集合论系统顺序（数学分析）

Munkres的《拓扑学》开篇的集合论初步就已经够用了，然后Halmos的《朴素集合论》看一看就差不多了——必须警告你，虽然布尔巴基学派的工作是如此的具有无上荣光——全部数学真的可以完全建立在集合论[1][2]上——但是你必须舍弃把集合论学到精通再去研究别的数学分支的想法，除非你立志要做数理逻辑的工作。具体的顺序可以参考数学系本科课程安排

令人感动，终于有一次回答的点赞是提问者给的了，想必题主也是真心想求知的，那么我再写详细点吧,会不时地更新——

首先，应当适当的学习一些集合论知识，Halmos在他的《朴素集合论》（Naive Set Theory）一书的前言中写道

Every mathematician agrees that every mathematician must know some set theory ; the disagreement begins in trying to decide how much is some.

每个数学家都同样每个数学家都必须知道一些集合论，至于“一些”到底意味着他们应当掌握多少，每个人都有自己不同的看法。

Azriel Levy在他的Basic Set Theory一书中说

All branches of mathematics are developed, consciously or unconsciously, in set theory or in some part of it. This gives the mathematician a very handy apparatus right from the begining. The most he usually has to do in order to have his basic language ready is to describe the set theoritical notation he uses.

所有数学的分支，无论自觉地还是不自觉地，都是在集合论（或者是它的一小部分）的框架中发展的。集合论给数学家们提供了一个非常方便而又顺心的工具。一个想要使他所使用的基本语言能被立即利用的数学家，最常做的就是描述一下他所使用的集合论符号。

Peter Smith 在他的Begining Mathematical Logic: A Study Guide中提到了学习一些入门集合论知识的必要性

Notation, concepts and constructions from entry-level set theory are very often presupposed in elementary mathematical texts . . . If the absolute basics aren't already familiar to you, it is worth pausing to get initially acquainted at an early stage.

很多数学教材中都会默认你已经掌握了一些入门程度的集合论相关符号、概念和构造……如果你完全不熟悉这些基础知识，那么在一开始的时候花些时间来学习它是很有必要的。

并且同样是在这本书中，他推荐了Munkres的Topology的原因

James R. Munkres,Topology (Prentice Hall, 2nd edition,2000). Chapter 1, 'Set Theory and Logic'. This tells you very clearly about basic set-theoretic concepts, up to countable vs uncountable sets and the axiom of choice (plus a few other things worth knowing about)

这本书的第一章“集合论和逻辑”非常清晰地向你讲述了基本的集合论概念（到可数集与不可数集、选择公理为止），还有一些非常值得了解的东西

同时这本书也是比较经典的拓扑学入门教程

然后就是数学分析、高等代数——大学物理（比较基本的那些）——常微分方程、解析几何（这个你可以参考一下我的其他回答）——拓扑学、概率论，实分析、复分析这个路子来进行学习了。如果你高中毕业了的话.

数学分析我推荐张筑生老师的《数学分析新讲》三卷，听说最近重排本的阅读体验很不错；陆亚明老师的《数学分析入门》体验也很好。线性代数就见仁见智了，每个作者的风格都不一样。

关于其他分支知乎上都有值得一看的入门教材推荐——但是要当心那些动不动就把数学教材当经文念的人，比如说叫你看Halmos的《测度论》学测度论，还说什么这是经典（要注意Halmos的测度论把测度空间定义在sigma环上而不是sigma代数上——后者是现代测度论的一般前提，这就至少能说明它并不适合用来作为自学的教材，你学到测度论的时候我比较推荐Cohn的《测度论》Measure Theory（目前市面上有售世界图书出版公司出版的影印版，70来块） ），还有就是《微积分学教程》菲赫金哥尔茨不要入手，太厚了，而且古典过头了——讲实数的构造理论和多维空间的部分简直爆炸，之后我会写文章讲一下这个问题

实数理论就按你喜好来，不过我推荐公理化方法学习实数理论——反正用戴德金分割构造的实数集和康托尔用柯西有理数序列构造的实数集以及公理化方法刻画的实数集都是同构的。我记得Yuhang Liu老师也说过类似问题——数学分析的核心在计算，各种计算，不只是狭隘的求积分

；实数的构造理论更适合练手证明和了解数学史以及给自己一个信心——我所学的内容基础是如此的坚实，但问题来了，很多人容易在这里直接折戟，连核心的门都摸不到，照这样看还不如不学实数的构造理论的好——所以我建议走公理化方法学习实数的一些基本知识

参考

1. 指的是古典分析的复现， 另外布尔巴基学派的宗旨是结构主义的， 不是元数学的， 他们在这项工作开始初期就断言”逻辑不过是数学的工具， 完全可以根据数学发展或自然科学发展更改逻辑“， 这一点是已经实现的， 具体可以参看classical logic 和 non-classical logic的条目

2. 现在已经进化到Tarski-Grothendick Axioms了， 即TG, 是ZFC的非保守扩张， 模型论的方法在代数几何中很有用处， 可以参见Faltings的工作

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