实数理论

最前的前言

1. 互推关系

Dedekind 连续性公理 ⇔ 确界原理(公理) ⇔ 单调收敛定理 ⇔ 闭区间套定理(+ 阿基米德原理) ⇔ 有限覆盖定理 ⇔ 致密性定理 ⇔ 柯西收敛原理 ⇔ 聚点原理

1.1 Dedekind 连续性公理

Dedekind 分割：A，B 是 R 的两个子集，满足 A∪B＝ℝ，A∩B＝∅，A ≠ ∅，B ≠ ∅ 且对任何 α ∈ A，b ∈ B 都有 α＜b ，则称 (A，B) 为 ℝ 的一个分割.

Dedekind 连续性公理：

对于ℝ 的任何分割，都存在唯一的 x* ∈ ℝ ，使对所有 α ∈ A 和 b ∈ B ，都有 α ≤ x* ≤ b .

1.2 确界原理

确界：

1 如果数集S 的上界集中有最小元，则称之为 S 的上确界，记为 sup S ;

2 如果数集S 的下界集中有最大元，则称之为 S 的下确界，记为 inf S .

注1：sup 是supremum 的缩写，inf 是infimum 的缩写.

注2：上确界的另一种翻译是least upper bound，下确界的另一种翻译是greatest lower bound. 这种翻译实

际上蕴含了它们实际上是最小上界和最大下界.

定理： β 是数集 S 的上确界的充分必要条件是：

1 对任意x ∈ S ，都有 x ≤ β ;

2 对任意ε＞0 ，都存在 x₀ ∈ S ，使得 x₀＞β–ε .

命题： β 是数集 S 的上确界的充分必要条件是：

1 对任意x ∈ S ，都有 x ≤ β ;

2 存在数列{xₙ} ⊆ S，使得 lim xₙ＝β .

n→∞

确界原理(此处作为公理)：

有上界的非空数集必有上确界.

注1: 这里选择确界原理当做公理，但实际上也可以选择其他理论作为公理.

注2: 某种约定有sup ∅ = −∞, inf ∅ = +∞.

注3：在确界原理的基础上我们容易得出：有下界的非空数集必有下确界.

注4：一个小命题：sup{|x − y| | x, y ∈ S} = sup S − inf S.

1.3 单调收敛定理

(1) 若数列{xₙ} 单调递增且有上界，则

lim xₙ＝sup{xₙ│x ∈ ℕ*}；

n→∞

(2) 若数列 [公式] 单调递减且有下界，则

lim xₙ＝inf{xₙ│x ∈ ℕ*}.

n→∞

1.4 区间套定理

设[αₙ，bₙ] 是一列闭区间，满足：

(1) [αₙ₊₁，bₙ₊₁] ⊆ [αₙ，bₙ]，n＝1，2，3，· · ·；

(2) lim (bₙ – αₙ)＝0 .

n→∞

则存在唯一的实数 ξ ，使得 ξ 是区间列 {[αₙ，bₙ]} 的唯一公共点.

注1: 若把区间套定理中的闭区间改成一列开区间或者无界区间，定理将不再成立.

注2: 区间套定理在直观上也是自明的，它和确界原理是可以相互证明的(但区间套定理需要加上阿基米德原理才能得到确界原理). 事实上，历史上曾经把它作为”几何学”的公理，用来刻画直线的完备性.

下面介绍阿基米德原理：

若α 与 b 都是正实数，则必存在 n ∈ ℕ*，使得 nα＞b .

由阿基米德原理可知，既没有最大的正有理数，也没有最小的正有理数.

阿基米德原理由确界原理的证明如下：

证明：假设阿基米德原理不成立，则存在 α＞0，b＞0 ，使对任何正整数 n ，有 nα ≤ b . 令 A＝{nα│n ∈ ℕ*} ，则 A 非空有上界，从而有上确界，记 α＝sup A .

因为α＞0 ，所以 α – α＜α . 由于 α – α 不是 A 的上界，故存在正整数 m ，使得 α – α＜mα ，于是 α＜(m＋1)α ，这与 α 是 A 的上界矛盾.故得证.

1.5 致密性定理

定理：若 lim xₙ＝α

n→∞

，则 {xₙ} 的任意子列 {xₙₖ} 收敛，并且极限也是 α .

定理：若 xₙ 是一个无界数列，则存在子列 xₙₖ → ∞ .

定理：设 {xₙ} 是一个数列， A 是一个实数. 则一下两个条件等价：

(1) 存在{xₙ} 的一个子列收敛到 A ;

(2)A 的任何邻域都含有 {xₙ} 的无穷多项.

极限点：若存在子列 {xₙₖ} 使得 lim xₙₖ＝x

k→∞

，则称 x 是数列 {xₙ} 的极限点.

我们知道收敛的数列一定是有界的，但是有界的数列是否存在收敛的子列呢，下面的定理给出了肯定的回答：

致密性定理：

任一有界数列必有收敛子列.

注: 致密性定理又被称为Bolzano-Weierstrass 定理.

聚点: 设点集 S ⊆ ℝ，α ∈ ℝ，如果 α 的任何空心邻域中都含有点集 S 中的点，则称 α 为集合 S 的聚点.

注: S 中所有聚点的集合称为S 的导集，记作S′.

设点集S ⊆ ℝ，α ∈ ℝ，以下命题是彼此等价的：

(1)α 为集 S 的聚点.

(2) α 的任何空心邻域内都有点集 S 中无穷多个点.

(3) 存在 {xₙ} ⊆ S，使得 xₙ ≠ α，n＝1，2，· · · ，且 lim xₙ＝α .

n→∞

(4) 存在 {xₙ} ⊆ S ，使得对任何两个不同的正整数 i，j ，有 xᵢ ≠ xⱼ ，且 lim xₙ＝α .

n→∞

聚点定则：

有界无穷点集必有聚点.

数列{xₙ} 收敛的充分必要条件为：对于任意的 ε＞0 ，存在 N ∈ ℕ，使得当 m，n＞N 时，就有 |xₘ – xₙ|＜ε

1.7 有限覆盖定理

区间集的并集: 设 J 是一个区间集，即 J 中的每一个元素 l 都是一个区间，那么把 J 中所有区间合并成一个集合，记为 ∪J 或者 ∪{l|l ∈ J} .即满足

x ∈ ∪J ⇔ ∃l ∈ J，s.t. x ∈ l.

覆盖：设 S 是一个数集， J 是一个区间集，如果 S ⊆ ∪J ，我们就称区间集 J 是数集 S 的一个覆盖，或者说 J 覆盖 S .

进一步，如果J 是一个开区间集，即 J 中的区间都是开区间，我们称 J 是数集 S 的一个 开覆盖.

子覆盖: 设 J 是 S 的一个覆盖，如果 J 的一个子集 J₁ 仍然是 S 的一个覆盖，称 J₁ 是 J 的 子覆盖.

进一步，如果J₁ 是一个有穷集合，则称 J₁ 是 J 的 有限子覆盖.

有限覆盖定理：

闭区间的任意开覆盖都存在有限子覆盖.

我们选择的互推顺序如下：

第一段（上层）关系：

Dedekind连续性公理 柯西收敛原理

↕ ↙

↖

阿基米德原理 ↓ ↑

确界原理 ← 闭区间套定理 → 致密性原理 ↔ 聚点原理

第二段（下层）关系：

确界原理 闭区间套定理 致密性原理

↘ ↗ ↘ ↗

单调收敛定理 有限覆盖定理

注意：致密性原理 ↔ 聚点原理

2.2 Dedekind 连续性公理⇔ 确界原理

Dedekin 连续性公理 ⇒ 确界原理

设非空数集S 有上界 M ， B 为 S 的上界集，于是 B ≠ ∅ . 再令 A＝ℝ\B ，于是 A ≠ ∅ 且 (A，B) 为 ℝ 的一个分割.

从而由 Dedekind 连续性公理知有唯一的x* ，使对任何 α ∈ A，b ∈ B 都有

α ≤ x* ≤ b

若 x* 不是 S 的上界，那么存在 x₀ ∈ S 使得 x₀＞x* . 于是有

x*＋x₀

x*＜────＜x₀

2

x*＋x₀

从而由定义知道 ─── 不是 S 的上界，

2

x*＋x₀

所以 ─── ∈ A.

2

x*＋x₀

从而由分割知道 ─── ≤ x*与 x*＜x₀ 矛盾， 2

2

从而 x* 为 A 的上界，即 x* ∈ B .

又有对于S 的任何上界 β ∈ B ，有 x*＜β ，从而知 x* 为 S 的上确界.

确界原理 ⇒ Dedekind 连续性公理

设(A，B) 为 ℝ 的任一分割，由确界原理知 A 有上确界 x* . 由定义知对任意 α ∈ A ，都有 α ≤ x* . 又由上确界的最小上界性与 B 中元素都是 A 的上界，从而知道对任意 b ∈ B ，都有 x* ≤ b .

若还有x₀ ∈ ℝ，x₀ ≠ x* ，使得对于任何 α ∈ A，b ∈ B 都有 α ≤ x₀ ≤ b . 不妨设 x₀＞x* ，于是

x*＋x⁰

x*＜────＜x₀

2

x*＋x₀

从而 ───

2

既不在 A 中也不在 B 中，与 (A，B) 为 ℝ 的分割矛盾，从而证明了唯一性.

2.3 确界原理⇒ 单调收敛定理 ⇒ 闭区间套定理 ⇒ 确界原理

确界原理 ⇒ 单调收敛定理

只证明单调递增有上界的情况：

设数列{xₙ} 递增且有上界，则集合 {xₙ│x ∈ ℕ*} 有上界，因而有上确界. 记 β＝sup{xₙ│n ∈ ℕ*} ，于是知对于任意的 n ∈ ℕ* ，有 xₙ ≤ β . 并且对任意 ε＞0 ，都存在 N ，使得 xɴ＞β – ε . 由于 xₙ 递增，从而当 n＞N 时，有

β – ε＜xɴ＜xₙ ≤ β

从而 |xₙ – β|＜ε . 由极限定义知 lim xₙ＝β . n→∞

单调收敛定理 ⇒ 闭区间套定理

设{[αₙ，bₙ]} 为一列闭区间，满足 [αₙ₊₁，bₙ₊₁] ⊆ [αₙ，bₙ]，n＝1，2，3，· · ·，且 lim(bₙ – αₙ)＝0 .

n→∞

从而知道{αₙ} 单调递增有上界 b₁ ， {bₙ} 单调递增有下界 α₁ ，故 {αₙ}，{bₙ} 收敛. 且由于 lim (bₙ – αₙ)＝0

n→∞

，知道 lim αₙ＝lim bₙ＝ξ.

n→∞ n→∞

从而有对于任意的n ，满足 αₙ ≤ ξ ≤ bₙ . 故 ξ 为这一区间列的公共点.

若还存在ξ* ≠ ξ 为区间列的公共点，不妨设 ξ*＞ξ ，从而由 lim bₙ＝ξ

n→∞

知，存在 bₙ＜ξ* 从而导致矛盾，从而唯一性得证.

闭区间套定理 ⇒ 单调收敛定理

设S 是有上界的非空集合，不妨设 S 没有最大元.

任取一个α₁ ∈ S ，又设 b₁ 为 S 的一个上界，把闭区间 [α₁，b₁] 等分成两个区间

α₁＋b₁ α₁＋b₁

[α₁，───] 和 [───，b₁] .

2 2

α₁＋b₁

若[───] 是 S 的一个上界，则记

2

α₁＋b₁

[α₂，b₂]＝[α₁，───]，否则记

2

α₁＋b₁

[α₂，b₂]＝[───，b₁] .

2

无论是哪种情况，都满足 b₂ 是 S 的上界而 α₂ 不是. 以此类推得到一列闭区间 {[αₙ，bₙ]} 使得每一个 bₙ 都是 S 的上界而 αₙ 不是.

且这一列闭区间满足：

(1)[α₁，b₁] ⊇ [α₂，b₂] ⊇ · · · ⊇ [αₙ，bₙ] ⊇ · · · ；

(2) 对于任意给定的ε＞0 ，由阿基米德公理，都存在正整数 n 使得 nε＞b₁ – α₁ ，从而 bₙ – αₙ＝

↓

b₁ – α₁ b₁ – α₁

＝─── ≤ ───＜ε，

2ⁿ⁻¹ n

故区间长度收敛于 0.

则由区间套定理知道存在唯一的ξ 是区间列 {[αₙ，bₙ]} 的公共点.

下面先证明ξ 是 S 的一个上界，由于对于任意的 ε＞0 ，存在 bₙ＜ξ＋ε ，从而 ξ＋ε 为 S 的一个上界，从而对于任意的 x ∈ S ，有 x ≤ ξ＋ε ，从而由 ε 的任意性知 x ≤ ξ ，从而 ξ 为 S 的一个上界.

再证ξ – ε 不是上界，事实上对于任意给定的 ε＞0 ，存在正整数 n ，使得 bₙ – αₙ＜ε ，从而 αₙ＞bₙ – ε ≥ ξ – ε . 由于 αₙ 不是 S 的上界，故存在 x₀＞αₙ＞ξ – ε ，从而 ξ – ε 不是 S 的上界.

综上所述ξ＝sup S .

2.4 闭区间套定理⇒ 致密性原理 ⇒ 柯西收敛原理 ⇒ 闭区间套定理

闭区间套定理 ⇒ 致密性原理

设{xₙ} 是一个有界数列，即有实数 α，b 使得 α ≤ xₙ ≤ b. 把 [α，b] 等分成两个区间

α＋b α＋b

[α，───]，[───，b].

2 2

知道这两个区间中至少有一个含有 {xₙ} 中的无穷多项，任取一个记为 [α₁，b₁] .

以此类推，得到区间列{[αₙ，bₙ]} ，满足：

(1)[α₁，b₁] ⊇ [α₂，b₂] ⊇ · · · ⊇ [αₙ，bₙ] ⊇ · · ·；

b₁ – α₁

(2)bₙ – αₙ＝─── → 0(n → ∞) .

2ⁿ⁻¹

从而由区间套定理，存在唯一的ξ ∈ [α，b] ，使得 lim αₙ＝lim＝ξ .

n→∞ n→∞

下面在{xₙ} 中选出一个子列 {xₙₖ} 收敛到 ξ .

在[α₁，b₁] 中任取 {xₙ} 中的一项，记为 xₙ₁ . 由 [α₂，b₂] 中存在 {xₙ} 中的无穷多项，因此可以找到 n₂＞n₁ 使得 xₙ₂ ∈ [α₂，b₂] .

以此类推，可以找到一列正整数n₁＜n₂＜· · ·＜nₖ＜· · · ，使得 αₖ ≤ xₙₖ ≤ bₖ .

令k → ∞ 即得 lim xₙₖ＝ξ .

k→∞

致密性原理 ⇒ 柯西收敛原理

只证明充分性：

首先证明{xₙ} 是一个有界数列，条件知道对于 ε＝1 ，存在 N₀ ∈ ℕ* ，使得当 m，n＞N₀ 时，有 |xₙ – xₘ|＜1

特别地，取 m＝N₀＋1 ，有 |xₙ – xɴ₀₊₁＜1 ，从而有

|xₙ|＜|xɴ₀₊₁|＋1，∀n＞N₀

从而 {xₙ} 有界. 由致密性原理， {xₙ} 有收敛子列 {xₙₖ} . 设 lim xₙₖ＝α .

k→∞

对于任意ε＞0 存在正整数 K ，满足当 k＞K 时，有

|xₙₖ – α|＜ε

又对上面的 ε ，存在正整数 N ，满足当 m，n＞N 时，有 |xₙ – xₘ|＜ε

记 k₀＝max{K＋1，N＋1} ，则对 n＞N 时，有 nₖ₀ ≥ k₀＞N ，从而有 |xₙ – α| ≤ |xₙ – xₙₖ₀|＋|xₙₖ₀ – α|＜ε＋ε＝2ε 从而 lim xₙ＝α . n→∞

柯西收敛原理 ⇒ 闭区间套定理

设闭区间套{[αₙ，bₙ]} 满足：

(1)[αₙ₊₁，bₙ₊₁] ⊆ [αₙ，bₙ]，n＝1，2，3，· · ·；

(2)lim (bₙ – αₙ)＝0

n→∞

于是，对于任意ε＞0 ，存在正整数 N ，当 n＞N 时，有 |bₙ – αₙ|＜ε ，此时对于任意的 m＞n＞N ，有 αₙ ≤ αₘ ≤ bₘ ≤ bₙ ，此时有 |αₙ – αₘ| ≤ |bₙ – αₙ|＜ε，|bₙ – bₘ| ≤ |bₙ – αₙ|＜ε

由柯西收敛原理知道 {αₙ}，{bₙ} 都收敛. 又由于 lim(bₙ – αₙ)＝0 ，故存在实数 ξ 满足 n→∞

lim αₙ＝lim bₙ＝ξ ∈ [αₖ，bₖ]，(k＝1，2，3，· · ·)

n→∞ n→∞

2.5 闭区间套定理 ⇒ 有限覆盖定理 ⇒ 致密性原理

闭区间套定理 ⇒有限覆盖定理

设S＝[α，b]，开区间集 J 覆盖 S . 假设 [α，b] 不能被 J 中有限个区间覆盖，我们把 [α，b] 分为两个区间

α＋b α＋b

[α，───]，[───，b]，

2 2

其中至少有一个不能被 J 中有限个区间覆盖，记为 [α₁，b₁] .以此类推分下去得到一列闭区间 {[αₙ，bₙ]} ，其中每一个 [αₙ，bₙ] 都不能被 J 中有限个开区间覆盖，并且满足

(1)[αₙ₊₁，bₙ₊₁] ⊆ [αₙ，bₙ]，n＝1，2，3，· · ·；

(2)lim (bₙ – αₙ)＝0 .

n→∞

由闭区间套定理知道存在ξ 使得：

lim αₙ＝lim bₙ＝ξ ∈ [αₖ，bₖ]，(k – 1，2，3，· · ·)

又由于 J 覆盖 [α，b] ，故在 J 中必然有一个开区间 (α，β) 使得 ξ ∈ (α，β) .

从而存在N ，对 n＞N 有 α＜αₙ＜bₙ＜β

即 [αₙ，bₙ] ⊆ (α，β) ，从而 [αₙ，bₙ] 可以被 J 中一个区间覆盖，矛盾. 故得证.

有限覆盖定理 ⇒ 致密性原理

设{xₙ} 是一个有界数列，即有实数 α，b 使 α ≤ x ≤ b(n ∈ ℕ*)

假设对于任意ξ ∈ [α，b] ，都有 εξ＞0 ，使在领域 (ξ – εξ，ξ＋εξ) 中只含有 {xₙ} 的有限项，于是我们得到一个开区间集

J＝ {(ξ – εξ，ξ＋εξ)|ξ ∈ [α，b]}

显然 J 是 [α，b] 的一个开覆盖，从而存在一个有限子覆盖

J₁＝ {(ξ₁ – εξ₁，ξ₁＋εξ₁)，· · ·，(ξₘ – εξₘ，ξₘ＋εξₘ)}

从而由 εξ 的选取知道，对于 i＝1，2，· · ·，m ，在开区间 (ξᵢ – εξᵢ，ξᵢ＋εξᵢ) 中只含有有限个 xₙ 中的项，从而存在正整数 Nᵢ ，满足对任意 n＞Nᵢ ，有 xₙ ∉ (ξᵢ – εξᵢ，ξᵢ＋εξᵢ) .

从而取N＝max{N₁，N₂，· · ·，Nₘ} ，当 n＞N 时，有

ₘ

xₙ ∉ ∪(ξᵢ – εξᵢ，ξᵢ＋εξᵢ)＝J₁ ⊇ [α，b] ᵢ₌₁

从而与 xₙ ∈ [α，b] 矛盾. 故得证.

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