拓扑数学（一）

The Baire space(Logician's reals)上的拓扑

随便问一个set theorist"什么是实数", 他/她很有可能会半开玩笑地告诉你: "一个实数就是一个自然数到自然数的函数f：ω → ω". 在集合论文献中, 这的确是"real"一词最常见的指代. 集合论中经常会出现的"Cohen real", "random real", "a real coding a well-founded model of ZFC"等说法, 都是取的上文意义上的"实数". 描述集合论常见的介绍语"研究实数的可定义子集"取的也是这个意思. 这篇文章将会介绍这个意义上的“实数”: the Baire Space, 又称Logician's Reals.

定义: 将自然数集{0，1，2，3，. . .}写作ω，则所有从ω到ω的函数集ωω＝{f│f：ω → ω}被称为the Baire space. 自然数的有限序列我们写作＜ωω＝{f│(∃n)(f：n → ω)}

正常来说, 我们把一个这样的函数看作一个长度为ω的自然数序列(f(0)，f(1)，f(2)，f(3). . .). 在此之上, 我们将ωω可视化为一种树的结构:

每一个实数f：ω → ω都对应着这个树上的一个(infinite) branch. 例如下图中红色的branch就是一个实数(的一部分):

不难看出, 这棵树上的每一个点都对应着一个有穷的自然数序列s＝(s₁，s₂，s₃，. . .，sₙ). 给定一个长度为n有穷序列 s∈＜ωω，我们可以考虑由这个点开始向下延展的cone Uₛ＝{f ∈ ωω│f ⨡ n＝s}. 如下图蓝色部分所示:

我们关心形如Uₛ的这些cones, 是因为我们可以拿它们当作basic open sets来得到一个Baire space上的拓扑. 我们将会证明这个ωω在这个拓扑下同胚(homeomorphic)于无理数. 这个事实也给Baire space的别称"Logician's reals"提供了技术上的支持.

定义: 在ωω上定义一个拓扑: 对于任意的＜ωω，我们令Uₛ＝{f ∈ ωω│f ⨡ n＝s}为basic open sets. 我们也可以在ωω上定义一个complete metric (虽然我们不会讨论这个metric):

0 if f＝g

d(f，g)＝{ 1

── if f ⨡n＝g ⨡ n but f(n) ≠ g(n)

n＋1

之所以提及这样一个complete metric, 是因为如下事实: 根据Baire纲定理(Baire category theorem), 我们定义的the Baire space是一个Baire space (lol...)

我们留意到: 每一个basic open set Uₛ 的补集就是与它相交为空的其它basic open sets的并集: Uₛ＝ωω ∖ ∪{Uₜ│Uₜ∩Uₛ＝∅}. 所以这个拓扑有一个clopen basis.

于此同时, 这个拓扑有一个更简单的刻画(虽然没有那么容易可视化): 给自然数集ω赋予discrete topology, 然后再考虑ω份ω的product ∏ω.

i∈ω

我们上面定义的拓扑实际上就是∏ω的product topology. i∈ω

另外一个观察是: 我们可以用同样的思路给ωℤ＝{f│f：ω → ℤ}这个空间赋予一个拓扑, 即定义所有有穷的整数序列决定的cones作为basic open sets. 这样得到的拓扑和我们上面给Baire space定义的拓扑是同胚的. 任意一个ω和ℤ之间的双射都可以被拓展为＜ωω和＜ωℤ之间的双射, 而这样的双射又可以拓展成为两个空间的basic open sets之间的双射.

有了上面的观察, 我们可以证明前面宣称的一个事实.

Proposition.ωω同胚于无理数集ℙ，其中无理数集上我们采用由ℝ上继承的subspace topology.

Remark: 可能一个偏数学(?)一点的证明用到的是连分数(continued fractions)的方法, 给定一个长度为ω的自然数序列(α₀，α₁，α₂，. . .), 我们将它映射到如下实数:

1

α₀＋─────

1

α₁＋───

1

α₂＋─

·

·

·

可以证明这样一个映射是一个homeomorphism; 具体证明可以看MSE: math.stackexchange.com/...

然而处于学术背景原因, 我对这些理论掌握得不好, 所以我这里展示一个偏集合论(?)意味的证明.

证明: 根据前文的讨论, 我们证明ωℤ和ℙ是同胚的. 首先列举有理数ℚ＝{qₙ│n ∈ ω} 并且确保q₀＝0. 我们现在将递归定义开区间(lₛ│s ∈＜ωℤ).

首先定义l〈〉＝ℝ, 然后对于每个整数i，定义l〈ᵢ〉＝(i，i＋1). 现在假设 lₛ 已经定义完毕, 我们构造lₛ◠ᵢ满足如下条件 (s◠i意思是序列s后面接上整数i):

1. 每一个lₛ◠ᵢ都是一个以有理数为端点的开区间

2. 对于任意s和i, lₛ◠ᵢ ⊆ lₛ

3. 如果lₛ＝(L，R)，那么令lₛ◠₀的左端点为

L＋R

───

2

4. lₛ◠ᵢ的右端点是lₛ◠ᵢ₊₁的左端点

5. {lₛ◠ᵢ│i ∈ ℤ}的并集是lₛ

1

6. lₛ◠ᵢ的长度小于───

|s＋1|

7. 令s◠i的长度为n，那么对于某个长度为n的序列t◠j，第n – 1个有理数qₙ₋₁是lₜ◠ⱼ的端点 (这一步确保了每一个有理数都是某个区间的端点)

这个构造是良定义的, 因为我们可以一开始对于每个有理数r，都固定一个严格递增的有理数序列, 使得这个序列收敛到r. 这些序列可以用一致可定义的方法来确定, 所以没有涉及到选择公理.

l〈〉： R

l₋₄ l₋₃ l₋₂ l₋₁ l₀ l₁ l₂ l₃

· · · · –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 · · · R

lₛ：

· · · · · lₛ◠₋₂ lₛ◠₋₁ lₛ◠₀ lₛ◠ₗ lₛ◠ᴢ

Left Rigut

注意：lₛ◠₀ lₛ◠ₗ lₛ◠ᴢ/lₛ◠₀ lₛ◠₁ lₛ◠₂的划分！

给定了上面定义的开区间(lₛ│s ∈＜ωℤ), 我们接下来定义一个映射F：ωℤ → ℙ. 对于任意的f：ω → ℤ，我们可以考虑由它前段 f ⨡ n 对应的开区间 lf⨡ₙ. Claim: ∩ lf⨡ₙ. 仅包含一个无理数. n∈ω

这个claim为真是因为区间套定理告诉我们这个集合非空, 而它是单点集是因为根据lₛ的构造, 它的长度趋向0. 同时我们对lₛ的构造也确保了每一个有理数都是某一个lₛ的端点, 所以每一个有理数都会在某一个lf⨡ₙ之后被避开.

现在我们定义F：ωℤ → ℙ. 对于任意的 f：ω → ℤ，我们规定{F(f)}＝∩lf⨡ₙ.

n∈ω

不难看出这样一个映射是双射. 与此同时, 对于任意basic open set Uₛ，我们都有F[Uₛ]＝lₛ∩ℙ，而形如lₛ∩ℙ的集合正是无理数集上subspace topology的basis. 这确保了F是两个空间的basis之间的双射. Proposition证明完毕.

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