泛函分析知识体系梳理

首先，泛函分析可以分为两部分——线性泛函分析与非线性泛函分析。非线性泛函分析创立在线性泛函分析之后，也以线性泛函分析为基础。

线性泛函分析一般可以分成两部分——线性拓扑空间、线性算子

线性拓扑空间

线性泛函分析研究（无限维）线性空间上的线性算子，需要研究它们的各种收敛性，所以需要赋予线性空间拓扑结构，这就引出了线性拓扑空间。

泛函分析中在线性空间中引入拓扑最基本的方法是引入度量，因为在一般的拓扑空间中，序列的收敛会失去一些重要性质（极限的唯一性等，在Hausdorff空间中序列才不会收敛到两个及以上点），而在度量空间中，这些性质得以保留；

比度量空间性质更好的是赋范线性空间，在线性空间中引入范数就构成赋范线性空间，其中，完备的（无限维）赋范线性空间被称为Banach空间；研究中有时候会在空间中引入乘法，构成线性代数（并非学科的名称，而是一个具体的概念），对应于banach空间的即banach代数。

在线性空间中引进内积即可构成欧几里得空间，由于内积可构造范数，故欧几里得空间都是赋范线性空间，并且是一类比赋范线性空间性质更好的空间。而完备的（无限维）欧几里得空间被称为Hilbert空间，也就是范数是由内积构造的Banach空间。

p.s. 一开始我以为赋范线性空间和欧几里得空间是两类不同的空间。。。

在欧几里得空间中，可以利用其标准正交基(φ₁，φ₂，· · ·，φₙ) 用内积表示元素 x ，也就是展开为级数

ₙ

x＝∑ cₖφₖ；

ₖ₌₁

而在无限维欧几里得空间中，这个展开式变为 x＝∑ cₖφₖ ，被称为 x 的Fourier级数。 ₖ

在完备的度量空间上，有一重要定理：Baire category theorem，其实它更多的是一个拓扑学中的定理，但似乎很少有拓扑学教材会讲，我只在J. Lee的书里见过。

在线性拓扑空间的各种拓扑性质中，可数性(countability)、可分性(separability)和紧性(compactness)都是比较重要的性质，其中最重要的性质是紧性，因其能将许多性质从有限维情形推广到无限维情形。[1]

线性算子

两个线性拓扑空间之间的线性映射被称为线性算子(linear operator)，其中将线性空间映到数域的线性算子被称为线性泛函(linear functional)，线性空间上的所有线性泛函组成的集合被称为对偶空间(dual space)。注意：线性泛函的概念并不确定，不同的书会将不同的算子称为泛函，但对偶空间的概念是确定无异议的。

关于线性算子的延拓，有重要的Hahn-Banach theorem，它有一个集合解释：凸集分解。我看过的每本泛函分析教材都会强调这个定理的重要性，例如：

It deal with the extension of linear functionals.[2]

The most important theorem about the structure of linear continuous functionals on normed spaces.[3]

最基础的一类线性算子是线性连续泛函，关于Hilbert空间上的连续线性算子的结构，有Riesz表示定理；某一基本函数空间（如C^∞(R^n)）上的连续线性泛函被称为广义函数或分布(distribution)，最早由Schwarz提出（高教社出了他写的广义函数论），在PDE中作为弱解概念的基础有广泛的应用，是PDE的现代理论与古典理论的分水岭之一；在无限维情形中，线性算子的情况非常复杂，目前研究得比较完善的一类是紧算子（全连续算子）。

对于有界线性算子，有三个重要定理：Banach-Steinhaus theorem（共鸣定理，一致有界定理）, open mapping theorem, closed graph theorem. 其中共鸣定理和开映照定理可以由baire纲定理推出，而闭图定理可以由开映照定理推出。

线性算子的理论中，谱分析理论是最重要的，其以线性代数中的特征值概念为基础，但又不同于线性代数中的有限维情形，泛函分析需要研究无限维的情形.

非线性泛函分析

非线性泛函分析大致可分为局部分析和大范围分析两个部分。[4]

非线性泛函分析研究非线性算子，其工具分为几大相对独立的部分。其中Banach空间上的微分理论最为基础，也可以笼统地称之为“线性化”，其重要成果为隐函数定理。其余的主要部分为拓扑度理论、不动点理论、单调算子理论以及变分法（最优化）。

其中变分法是一个非常古老的方向，与微积分是同时代的产物，主要用来处理极值问题。

教材

P. G. Ciarlet的《线性与非线性泛函分析及其应用》，有高教社的中译版，秦铁虎、童裕孙译。这本书的质量极高，无数好评且没有差评，讲解兼顾严格与直观，除了习题有点难以外没什么会让人卡住的地方。

E. Zeidler的《应用泛函分析》，有世图社的影印版。相比于上书本书更加注重应用，书中每一章前都会有对于该章内容关系的讲解，非常平易近人。

参考

1. Eberhard Zeidler. Applied Functional Analysis AMS Vol. 108. p33.

2. Peter D. Lax. Functional Analysis. p19.

3. Eberhard Zeidler. Applied Functional Analysis Vol2. p1.

4. M. Berger. Nonlinearity and functional analysis.

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