伽罗瓦理论

（一）方程在域上的伽罗瓦群

对于域F上的一个多项式方程P(x)＝αₘxᵐ＋αₘ₋₁xᵐ⁻¹＋. . .＋α₀＝0 ，假设有m个根，分别为 r₁，. . .，rₘ 。

根据引理2,3,4，存在数V，称之为方程P(x)=0的一个预解式V，满足：

（1）V 和 r₁，. . .，rₘ 间相互可“有理表示”。即存在域F上的n元多项式φ和一组一元多项式 Φ₁，. . .，Φₘ ，满足：

V＝φ(r₁，. . .，rₘ )；

Φ₁(V)，. . .，Φₘ(V)是方程P(x)=0的根，即 P(Φᵢ(V))＝0，i＝1，. . .，m 。

（2） 存在域F上的n次不可约多项式h(x) 。假设h(x)=0的其他根为 V₂，. . .，Vₙ ，这些根称之为 V 在域F上的共轭根，则这些共轭根与方程 P(x)＝0 的根相互可“有理表示”。

根据引理1，对于任意i＝2，. . .，n j＝1，. . .，m Φⱼ(Vₘ) 是方程P(x)=0的根。

于是，如果r₁，. . .，rₘ 两两互异，就可以得到n组P(x)=0的根的排列（Permutation）：

Φ₁(V)，. . .，Φₘ(V)

....

Φ₁(Vᵢ)，. . .，Φₘ(Vᵢ) .............................. (l)

...

Φ₁(Vₙ)，. . .，Φₘ(Vₙ)

我们沿用伽罗瓦的做法，将排列Φ₁(Vᵢ)，. . .，Φₘ(Vᵢ) 记作 (Vᵢ) 。

实际上，方程P(x)=0在域F上的预解式应该不是唯一的。因此，假如我们另取一个伽罗瓦预解式W (注意：也可以是 Vᵢ 中的一个，实际上伽罗瓦原始论文中潜台词里应该是取其中的任一个 Vᵢ 。但这里我们更一般化一点)，根据引理4得到的结论，可得 W 在域F上的n-1个共轭根 W₂，. . .，Wₙ ，同样得到n组P(x)=0的根的排列：

Ψ₁(Wⱼ)，Ψ₂(W)，. . .，Ψₘ(W)

....

Ψ₁(Wⱼ)，Ψ₂(Wⱼ)，. . .，Ψₘ(Wⱼ). . . . . .. . . . . . . . . . . l l

...

Ψ₁(Wₙ)，Ψ₂(Wₙ)，. . .，Ψₘ(Wₙ)

其中，Ψ₁(Wⱼ)，Ψ₂(Wⱼ)，. . .，Ψₘ(Wⱼ)， j＝1，. . .，n 是方程p(x)=0的根的一项排列。

排列组（I）和（II）会有什么共同的特性，这一特性就是伽罗瓦方程论思想的熠熠生辉的发现。

伽罗瓦天才地发现，排列(Permutation)组（I）和（II）中体现的方程根之间的变换(Substitutions)是一样的。也就是说，排列组里蕴含的方程根之间的变换(Substitutions)是域F上多项式方程的一个固有属性，也可以说是一个反映方程可解性（或者说方程的根的可表达性）的一个指标。从变换的角度讲，伽罗瓦称其为方程P(x)=0在域F上的伽罗瓦群。

注意：为叙述方便，下面设定V₁＝V W₁＝W。

1.用排列组（Permutαtions）来标识变换(Substitutions)

伽罗瓦是用方程根的排列组(Permutations)来表示一组（群Group）方程根的变换(Substitutions)。

排列组只是一种形式，或是一种符号，用来表示根的变换组（群）这个实体，类似于用阿拉伯数字符号“2”来表示整数2这个实体，我们也可以用汉字“二”来表示整数2这个实体。请注意这层意思。

伽罗瓦在原文中指出：“尽管如此，既然不用排列来表示人们很难理解变换，因此我们在文中经常提到（变量或数的）排列，只把变换看作是从一个排列到另一个排列的数据变动（passage）。（Nevertheless, since it is impossible to grasp the idea of a substitution without grasping that of a permutation, we will retain will make frequent use of permutations in the language, and we shall not consider substitutions other than as the passage from one permutation to another.）”。伽罗瓦这段文字大抵应该是表示这个意思。

如何用一个排列组来表示一组变换呢？也就是说一组排列表示一组什么样的变换？伽罗瓦接着指出：“当我们编组一些变换时，我们将这些变换从同一个排列开始When we wish to group some substitutions we make them all begin from one and the same permutation.”。意思就是说，一个n个排列构成的排列组代表n个变换，其中一个变换就是从该组排列选定的一项排列（一般是第一项排列）到排列组的一项排列之间的数据变动关系。于是，选定排列代表恒等变换，其他一个排列代表其他一个变换。

就拿上面的排列组(I)来讲，下列n组排列

Φ₁(V)，. . .，Φₘ(V)

....

Φ₁(Vᵢ)，. . .，Φₘ(Vᵢ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . (l)

...

Φ₁(Vₙ)，. . .，Φₘ(Vₙ)

代表n个根的变换构成的变换组，其中的变换是排列V 到排列 Vᵢ ，i＝1，. . .，n ，所代表的变换。

这里解释一下，排列V 到排列 Vᵢ ，i＝1，. . .，n代表的变换，就是排列 V 中第 j 位 Φⱼ(V) 变换到 Vᵢ 中的第 j 位的 Φⱼ(Vᵢ) ，其中 j＝1，. . .，m ，也就是两排列对应位置上的数字进行变换。

这样的话，也可以理解排列组（I）中的每一个排列可以代表一个变换。

2. 排列组（I）和排列组（II）代表同一个的根之间的变换组

也就是说，选用不一样的伽罗瓦预解式，通过上述步骤得到的方程根之间的变换组是唯一的，与选用的伽罗瓦预解式无关，与每一排列中根的“出场顺序”无关。这一点非常重要。

伽罗瓦在原文中指出：“由于涉及的（根）之间的初始位置不产生影响，我们考察的群中，不管选择哪项作为起始排列，总能找到相同的变换。于是，如果群中有变换S和T，则该群中必定包含变换ST。（As the concern is always with questions where the original disposition of the letters has no influence, in the groups that we will consider one must have the same substitutions whichever permutation it is from which one starts. Therefore, if in such a group one has substitutions S and T , one is sure to have the substitution ST .）”

伽罗瓦在注释中再次强调:“显然，这里讨论的排列组中，关于代表根的字母的排列方式根本无关紧要，重要的是这些字母的之间的变换，通过这种变换，我们可以从一种排列变换成另一种排列。因此，起始排列可以任意给出，然后其他排列总是可以通过相同的变换推导出来。以这种方式形成的新排列组显然与原始的排列组具有相同的性质，因为在前面的定理中，除了在函数中可能进行的代表根的字母变换外，其他都不重要。（It is clear that in the group of permutations which is discussed here, the disposition of the letters is not at all relevant, but only the substitutions of letters by which one passes from one permutation to another. Thus a first permutation may be given arbitrarily, and then the other substitutions permutations may always be deduced by the same substitutions of letters. The new group formed in this way will evidently enjoy the same properties as the first, because in the preceding theorem, nothing matters other than substitutions of letters that one may make in the functions.）”

下面来证明一下排列组（I）和排列组（II）代表方程P(x)=0的根之间的变换组包含相同的变换。

显然，存在域F上的多项式Q(x)，使得W=Q(V)。

由于Φ₁(V)，. . .，Φₘ(V) 和 Ψ₁(Wⱼ)，Ψ₂(W)，. . .，Ψₘ(W) 都是方程P(x)=0的一组根的排列，因此对于任意 Φₖ(V) 1 ≤ k ≤ n，必定存在 l，1 ≤ l ≤ n ，满足 Φₖ(V)＝Ψₗ(W) 。

因此，Φₖ(V)＝Ψₗ(W)＝Ψₗ(Q(V))

根据引理1，有 Φₖ(Vᵢ)＝Ψₗ(Q(Vᵢ)) i＝1，. . .，n。

在引理4的阐述中，我们可以得到{Wᵢ}={ Q(Vᵢ) } i＝1，. . .，n。 也就说，任取 Vᵢ i＝1，. . .，n，存在j 1 ≤ j ≤ n Wⱼ＝Q(Vᵢ)。

于是，有Φₖ(Vᵢ)＝Ψₗ(Wⱼ)。

由k 的任意性，我们可以得到，排列 (V) 到排列 (Vᵢ) 之间的变换与排列 (W) 到排列 (Wⱼ) 之间的变换相同。

由i 的任意性，我们可以得到， (l) (l l)所代表的变换组包含的变换相同。

注意：这里的理解稍微需要消耗一些脑细胞。

下面这个图帮助一下可能更好理解些。

排列 组（I） 排列组（II）

Φₖ(V)＝Ψₗ(W)＝Ψₗ(Q(Vᵢ)))

Φₗ(V)，. . .，Φₖ(V)，. . .，Φₘ(V)

……

Φₗ(Vᵢ)，. . .，Φₖ(Vᵢ)，. . .，Φₘ(Vᵢ)

Φₖ(Vᵢ)＝Ψₗ(Wᵢ)＝Ψₗ(Q(Vᵢ)))

……

Φₗ(Vₙ)，. . .，Φₖ(Vₙ)，. . .，Φₘ(Vₙ)

Ψₗ(W)，Ψₗ(W)，. . .，Ψₘ(W)

……

Ψₗ(Wⱼ)，Ψₗ(Wⱼ)，. . .，Ψₘ(Wⱼ)

……

Ψₗ(Wₙ)，Ψₗ(Wₙ)，. . .，Ψₘ(Wₙ)

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