集合论和逻辑（Munkres拓扑）

目录

函数的基本概念 ▹

关系 ▹

整数和实数 ▹

笛卡尔积 ▹

有限集 ▹

可数集和不可数集 ▹

递归定义原理 ▹

无限集和选择公理 ▹

良序集(well-ordered sets) ▹

极大原理（MaximumPrinciple) ▹

这里采用集合论的朴素观点(naive point), 个人理解就是大家都接受的那种简单观点。对于集合中的对象含义都是直观而且清楚的，然后我们在这样的基础上继续进行，而不对这个概念深入分析。这种分析恰好属于数学和数理逻辑的基础，而不是我们开始研究的这个领域的主题。

逻辑学家对集合论进行了详细的分析，并为这个主题制定了公理。他们的每一个公理都表达了数学家普遍接受的集合的一个性质，它们共同提供了一个足够广泛和强大的基础，使得数学的其余部分都可以建立在它们的基础之上。

不幸的是，如果使用集合论不小心，仅靠直觉的话，就会导致矛盾。事实上，集合论公理化的原因之一就是处理集合的规则可以避免这些矛盾。尽管我们不处理公理，但是我们在处理集合的时候需要从它们派生。在本书中，你将学习如何以学徒的方式处理集合，通过观察我们如何处理集合以及自己如何处理集合。在学习的某些阶段中，你可能希望更仔细的、更详细的学习集合论，那么逻辑或基础课程就可以了。

函数的基本概念

函数基本上在每个数学分支中都会提及，它在整个数学中具有重要的地位，几乎没有必要提醒你它对所有数学都有多重要。在本节，我们将给出准确的数学定义，并探索一些相关的概念。

函数通常视作某个法则(rule), 按照这个法则为集合 A 的每个元素确定集合 B 的一个元素。

微积分中，函数表示方法有: 简单的公式表示，比如f(x)＝3x²＋2 , 也有级数的表示方式 f(x)＝∑ xᵏ。

通常我们并不明确指定集合A，B 是什么，而约定 A 是使法则有意义的实数集，B 是整个实数集。

然而随着数学的发展，我们需要给出函数更精确的定义。数学家们对上述函数的提法尽管表示认同，但是，他们使用的函数定义更加准确。首先，我们定义如下：

定义:指派法则(rule of assignment)是两个集合的笛卡尔积 C × D 的一个子集 r ，这个子集具有性质：C 的每个元素最多是 r 中一个有序偶对的第一个坐标。

因此，C × D 的子集 r 若满足 [(c，d) ∈ r ∧ (c，d') ∈ r] ⇒ [d＝d']

则成为一个指派法则。我们可将r 设想成一种指派方法，为 C 的元素 c 指派 D 的满足 (c，d) ∈ r 的元素 d 。

对于指派法则r ，其定义域(domain)是由 r 的元素的第一个坐标组成的 C 的子集，其像集(image set)是由 r 的元素的所有第二个坐标组成的 D 的子集，即

domain(r)＝{c|∃d ∈ D：(c，d) ∈ r}

image set(r)＝{d|∃c ∈ C：(c，d) ∈ r}

如果给定了一个指派法则r ， 其定义域和像是完全确定的。

函数: 函数 f 是一个指派法则 r ，连通一个包含 r 的像集的集合 B 。法则 r 的定义域 A ，称为 f 的定义域。 r 的像集就称为 f 的像集。集合 B 就称为 f 的陪域(codomain), 很多书籍并没有给出这个集合的名称，它一般包含值域。

对于函数f：A → B , 可以读作" f 是从集合 A 到集合 B 的函数"，或者" f 是从 A 到 B 的映射"，或者简单的说" f 映射 A 到 B "。有些时候，人们把 f 形象的看成是将 A 中的点自然地带到(carry to) B 中的点的几何变换。

对于f：A → B，α ∈ A，用 f(α) 表示法则 f 确定赋值给 α 的 B 中的唯一元素，称之为 f 在 α 的值，或者说是 α 在 f 下的像。正式的说，如果 r 是函数 f 的法则， f(α) 就是使得 (α，f(α)) ∈ r 的 B 的那个唯一的元素。

使用这种表示法，可以把前面所有的函数表达的更加严谨。

限制映射(restriction of f)：如果 f：A → B，A₀ ⊂ A，定义 f 的限制到 A₀ 为函数将 A₀ 映射到 B ，它的法则是：{(α，f(α))|α ∈ A₀}

表示为f|ᴀ₀ ，读作 f 被限制到 A₀ 。

复合映射(composite)：给定 f：A → B，g：B → C，

定义复合映射g◦f 为 g◦f：A → C ，定义为 g◦f(α)＝g(f(α)) 。

正式的说，g◦f：A → C 是规则如下的函数： {(α，c)|for some b ∈ B，f(α)＝b，g(b)＝c}

f g

α f(α)＝b cg(f(α))＝g(b)＝c

A f(α)

B C

单射(one-to-one, injective)：[f(α)＝f(α')] ⇒ [α＝α']，只依赖对应法则。

满射(onto, surjective)：[b∈B] ⇒ [∃ α ∈ A：b＝f(α)]，除了对应法则，还依赖于陪域(值域)。

双射(bijective, one-to-one correspondence)： 同时单射和满射。

两个单射的复合还是单射；两个双射的复合还是双射。

如果f 为双射，则存在一个 B → A 的映射称为 f 的逆，记做 f⁻¹ ，同时它也是双射。！

引理2.1: 设 f：A → B，

若存在g：B → A，h：B → A，s.t.∀ α ∈ A：g(f(α))＝α，∀ b ∈ B：f(h(b))＝b，则 f 为双射，且有 g＝h＝f⁻¹ 。

像集(image)：设 f：A → B，A₀ ⊂ A，

f(A₀)＝{b|∃ α ∈ A₀：b＝f(α)}

称为A₀ 在 f 下的像。

逆像(preimage, counterimage, inverse image 原像、反像、逆像)：f⁻¹(B₀)＝{α|f(α) ∈ B₀}，B₀ ⊂ B

说明：

1. 逆像有时候也称其为纤维(fibre)，如果 A 中的任何元素的像都不在 B₀ 中，则 f⁻¹(B₀)＝∅ 。

2. 注意 f⁻¹ 有两层意思，只有当 f 为双射时，两者表达的对象集合一致。

3. 使用 f，f⁻¹ 时需要格外小心。

4. f⁻¹ 作用在 B 的子集上时有很好的性质，它保持着集合的 包含、并、交、差关系。

5. f 作用在 A 的子集上时，仅保持集合的 包含和并。

6. 一般来说 f⁻¹(f(A₀))＝A₀，f⁻¹(f(B₀))＝B₀ 并不成立。

7. f⁻¹(f(A₀)) ⊃ A₀，当 f 为单射时，取等； f⁻¹(f(B₀)) ⊂ B₀，当 f 为满射时取等。

3 关系

从某种意义上来说，关系要比函数更广泛。本节介绍数学家门所谓的关系定义，并且研究在数学中常见的两种关系:等价关系(equivalence relations)和全序关系(order relations)。

关系: 集合 A 上的关系是笛卡尔积 A × A 的子集 C 。

如果C 是 A 上关系，我们用记号 xCy 表示 (x，y) ∈ C，读作 x，y 有关系 C 。

函数f：A → A 的指派法则(rule of assignment) r 也是 A × A 的一个子集。但是它是一种非常特殊的种类：A 中的每个元素在 r 的第一个坐标中仅仅出现一次。 A × A 的所有子集都是 A 上的关系。换句话说这样的函数只是关系中一种特殊情况而已。

例1: 设 P 为全世界所有人的集合， D ⊂ P × P 定义为：D＝{(x，y)|x y }

则D 是 P 集合中的一种关系。这个例子中， x，y 有关系 D 与 x y 说的是同一件事。

B＝{(x，y)|x y }

S＝{(x，y)|x y }

我们就可以称B 为血缘关系， S 为同胞关系。

这三种关系具有完全不同的性质，比如血缘关系具有对称性，而后代关系则没有对称性。

集合A 上的等价关系 C 具有下面的三个性质：

1)反身性(reflexivity)：∀x ∈ A：xCx 。

2)对称性(Symmetry)：xCy ⇒ yCx 。

3)传递性(transitivity)：xCy，yCz ⇒ xCz 。

等价关系通常使用符号~ 替换上面的 C 。

等价类(equivalence class)：E＝{y|y~x} 表示由代表元 x 确定的等价类。

等价类具有下面的性质：

引理3.1: 两个等价类 E，E' 要么不相交，要么相等。

证明：我们只需要证明，如果E∩E' ≠ ∅ , 则 E＝E' 即可。不妨设 E＝{y|y~x}，E＝{y|y~x'} 。

E E'

•w •

y

• x • x'

Figure 3.1

设y ∈ E∩E' , 由定义我们有 y ~ x，y ~ x' 。

对称性：x ~ y , 而 y ~ x'，于是就有 x ~ x' 。

∀ω ∈ E，由定义可知 ω ~ x ，由传递性就得到 ω ~ x' ，于是就得到结论 E ⊂ E' 。

因为 E，E' 地位没有差别，于是同样可得到 E' ⊂ E 。最终得到 E＝E' 。

给定一个集合A 中的一个等价关系，用 ℰ 来记由这个关系决定的所有等价类的簇。上面的引理证明了 ℰ 中不同元素无交。进一步还有结论：

1. ∀ x ∈ A，∃！E ∈ ℰ ，使得 x ∈ E。

2. ∪E＝A 。

E ∈ ℰ

因此簇 ℰ 就是集合 A 的分拆的一个特例。

分拆(partition)：集合 A 的一个分拆是 A 的无交子集的一个簇，它的并为 A 。

研究集合A 中的等价关系与研究 A 的分拆实际上是一回事。对于 A 的任意分拆 𝓓 ，则恰好存在 A 的一个等价关系，由它可以导出 𝓓 。

例1：将平面上两个点等价定义为它们与原点的距离相等，显然满足自反性、对称性、传递性，则等价类的簇ℰ 是以原点为中心的圆及原点这个单点集组成的。

例2：将平面上两个点等价定义为它们的y 坐标相同，则等价类的簇是平面上所有平行于 x 轴的直线的簇。

例3: 设𝓛 为平面上与 y＝ –x 平行的所有直线的簇，则 𝓛 是平面的一个分拆，因为平面的任意点都在一条这样的直线上，并且不同的两条直线无交。分拆 𝓛 是由平面上的以下等价关系所产生的：如果 x₀＋y₀＝x₁＋y₁ , 则点 (x₀，y₀)，(x₁，y₁) 等价。

例4：设 𝓛 ' 为平面上所有直线的簇，则𝓛 ' 不是平面的一个分拆，因为 𝓛 ' 的不同元素未必无交，两条不重合的直线也可能相交。

序关系(order relation)：也称为全序(simple order)，线性序(linear order)。

如果A 集合中的关系 C 满足下面的性质：

i)可比较性(Comparability)：对于 ∀x ≠ y ∈ A，或者 xCy 或者 yCx 。

ii)非自反省(nonreflexivity)：A 中任何元素 x 都不成立 xCx 。

iii)传递性(transitivity)：xCy，yCz ⇒ xCz 。

注意： i) 条件不能排除xCy，yCx 同时成立，但是加上ii)，iii)后，就只能成立其中之一，否则矛盾。

例1：考虑实轴上所有满足x＜y 的实数对 (x，y) 组成的关系，这是一个全序关系，称为实直线上的"通常的全序关系"。实轴上还有一种大家不太熟悉的全序关系：当 x²＜y² 或者当 x²＝y² 并且 x＜y 时有关系 xCy，这也是一种全序关系。

例2：血缘关系B 和同胞关系 S 都不满足全序关系。后代关系 D 性质比较好，满足性质(2),(3)，但仍不满足可比较性。这种关系是我们后面要讨论的严格偏序关系。

全序关系，我们通常使用小于符号＜ 来表示。对应上面定义中用 ＜ 替换 C 即可。这里不重复了。

有了全序的概念，我们就可以定义≤，≥，以及开区间、前驱(predecessor)、后继(successor)概念，这些概念，我们不详细说明。下面看下序型的概念。

定义：设A，B 分别有全序关系 ＜ᴀ＜ʙ , 如果这两个集合之间有一个一对一保序对应，也就是存在双射 f：A → B 使得 α₁＜ᴀ α₂ ⇒ f(α₁)＜ʙ f(α₂)

那么这两个集合A，B 的序型相同(have the same order type)。

例1：区间(–1，1) 与 ℝ 具有相同的序型，因为映射 f：(0，1) → ℝ , 定义为

x

f(x)＝────

1 – x²

是一个序保持双射对应(order-preserving bijective correspondence)。

y＝x/(1 – x²)

Figure 3.2

例2：A＝{0} ∪ (1，2)，B＝[0，1) 两个集合具有相同的序型，因为有映射 f：A → B 定义为

0 if x＝0

f(x)＝{

x – 1 if x ∈(1，2)

就是我们所需的双射保序映射。

字典序(dictionary order)：假设 A，B 是两个集合分别具有全序关系 ＜ᴀ＜ʙ 。然后在 A × B 上定义一个序关系 α₁ × b₁＜α₂ × b₂

如果α₁＜ᴀ α₂ 或者 α₁＝α₂ 且 b₁＜ʙ b₂ , 那么这样的 A × B 上的序称为字典序关系。

这个术语的名词就跟我们查字典的方式类似，因此称为字典序。

例1：平面上的一个字典序的例子，p 点小于铅垂线上面点，也小于其右侧铅垂线上的点。

•

p

例2：再考虑一个ℤ₊ × [0，1) 上的通常的全序关系。函数 f(n × t)＝n＋t – 1就是所需的双射保序映射。

⁝

↥ ↥ ↥ ↥ · · · ↦

Z₊ × [0，1) ↦

↦

↦

[0，1) × Z₊

注意观察对于[0，1) × ℤ₊ 上的字典序，则和上面的普通的全序关系的序型完全不同， 这个全序集，每个元素都有后继者。

最大元、最小元、上有界、下有界、上确界、下确界，这些概念和实数上的定义类似，我们省略掉。另外同样对全序集来说，也是具有 上确界性质(最小上界性质)的，当然也具有下确界性质(最大下界性质)。

例：(–1，1) 具有全序关系的实数集，实数具有上确界性质，因此这个集合具有上确界性质。

给定任意A ，它的子集若在 A 中有上界，那么它的最小上界(实数)一定位于 A 中。比如说它的子集 {–1/2n：n ∈ ℤ₊} ， 虽然在 A 中没有最大值，但是，具有最小上界0。

但是，我们要小心，对于B＝(–1，0)∪(0，1)，就不具备最小上界性质。比如说它的子集 {–1/2n：n ∈ ℤ₊} ， 虽然在 B 中有上界， (0，1) 中的元素都是它的上界，但是在 B 中该集合没有最小上界。

到目前为止，我们已经讨论了学习拓扑所需的逻辑基础(logical foundations)， 也就是集合论的初等概念。

接下来，我们转向学习所需的数学基础(mathematical foundations), 整数和实数系。

1.4 整数和实数

相关的内容在前几节的例题和习题中我们已经非正式的使用过，现在需要给予正式处理。

建立这些基础的一个办法是，仅仅应用集合论公理来构造实数系，也就是说，赤手空拳的干(build them with one's bare hands)。这种方法需要花费很多时间和精力，并且其中的逻辑味道远远超过数学。

第二种方法比较简单，需要假定关于实数的某些公理，然后从这些公理出发进行讨论。本节大体上这样来处理实数的。准确的说，将给出实数的一些公理，然后指出如何从这些公理出发导出整数和实数的一些熟知的性质。

二元运算(binary operation)：是将 A × A 映射到 A 的一个函数 f ，称为集合 A 中的一个二元运算。

二元运算f ，通常不用函数类似的标记，而采用 αfα' 这样的记号来表示运算，和关系的记号类似。比如 α＋b，α – b，α * b，α◦b 等等。

(定义6)域：带有加法和乘法两种运算的集合 F ，若运算满足下面的域公理，则集合 F 称做域。

(A)加法公理：总结起来就是 F 对加法运算成加法群。

(A1)封闭性：若 x，y ∈ F，则 x＋y ∈ F 。

(A2)可交换：∀x，y ∈ F：x＋y＝y＋x 。

(A3)可结合：∀x，y，z ∈ F：x＋(y＋z)＝(x＋y)＋z 。

(A4)零元：

∃0 ∈ F，∀x ∈ F：x＋0＝0＋x＝x 。

(A5)负元：

∀x ∈ F，∃ – x ∈ F：x＋(–x)＝(–x)＋x＝0 。

(M) 乘法公理：总结起来就是 F 中非零元素对乘法成乘法群。

(M1)封闭性：∀x，y ∈ F：xy ∈ F 。

(M2)可交换：∀x，y ∈ F：xy＝yx 。

(M3)可结合：∀x，y，z ∈ F：x(yz)＝(xy)z 。

(M4)幺元：∃ F ∋ 1 ≠ 0，∀x ∈ F：x1＝1x＝x 。

(M5)逆元：∀ F ∋ x ≠ 0，∃ 1/x ∈ F：x(1/x)＝(1/x)x＝1 。

(D) 乘法对加法的分配律：

∀x，y，z ∈ F：x(y＋z)＝xy＋xz 。

有序域(Ordered Field): 如果域 F 同时为有序集，且满足下面的条件，则称为有序域：

i)x，y，z ∈ F，y＜z：x＋y＜x＋z 。

ii)x，y， ∈ F，x＞0，y＞0 ⇒ xy＞0 。

有理数集是一个有序域。

根据加法公理和乘法公理我们就可以得到减法运算、商(倒数)，等等。正数、负数、幂等等。

满足全序关系的任何集合，在拓扑学中称为线性连续统(linear continuum)。

下面简单描绘一下什么是整数。利用我们前面6条公理，就可以来定义整数。

归纳集(inductive)：实数集的一个子集 A 如果它包含1，并且只要 x ∈ A , 则必有 x＋1 ∈ A , 则这个集合称为归纳的。

设A 表示 ℝ 中所有包含1的归纳子集的簇。正整数集 ℤ₊ 定义为 ℤ₊＝∩A 。

A∈A

注意，ℝ₊ 包含1且为归纳集( x＞0，x＋1＞0 )， 于是 ℝ₊ ∈ A，因此 ℤ₊ ⊂ ℝ₊， ℤ₊, 都是正数，这正是我们选用这个术语的原因。因为所有实数 x(x ≥ 1) 的集合是归纳集并且包含1，所以1就是 ℤ₊ 的最小元。

不难看出ℤ₊ 的性质：

1)ℤ₊ 是归纳集。

2) 归纳原理：若A 是包含1的正整数的一个归纳集，则 A＝ℤ₊ 。

整数: 是由 ℤ₊，0，ℤ₊ 的负数组成的集合。可以证明和、差、积都满足封闭性，但是商未必是整数。

整数的商的集合ℚ 称为有理数集。

可以证明，对于给定的整数n , 不存在满足 n＜α＜n＋1 的整数 α 。

若n 为一个正整数，以 Sₙ 表示所有小于 n 的正整数的集合，称作正整数的一个截断(section)。

S₁ 为空集， Sₙ₊₁ 是从1到 n 的所有正整数所组成的集合。在后面讨论中，我们使用记号：

Sₙ₊₁＝{1，2，· · ·，n}

下面介绍但不证明两条性质：

定理4.1 良序定理(well-ordering propert): ℤ₊ 中的每一个非空子集有一个最小元。

定理4.2 增强的归纳原理(strong induction principle)： 设 A 是一个以正整数为元素的集合。假设对每一个正整数 n ， Sₙ ⊂ A ⇒ n ∈ A , 则 A＝ℤ₊ 。

阿基米德有序性质: 正整数 ℤ₊ 在 ℝ 中没有上界。可以用上确界公理证明。

利用上确界公理还可以证明关于ℝ 的另一些结论。比如任意正实数的正的平方根的存在性和唯一性。而这个事实又可以用来证明无理数的存在性(不是有理数的数)。

关于这一块的简单列举到这里，我们的重点是继续前行。

1.5 笛卡尔积

索引函数、索引集、集合的索引簇、m元组、笛卡尔积、序列、无限序列、欧氏m空间ℝᵐ 、无限维欧氏空间 ℝω (x₁，x₂，· · ·)

1.6 有限集

有限集、基数(cardinality)。

设索引集Jₘ＝{1，2，· · ·，m} 。

引理6.1：设 n 为正整数。设 A 为一个集合， x₀ ∈ A 。

那么存在一个双射f：A → Jₙ₊₁ 的充要条件是存在双射 g：A – {α₀} → Jₙ 。

定理6.2：设 A 为集合，存在双射 f：A → Jₙ , 其中 n 为某个正整数，若 B ⊊ A，

则不存在双射g：B → Jₙ ； 但是存在某个 m＜n , 双射 h：B → Jₘ 。

推论6.3：如果 A 为有限集，在 A 与其真子集之间不存在双射。

推论6.4：ℤ₊ 不是有限集。

推论6.5：有限集 A 的基数由 A 唯一确定。

推论6.6：有限集 A ， B ⊂ A , 则 B 为有限集。如果 B ⊊ A , 则 card B＜card A 。

推论6.7：B ≠ ∅ , 则下面命题等价：

1)B 有限集。

2) 存在某个m 使得 f：Jₘ → B 为满射(surjective)。

3) 存在B 到正整数某个部分的单射(injective)。

推论6.8：有限集的有限并是有限集、有限集的有限笛卡尔积是有限的。

1.7 可数集和不可数集

无限集：不是有限集的集合称为无限集。

可数无限集: 如果存在双射 f：A → ℤ₊ ，则称集合 A 为可数无限集。

可数集：有限集和可数无限集统称为可数集，有些书籍上称为至多可数集，而将可数集直接表示可数无限集。

不可数集：不是可数集的称为不可数集(注意不同的教材上可数集的定义， 有限集不是不可数集)。

定理7.1：设 B ≠ ∅ , 则下面命题等价：

1)B 为可数集。

2) 存在双射(bijective) f：ℤ₊ → B 。

3) 存在单射(injective)g：B → ℤ₊ 。

引理7.2：如果 C ⊂ ℤ₊ 为无限子集，那么 C 为可数集。

推论7.3：可数集的子集可数。

推论7.4：集合 ℤ₊ × ℤ₊ 是可数无限集。

定理7.5：可数集的可数并为可数集。

定理7.6：可数集的有限积可数。

定理7.7：设 X＝{0，1} , 则集合 Xω 不可数。 利用Cantor对角化过程可证明。

笛卡尔积{0，1}ω 是一个不可数集的例，另外一个例子是 {P(ℤ₊)}：

定理7.8: 设 A 为集合。则不存在单射 f：P(A) → A，也不存在满射 g：A → P(A) 。其中 P(A) 表示所有 A 的子集构成的集簇。

实数集不可数。

9 无限集和选择公理

定理9.1：设 A 为一个集合。下面对 A 的陈述是等价的：

1) 存在单射f：ℤ₊ → A 。

2)A 的真子集与 A 本身之间存在一个双射。

3)A 为无限集。

选择公理(Axiom of choice)：给定一个不相交的非空集合构成的集簇 A ，存在一个集合 C ，它刚好由 A 中的每个元素(集合)中的一个元素组成。换句话说，集合 C 是包含在 ∪B B∈A

中的，而且 ∀A ∈ A：C∩A 只含一个元素。

集合C 可以认为是从集簇 A 中的每个元素(集合)中选出一个元素而构成的。

引理9.2(选择函数的存在性)：给定一个非空集合构成的集簇 B (无需不相交)，则存在一个函数：

c：B → ∪B

B∈A

使得∀B ∈ B：c(B) ∈ B。

这个函数称为集簇B 的选择函数(choice of function)。

注意引理9.1和定理9.2的区别在于，引理要求集簇元素不相交，而定理集簇中元素可以不要求不相交。比如说B 可以是由同一个非空集合组成的集簇。

说明一下，选择公理有两种形式，一种是有限选择公理，一种就是上面的无限选择公理。描述的内容几乎类似，差异就在于集簇是有限还是无限的。对于有限版本的，数学家们都没有什么异议，但是对于无限版本的存在一些争议。不过我们这里先不管它，包括证明，现在都跳过去。

1.10 良序集(well-ordered sets)

良序(well-ordered)：集合 A 上有一个序关系 ＜，如果每个非空子集都有最小元素，则这个集合称为良序集。

有两种方法构建良序集：

1. 如果 A 为良序集，那么 A 的任意子集都是在限定的良序下是良序集。

2. 如果 A，B 为良序集，那么 A × B 是以字典序为良序集的。

定理10.1: 每个非空有限有序集具有 ℤ₊ 的一部分 {1，· · ·，n} 的序类型，因此是良序的。

因此，有限集只有一种可能的序类型。对于无限集，事情变得相当不同。比如说：

ℤ₊，

{1，· · ·，n} × ℤ₊，

ℤ₊ × ℤ₊，

ℤ₊ × (ℤ₊ × ℤ₊)

都是可数无限集，但是它们都具有不同的序类型。我们给出的所有良序集的例子都是可数集的序。那么很自然地会问是否能找到一个有序的不可数集。显而易见的不可数集是可数无穷乘积：

X＝ℤ₊ × ℤ₊ · · ·＝(ℤ₊)ω

我们能很自然的方式生成这个集合的字典序，定义

(α₁，α₂，· · ·)＜(b₁，b₂，· · ·)

对于某个 n ≥ 1，

αᵢ＝bᵢ，for i＜n and αₙ＜bₙ

实际上这个确实是X 上的一个序，但是不是一个良序。自然很多人都想知道这个集合上是否存在一个良序，但是目前还没有人为 X 构建出来过良序。但是下面的著名定理说了，这样的良序是存在的：

定理(良序定理)：如果 A 为集合，则 A 上存在一个序关系是良序的。

这个定理是Zermelo于1904年证明的，震惊了整个数学界。关于证明的正确性，有很多争论。对于任意不可数集缺乏任意良序的构造过程，这是很多争议的点。当靠近分析证明过程，唯一的点就在于可能存在一些问题就是其中的一个构造涉及到无限数量的任意选择，也就是构造涉及到了选择公理。

一些数学家拒绝选择公理作为一个结论，多年来，关于一个新定理的一个合理问题是：是否证明能够涉及选择公理? 如果必须使用选择公理进行证明，则一个定理被认为是有点不可靠的。今天的数学家，总的来说，没有这样的疑虑。他们接受选择公理作为关于集合论的一个合理假设，同时也接受良序定理。

选择公理隐含良序定理的证明相当长(尽管不是非常困难)，主要是逻辑学家感兴趣的；我们将省略它。如果你感兴趣，在本章末尾的补充练习中概述了一个证明方法。相反，无论何时，我们都将简单地假设良序定理。将其视为您喜欢的附加公理！

事实上，我们只是偶尔需要充分利用这一假设。大多数时候，我们所需要的只是以下较弱的结论：

推论：存在不可数良序集。

定义：设 X 为良序集，给定 α ∈ X，设 Sα 表示集合

Sα＝{x|x ∈ X，x＜α}

则这个集合称为由 α 确定的 X 的一截(section of X by α )。

引理10.2：存在一个良序集 A 具有最大元素 Ω，使得由 Ω 决定的 A 的部分 SΩ 是不可数的，但是 A 的其他部分都是可数的。(?)

证：假设B 为一个不可数的良序集。设 C 为 {1，2} × B 在字典序下的不可数的良序集，那么 C 的某一截不可数。(事实上， C 在每一个形如 2 × b 的元素处的一截都是不可数的)记 Ω 为使得 C 在 Ω 处的一截为不可数集的最小元。取 A 为这个截加上 Ω 所组成的集合。

值得注意的是，SΩ 是一个不可数良序集，并且它的每一截都是一个可数集。事实上它的序型由此而唯一确定。我们称之为极小不可数良序集。进而，

─

我们将用记号 SΩ 来表示不可数良序集 A＝SΩ∪{Ω} (理由后面说明)。

定理10.3：如果 A 是 SΩ 的可数子集，那么 A 在 SΩ 中有上界。

证明：设A 是 SΩ 的可数子集。则 ∀α ∈ A，Sα 可数。因此 B＝∪Sα 可数。

α∈A

因为SΩ 不可数，因此 B 不是 SΩ 的全部。

设 x ∈ SΩ，x ∉ B，则断言 x 是 A 的上界，也就是 ∀α ∈ A：α ≤ x 。

如若不然x＜α 对于某个 α ∈ A 成立。因此 x ∈ Sα，于是就有 x ∈ B，这与我们对 x 的选择方式发生矛盾。假设不成立。因此结论得证。

11 极大原理(Maximum Principle)

严格偏序(partial order)定义，若集合 S 上有一种关系 ≺，满足下面的性质：

1)A ≺ A 不成立。

2)A ≺ B，B ≺ C ⇒ A ≺ C 。

则称关系≺ 为 A 上的一个严格偏序。

全序(Order)定义，若集合 S 上有一种关系 ＜，满足下面的性质：

1)x ≠ y，则要么 x＜y，要么 y＜x 。

2)x＜y ⇒ x ≠ y

3)x＜y，y＜z ⇒ x＜z 。

则称关系＜ 为 A 上的一个order关系。

定理11.1(极大原理)：设 A 是一个集合， ≺ 是一个严格偏序。则存在 A 中的一个极大全序子集 B 。

例1：对于一个圆簇A 来说，如果定义一个关系: 是某集合的一个真子集，这个关系是 A 上的一个严格偏序关系。

例2：平面ℝ² 中的两点 (x₀，y₀)，(x₁，y₁) 当 y₀＝y₁，x₀＜x₂时，定义 (x₀，y₀) ≺ (x₁，y₁)

则这个关系是平面上的一个偏序。只有在纵坐标相同时，两个点才可以比较。于是极大偏序集为ℝ² 中的水平直线。

良序定理蕴含着极大原理。

尽管Hausdorff极大原理出现的最早，并且可能是最易于理解的一种说法，然而，现在引用最多的却是另外一个与之有关的说法，就是Zorn引理，尽管Kuratowski(1922)及Bochner(1922)都曾经先于Zorn阐述并证明了某种形式的Zorn引理。

定义：设 A 为集合， ≺ 为它上面的严格偏序。如果 B ⊂ A ， B 的一个上界是 c ∈ A，使得 ∀b ∈ B，要么 b＝c， 要么 b ≺ c 。 A 的极大元素是 m ∈ A，使得不存在元素 α ∈ A 有关系 m ≺ α 成立。

Zorn引理：设 A 为严格偏序的集合。如果 A 的每个简单的有序子集都在 A 中有上界，则 A 有极大元素。

Zorn引理是极大原理的简单推论: 给定集合A ，极大原理蕴含了 A 具有极大的简单有序子集 B 。Zorn原理的假设告诉我们 B 在 A 中有上界 c 。元素 c 自动就是 A 的最大元素。事实上若存在某个 d ∈ A：c ≺ d，那么集合 B∪{d} 是一个全序集且以 B 为其真子集，这与 B 极大性矛盾。

同样的，极大原理也是Zorn引理的一个简单推论。

最后还要加上一个附注，我们已经给出了集合上严格偏序的定义，却没有说偏序是什么。设≺ 是集合 A 上的一个严格偏序。将 ⪯ 定义为 α ≺ b 或 α＝b ，则关系 ⪯ 为 A 上的一个偏序(partial order)。例如，集簇中的包含关系 ⊂ 是一个偏序，而真包含关系是一个严格偏序。

大多数作者宁可讨论偏序，而不讨论严格偏序。极大原理和Zorn引理也往往用偏序加以描述。究竟使用哪种方式，只是个人的嗜好与讨论方便的问题而已。

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