p₁ 为素理想，但 l 不是准素的

以下命题表明，属于l 的极小素理想和所有包含 l 的素理想之集中的极小元，是等同的

命题1.9 设 l 是可分解的理想，则任一包含 l 的素理想必包含一个属于 l 的极小理想

Pf. 设 p ⊃ l＝∩qᵢ ，则 p＝r(p) ⊃ r(l)＝∩pᵢ ，根据 Prime avoidance 引理知存在 i 使得 p ⊃ pᵢ ，因此 p 必包含一个属于 l 的极小理想

下面请读者欣赏一段文字游戏：

每个属于l 的素理想显然是包含 l 的；命题1.9告诉我们，任一包含 l 的素理想之集的极小元，其必包含一个属于 l 的极小素理想，这一极小素理想也是包含 l 的，故必和该极小元相等；反之，任一属于 l 的极小素理想，如果它还包含一个包含 l 的素理想，则根据命题1.9，此包含 l 的素理想又包含了一个属于 l 的极小素理想，利用极小性此属于 l 的极小素理想必与原来的极小素理想相等，这就证明了原来的属于 l 的极小素理想在包含 l 的素理想之集中也是极小的；

因而属于l 的极小素理想和所有包含 l 的素理想之集中的极小元，确实是等同的

命题1.10 设 l ⊂ A 是可分解的理想， l 的一个极小准素分解式为

ₙ

l＝∩qᵢ ，记 pᵢ：＝r(qᵢ) 为属于 l 的素理想，则

ᵢ₌₁

ₙ

∪pᵢ＝{x ∈ A|(l：x) ≠ l}.

ᵢ₌₁

特别地，如果零理想是可分解的，则 A 的零因子集 D 等于所有属于零理想的素理想之并

Pf. 先证明命题的后半部分；笔记（二）定义1.3.10下面我们证明了

D＝∪r(0：x) ，

x≠0

在定理1.7中我们给出了等式

r(0：x)＝∩pⱼ，

x∉qⱼ

所以存在一个 j （注意这里 x ≠ 0 ）使得 r(0：x) ⊂ pⱼ，于是

ₙ

D ⊂ ∪pᵢ；

ᵢ₌₁

然而定理1.7又告诉我们，对每个属于 (0) 的素理想 pᵢ ，存在一个 xᵢ ∈ A 使得 r(0：xᵢ)＝pᵢ ，显然每个 xᵢ 均不为零，因此

ₙ

∪pᵢ ⊂ D ，

ᵢ₌₁

ₙ

这就证明了 D＝∪pᵢ ，

ᵢ₌₁

其中 {p₁，· · ·，pₙ} 是所有属于 (0) 的素理想；

现在考虑任一可分解的理想 l ⊂ A，

ₙ

l＝∩qᵢ

ᵢ₌₁

为 l 的一个极小准素分解， pᵢ＝r(qᵢ) ；考虑商环 A ↠ A/l ，对 1 ≤ i ≤ n ，记 ˉqᵢ 为 qᵢ 在 A/l 中的像，则 ˉqᵢ 为 ˉpᵢ– 准素的，并且在 A/l 中有

ₙ

(0)＝∩ˉqᵢ，

ᵢ₌₁

容易验证上式满足定义1.6的条件（M1）和（M2），所以这是 (0) 的一个极小准素分解式，因此

─ ₙ

D＝∪ˉpᵢ，

ᵢ₌₁

这里

─

D＝∪(ˉ0，ˉy)＝{ˉx ∈ A/l|(ˉ0：ˉx) ≠ 0}，

ˉy≠0

上式两边对 f 取原像即有

ₙ

{x ∈ A|(l：x) ≠ l}＝∪pᵢ，

ᵢ₌₁

总结上述的命题：如果零理想在A 中是可分解的，那么 A 的零因子集 D 是所有属于 (0) 的素理想之并，而 A 的幂零根 𝕹 （即 √(0) ）则是所有属于 (0) 的极小素理想之交

接下来考虑准素理想的局部化

命题1.11 设 S ⊂ A 为乘性子集， q 为 p– 准素理想，则

（1）如果S∩p ≠ ф ，则 S⁻¹q＝S⁻¹A；

（2）如果S∩p＝ф ，则 S⁻¹q 是一个 S⁻¹p– 准素理想，并且其原像恰为 q ；

由此得到映射

f*：{ideαls of S⁻¹A} → {ideαls of A}

J ↦ f⁻¹(J)

实现了 S⁻¹A 准素理想集和 A 准素理想集之间的双射

Pf. （1）取 s ∈ S∩p ，则存在 n＞0 使得 sⁿ ∈ S∩q ，于是 S⁻¹q 包含 S⁻¹A 的单位 sⁿ/1 ；

（2）如果 S∩p＝ф ，那么对任一 s ∈ S 和 x ∈ A ， sx ∈ q 蕴含着 x ∈ q ；设 x ∈ A 满足 x/1 ∈ S⁻¹q ，则存在 t∈S 使得 tx ∈ q ，所以 x ∈ q ，由此推出 qᵉᶜ＝q ，即 S⁻¹q 的原像为 q ；并且我们有 r(S⁻¹q)＝S⁻¹r(q)＝S⁻¹p ；

直接用元素推到即可得出 S⁻¹q 是准素理想；最后，准素理想的原像总是准素理想，故 S⁻¹A 的准素理想在 f* 下的像必为 A 的准素理想，结合前述证明即可验证 f* 是 S⁻¹A 准素理想集和 A 准素理想集之间的双射

借助命题1.11，我们就可以利用理想l 的准素分解式，在分式环 S⁻¹A 中分解理想 S⁻¹l 了

以下为简便起见，我们用记号S(l) 表示 S⁻¹l 在 A 中的原像，其中 S ⊂ A 是乘性子集， l ⊂ A 为理想

命题1.12 设 S ⊂ A 为乘性子集， l ⊂ A 为可分解理想；设

ₙ

l＝∩qᵢ

ᵢ₌₁

是一个极小准素分解式， pᵢ＝r(qᵢ) ， 1 ≤ i ≤ n ；给 qᵢ 适当编号使得 S 与 pₘ₊₁，· · ·，pₙ 相交，与 q₁，· · ·，qₘ 不交，则有

ₘ ₘ

S⁻¹ l＝∩S⁻¹qᵢ，S(l)＝∩qᵢ，

ᵢ₌₁ ᵢ₌₁

并且以上均是极小准素分解式

Pf. 利用分式运算保交集和命题1.11（1）即有

ₘ

S⁻¹ l＝∩ S⁻¹qᵢ，

ᵢ₌₁

并且命题1.11（2）告诉我们，对每个 1 ≤ i ≤ m ， S⁻¹qᵢ 是 S⁻¹pᵢ– 准素理想， pᵢ 互异蕴含着 S⁻¹pᵢ 也互异，进而推出这是一个极小准素分解式；将这个式子的两边取原像即有

ₘ ₘ

S(l)＝(S⁻¹A)ᶜ＝∩(S⁻¹qᵢ)ᶜ＝∩qᵢ，

ᵢ₌₁ ᵢ₌₁

最后一个等号用到命题1.11（2）

综上可知，分式运算的作用就是从分解式中筛去了与对应素理想有交的准素理想

设Σ 为若干个属于 l 的素理想之集合，称 Σ 为孤立的（isolated），如果它满足：对于属于 l 的素理想 p' ，若存在一个素理想 p ∈ Σ ，使得 p' ⊂ p ，则必有 p' ∈ Σ ；显然 Σ 是有限集，因为属于 l 的素理想本身就只有有限个

设Σ 是一个由属于 l 的素理想构成的孤立集，置 S：＝A\∪p ，可以证明 S 是乘性子集； p∈Σ

对任一属于l 的素理想 p' ，如果 p' ∈ Σ ，则推出 p'∩S＝ф ；如果 p' ∉ Σ ，则根据 Prime avoidance 引理推出 p' ⊈ ∪p ，进而 p'∩S ≠ ф p∈Σ

综合命题1.12我们推出以下的唯一性定理

定理1.13 （第二唯一性定理）设 l 是一个可分解的理想， l 的一个极小准素分解式为

ₙ

l＝∩qᵢ，

ᵢ₌₁

设 {pᵢ₁，· · ·，pᵢₘ} 是一个由属于 l 的素理想构成的孤立集，则 qᵢ₁∩· · ·∩qᵢₘ 无关分解式的选取

Pf. 置 S：＝A\(pᵢ₁∪· · ·∪pᵢₘ) ，则由命题1.12知 qᵢ₁∩· · ·∩qᵢₘ＝S(l) ；第一唯一性告诉我们，属于 l 的素理想仅由 l 本身决定，因而 S 无关具体分解的选取，即 qᵢ₁∩· · ·∩qᵢₘ＝S(l) 也无关分解的选取

我们将在下一节介绍准素分解在 Noether 环中的应用

上一节中我们引入了准素分解的一般理论，证明了一个理想l ⊂ A 如果是可分解的，那么属于它的素理想是由该理想唯一确定的，而与具体的极小准素分解式选择无关；如果 S ⊂ A 是一个乘性子集，那么分式函子 S⁻¹ 作用于 l 极小准素分解式的效果，无非是筛去了所有与 S 相交的素理想

本节我们将准素分解理论应用于 Noether 环

2 Noether 环上的准素分解

首先证明，Noether 环的任一真理想均可分解为不可约理想之交，而 Noether 环上不可约理想必为准素理想

定义2.1 一个理想 l ⊊ A 称为不可约的（irreducible），如果 l＝l₁∩l₂ ⇒ (l＝l₁)∨(l＝l₂).

否则称为可约的（reducible）

引理2.2 设 A 为 Noether 环，则 A 的任一真理想均可表示为有限个不可约理想的交

Pf. 假设不成立，根据 Noether 环的升链条件可知，存在一个极大的不可表示为有限个不可约理想之交的真理想，设为 l₀ ，则首先 l₀ 是可约的，即存在 l₁ ⊋ l₀ 和 l₂ ⊋ l₀ 满足 l₀＝l₁∩l₂ ；由 l₀ 的极大性可知 l₁ 和 l₂ 皆可表示为有限个不可约理想之交，于是 l₀＝l₁∩l₂ 也可以表示为有限个不可约理想之交，这与 l₀ 的选取矛盾

引理2.3 设 A 为 Noether 环，则 A 的任一不可约理想是准素理想

Pf. 通过考虑商环（注意 Noether 环的商环也是 Noether 环），我们只需证明：如果零理想是不可约的，则零理想是准素的（这里用到准素理想在环同态下的原像必为准素理想）

设 xy＝0 并且 x ≠ 0 ，考虑理想升链

ann(y) ⊂ ann(y²) ⊂ · · ·

根据 Noether 环性质可知该链必有上界，即存在 n＞0 使得

ann(yⁿ)＝ann(yⁿ⁺¹)＝· · ·，

我们证明 (yⁿ)∩(x)＝0 ，这样根据零理想的不可约性就有 yⁿ＝0 ；

取 α ∈ (yⁿ)∩(x) ，则由 xy＝0 知 αy＝0 ，设 α＝byⁿ ，则 byⁿ⁺¹＝0 ，于是 b ∈ ann(yⁿ⁺¹)＝ann(yⁿ) ，进而 α＝byⁿ＝0

由引理2.2和2.3立刻推出

定理2.4 设 A 为 Noether 环，则 A 的任一真理想均有准素分解

至此，我们就可以将 准素分解与诺特环（上）中的理论用于 Noether 环中了

命题2.5 设 A 为 Noether 环，则任一理想 l ⊂ A 均包含一个其根基 r(l) 的一个幂次

Pf. Noether 环的理想均是有限生成的，故可以设 r(l)＝(x₁，· · ·，xₖ) ，于是存在 nᵢ＞0 ，使得 nᵢⁿⁱ ∈ l ， 1 ≤ i ≤ k ；

ₖ

置 m：＝∑ (nᵢ – 1)＋1

ᵢ₌₁

，由于 r(l)ᵐ 是由形如 x₁ʳ¹ · · · xₖʳᵏ 的元素生成，其中 ∑rᵢ＝m ，而必存在一个 i 使得 rᵢ ≥ nᵢ ，所以 r(l)ᵐ ⊂ l

推论2.6 Noether 环的幂零根必为幂零的

Pf. 命题2.5中取 l＝(0) 即可

Noether 环上属于一个极大理想的准素理想具有以下的等价刻画

推论2.7 设 A 为 Noether 环，m ⊂ A 是极大理想， q ⊂ A 为任一理想，则以下条件等价：

（1）q 为 m– 准素的；

（2）r(q)＝m ；

（3）存在一个n＞0 使得 mⁿ ⊂ q ⊂ m

Pf. （1） ⇒ （2）显然；

（2） ⇒ （1）即为上篇中的命题1.3；

（2） ⇒ （3）由命题2.5可得；

（3） ⇒ （2）取根基并利用 r(mⁿ)＝m 可证

命题2.8 设 A 为 Noether 环， l ⊊ A 为理想，则属于 l 的素理想恰为集合

{(l：x)|x ∈ A}

中的所有素理想

Pf. 利用上篇命题1.10中类似的思路，可以通过考虑商环 A/l 将问题转化为 l＝(0) 的情形；

ₙ

设 0＝∩qᵢ

ᵢ₌₁

是零理想的一个极小准素分解式， pᵢ＝r(qᵢ) ；置 lᵢ：＝∩qⱼ ≠ 0 ，

j≠i

对任一 x ∈ lᵢ\{0}，根据第一唯一性定理（定理1.7）的证明过程，可知

r(ann(x))＝r(0：x)＝pᵢ，

所以 ann(x) ⊂ pᵢ ；

根据 r(qᵢ)＝pᵢ 和命题2.5，存在一个 m＞0 使得

pᵢᵐ ⊂ qᵢ ，所以 lᵢpᵢᵐ ⊂ lᵢ∩pᵢᵐ ⊂ lᵢ∩qᵢ＝0，

无妨设 m ≥ 0 是使得 lᵢpᵢᵐ＝0 成立的最小正整数，则 lᵢpᵢᵐ⁻¹ ≠ 0 ，于是存在 0 ≠ x ∈ lᵢpᵢᵐ⁻¹ ；我们有 pᵢx＝0 ，所以 pᵢ ⊂ ann(x) ；

综上有 pᵢ＝ann(x)＝(0：x)

反之，如果 ann(x)＝p 为素理想，则 r(ann(x))＝p 为素理想，再根据第一唯一性定理即有 p 是属于 0 的素理想

至此，全部的铺垫已经完成，接下来我们将证明 Artin 环的结构定理

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。