数理统计的逻辑脉络

在自学数理统计的过程中，一开始会迷茫在几个概念中，概率，随机变量、总体参数，统计量，纠结于大数定理，中心极限定理等等到底在讨论什么，甚而至于无法理解数学家们使用那么多数学计算到底为了什么。

说实在的，看国内的教材，传统的叙述方式几乎千篇一律。先是引入概率和概率计算，然后是随机变量的概念，介绍随机变量的分布，后面就会给出大数定理和中心极限定理。然后，总体和抽样，假设检验和参数分析，回归分析等等。初学时，很难理解，明明有平均值的概念，为什么要引入数学期望这个概念。

如果缺乏西方数学思想的理论背景，感觉真的很难理解数理统计学的逻辑脉络。

比如说，随机变量X是就一个总体（从哲学意义上，相当与一个本体，类似于柏拉图所说的“理念”，康德所说的“范畴”等概念）的一个特征。关于随机变量的概率分布，是假设其是先验的，也就是说是客观存在的一个属性。譬如在等可能性的假设下，我们把掷硬币的正面为1，负面为0，则理论上我们可以假定掷硬币正反面的概率是客观存在的，我们定义这种可能性为随机变量X的一个函数P（X）。在定义一个随机变量X的函数E(X)，称为其数学期望，（当然这一概念，从其起源来讲还有其他含义），这也是客观客观存在的。由于E(X)的定义形式类似于统计量平均数的定义，在统计学中，我们一定程度上可以用随机变量的数学期望E(X)来刻画代表的总体参数μ 。

样本⇒ 总体 ⇒ 随机变量；频率 ⇒ 概率，这些概念的转化都有一个抽象的过程。从哲学本体论的角度，就由一个个体到本体的过程。唉，真的无法用语言清楚描述这一过程。

还是就中心极限定理来说，中心极限定理就是描述随机变量独立性体现的等可能性的角度，抽象分析独立抽样情况下的抽样均值对应的随机变量的统计规律。如果不理解这一点，就很难理解中心极限定理的含义。

有了中心极限定理，我们就有了假设检验和置信空间计算的理论依据。

中心极限定理

在不知道随机变量序列Xᵢ 的实际分布的情况下，采用大样本抽样，中心极限定理给出了关于样本均值的陈述：

Xᵢ是独立分布，且具有相同的均值 μ 和方差 σ² ，则抽样均值 (X₁＋X₂＋. . .＋Xₙ)/n ~ N (μ，σ²)

)。

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