无穷逻辑的意义

与经典一阶逻辑不同，无穷逻辑不是为了作为某种定理证明系统而诞生的，而是作为类似“群、域、泛函空间”之类数学对象，拿来被研究而诞生的。这种态度一直贯穿数理逻辑的历史，例如塔斯基在定义Truth的那篇论文里有断言说过如果对象语言的语句无穷长，那么这个Truth就无法在我们的元语言里面被定义（然而后面将无穷逻辑做大做强的仍然是他23333），以及苏联数学家Novikov给Journal of Symbolic Logic投稿一篇关于无穷长语句的逻辑的一种完备性时，Church给这个结果的评语是“pointless.... it cannot be said that this calculus is a logic ... in the proper sense of the word”

换句话说，不是数理逻辑推理说工具不够用了，想着要多一种推理手段才发明的无穷逻辑，而是当时集合论和模型论界对代数结构的研究注重在代数的表示定理上，以及这种表示定理能不能有类似Stone表示定理那样跟逻辑的连接。

无穷逻辑的诞生和发展基本上聚焦于1945-1960这十几年，其中一个重要的节点就是Henkin对一阶逻辑完备性的证明，其中用到的【将语句的见证看作语句本身】这个小技巧，让逻辑学家不再纠结“什么是公式/语句”这类比较形而上的问题，打开了用实数和序数来当作语句和公式这个做法的大门。他的学生Carol Karp则是第一个系统性地研究当代意义下无穷逻辑的逻辑学家。

而塔斯基、Hanf、Scott那边则是延续着模型论和代数学之间的传统，在研究无穷个变量的代数运算时，自然地考虑到经典逻辑与布尔代数之间的联系是否暗示着更广义的代数能够对应着更广义的逻辑，于是乎Henkin、Karp几人的工作自然而然地就为它们提供了这个广义的逻辑（当时大家都在UC伯克利，所以基本上没有任何交流障碍）。这类研究如今基本上不在模型论中出现，而是在范畴论和范畴逻辑中非常活跃。

当时集合论一个开问题就是最小的可测基数有没有可能是最小的强不可达基数。无穷逻辑最早的应用就是解决这个问题（Hanf-Tarksi ~1960），将弱紧致基数卡在了可测基数和强不可达基数之间，让我们知道最小的可测基数底下肯定有很多很多个强不可达基数。当然，今天这个问题用可测基数带来的初等嵌入的工具很容易就能解决。

至于强度上，由于基本所有无穷逻辑都包含经典一阶逻辑，所以前者自然是比后者要强的。一个很经典的例子就是，由于紧致性定理，一阶逻辑无法刻画良序性，而在允许可数无穷长的量词和可数无穷长的逻辑连接词下的逻辑就可以刻画良序性。

在今天，除了范畴论中延续的Tarski学派逻辑-代数二元性传统之外，无穷逻辑还经常出现在描述集合论里，例如说如果你看Borel coded的属于关系是Δ¹₁ 的证明，实际上就像是像是在给一种特殊的逻辑赋予塔斯基语义学。在不变量描述集合论中，例如高速老师的Invariant Descriptive Set Theory教材就专门有好几章是讲描述集合论与 Lω₁ω 逻辑的模型论的交互的，而这个方向的前身之一来自于Barwise对该逻辑的子逻辑紧致性的研究（Barwise compactness theorem）以及在admissible sets上的应用，其中著名的一个定理是Barwise extension theorem，说的是ZF的任何可数模型都能被end-extend为一个ZFC+V=L的模型。

另外一个研究方向则是欧洲特别是赫尔辛基和巴塞罗那现在在做的方向，研究所谓的Lowenheim-Skolem number的，大致就是一个逻辑能有多大多小的初等子模型或初等扩展，算是set-theoretic model theory的子分支，但它不单止研究无穷逻辑，也研究各种抽象逻辑（例如说公式仍然有穷长，但是加上了各种花式的量词的逻辑）

最后，武丁那边做的Ultimate-L纲领其中一个重要目标是他发明的Ω 逻辑的完备性定理。这个 Ω 逻辑也会被称作无穷逻辑，但它和上述的无穷长度语句的逻辑不是特别一样。而是他根据一阶逻辑和超出一阶逻辑的一些可定义性和力迫不变性相关的元数学性质，提炼出了一种“什么是证明、什么是validity”的抽象思路。例如在一阶逻辑中，扮演“证明”角色的是有穷的字符串，也就是自然数，而在 Ω 逻辑中，扮演“证明”角色的则是universally Baire sets of reals. 这方面Peter Koellner有一篇写得很好的偏哲学的动机综述，叫Strong Logics of First and Second Order.

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