【数学与哲学翻译】Peter Smith论数学

Does Mathematics need a Philosophy? By Peter Smith/Phil.of maths/ 3 Comments/February 15，2023

原文标题：Does Mathematics need a Philosophy?

作者：Peter Smith

来源： logicmatters.net/2023/0...

作者简介：Peter Smith是剑桥大学的一名退休逻辑学教授，他的主要研究领域是逻辑学和哲学，退休后在逻辑学教学上成就显著，例如出版了知名的不完备定理教材An Introduction to Gödel’s Theorems，以及每年更新的数理逻辑入门指南大全，介绍数理逻辑哪些领域有哪些入门和进阶读物的， Beginning Mathematical Logic: A Study Guide，并且编写与收集了一系列面向哲学家的范畴论材料： logicmatters.net/catego...

本文译自Peter Smith于2023年2月15日发表的一篇博客，其中一部分是回忆了几年前在剑桥大学三一学院数学协会上，数学家Imre Leader与Thomas Forster标题为“数学是否需要哲学？”的讲座，另一方面是从这个讲座出发，反思现代职业哲学家和职业数学家的工作活动（注意这里说的是职业工作活动，而不是哲学内容与数学内容）之间是否还有交互的可能。

在我看来，这是一篇写得非常漂亮的的博客，作为从业者，作者丝毫不避讳如今大部分数学家根本不在乎或者甚至厌恶数学哲学工作这个客观事实，而是选择直面这种窘境，在可读性有趣性极高的同时，既科普了数学哲学从诞生时关注数学内容底层的哲学大问题，又介绍了数哲当今注意力看往数学家日常的从业习惯和数学实践行为的“实践+社会学转向”趋势，同时探讨了前者这种哲思类的大问题与后者那种社会学式卷起袖子的田野考察会不会可能殊途同归。在最后，作者反思了数学哲学的现状和去向，以及今天的数学家还有没有了解数学哲学的必要。是难得的好文章，强烈推荐。

以下是博客《数学是否需要哲学？》的翻译：

几年前，剑桥大学三一学院数学协会（TMS）举办了一次会议，在多到惊人的听众面前，Imre Leader和Thomas Forster做了“数学是否需要哲学？”的入门讲座，然后进行了问答环节。这个话题非常大，而讲座时间非常短。活动结束后，我写了一些后续思考（主要是为了数学学生，比如TMS的成员，尽管其他人可能也会感兴趣……）。恰好最近我又有机会重新审视这些言论，虽然它们粗糙且随意，但我对它们的大致观点感到满意，所以我就稍微整理了一下，再次呈现给新来的读者。

Imre在讲座开头麻利地勾勒了一些关于数学的哲学观点，他称之为柏拉图主义和形式主义。他间接提到说，在对自己工作到底在做什么的想法上，数学家倾向于柏拉图主义（因为他们假定他们正在探索一个确定的抽象数学宇宙，那里有客观的真理等待被发现），但当他们写出证明供公开阅读时，他们则会转向形式主义。

柏拉图主义自然有各种各样的款式，我们可以争论哪款柏拉图主义更倾向于被工作中的数学家所假定（当然也有可能哪款都不是）。然而此处还有一个更深层的问题，关于假定柏拉图主义在多大程度上（如果有的话）对数学工作有实际影响：它会不会就是个无用的哲学花瓶？

我稍后会回顾最后这个问题。但让我们先从Imre说“数学家在展示他们的证明时会转向形式主义”这个说法开始。注意到，Imre在这里将形式主义描述为一种关于数学本质的说法，大约类似于是“数学只是在无意义符号间的一种游戏，看看你能从给定规则下从哪些符号串推出哪些符号串”。首先值得一提的是，至少对于那些对数学做出过严肃思考的哲学立场来说，这是一个稻草人立场：例如，伟大的希尔伯特通常被认为是典型的形式主义者；但他的立场要复杂得多。好吧，我也不是没听说过听过其他数学家描述同样的朴素的“这只是符号游戏”的说法。我此处想要指出的是，这里我们将两个事情混为一谈了，一方面是对形式主义的认可（无论是Imre的朴素形式主义还是更复杂的形式主义），另一方面是尝试追求形式化的做法。将这两者混为一谈是错误的。因为我听过其他人也犯过同样的错误，所以我认为此处值得停下来分析一下。

我们先从如下观察开始：在展示复杂的数学论证时，将我们的命题以数学+英语+符号的方式来展示是有帮助的，这种方式就是明确设计来帮助表达精确、去掉模糊性、使得逻辑结构清晰。例如，想想我们使用的量词/变量符号——比如∀ε∃δ——是如何使得一般性命题的结构变得清晰。然后我们试图将我们的命题拼凑成近似于一系列形式推导的东西。这么做有什么原因吗？因为它迫使我们诚实：我们必须记下我们引用的前提，以及我们使用的确切推理步骤。毕竟诚实是最佳策略。假设我们通过每一步推理都是显然有效的（没有隐藏的前提被偷偷引入，也没有可疑的推理步骤）从给定的前提到一些目标结论。那么通过我们的诚实劳动，我们就争取来了一种信任的权利，信任前提确实蕴含了所需结论。耶！

是的，即使是最硬核的数学文本也是用普通语言和数学符号的非正式混合写成的。证明几乎从来都不会被完完全全地被形式化地剖析，因此它们的呈现仍然不符合逻辑学家对完全形式化的理想。我们希望这种非正式地呈现的数学证明，原则上能被锐化成更接近完全形式化证明的近似。的确，我们甚至会祈祷，这些非形式证明最好能够以逻辑学家描述的严格规范的形式呈现（甚至能在计算机上实现），使得最终从我们陈述的公理开始，每一个微小的推理步骤都被完全明确地表达出来，以便一切都可以被机械地检查它们是否符合某些公认的推理规则。

但也的确，这种细枝末节的形式化努力，几乎根本不值得花费时间和墨水。在数学实践中，我们使用足够的形式化来说服自己，我们的结果不依赖于非法引入的前提或可疑的推理步骤，然后就此打住——我们的座右铭是“一天的严谨一天当就够了”（译者注：这句话是马太福音6:34后半句的改写：“所以， 不要为明天忧虑， 因为明天自有明天的忧虑； 一天的难处一天当就够了”）。看看咱们剑桥的骄傲，怀特海和罗素是如何在《数学原理》中阐述这一观点的：

大多数数学研究并不关心对完整推理过程的分析，而是关心对证明的摘要的呈现，只要这个摘要足以说服一个受过适当训练的头脑。

（“受过适当训练的头脑”大概指的就是三一学院数学牲）（译者注：原文是Trinity mathmo，第二个词就是mathematician的昵称，我这里也选择类似的昵称翻译）

希望我们能在这点上观点一致：形式化（至少在某种程度上）是一件非常好的事情，因为足够接近形式化理想的证明，到头来是能帮助我们检查我们的聪明点子是否真的可行的，而且它们也将最终帮你说服你读者中受过适当训练的头脑。 （好吧，考虑到这是一种类似哲学的言论，你肯定可以找到一些哲学家持反对意见，因为这是那些脾气古怪的家伙的方式。但异议者通常只是在强调，产生可形式化的证明并不是数学的全部和终结——我们可以很乐意地同意这一点。例如说，我们经常渴望证明不仅形式上有效，而且在某种程度上具有解释性，解释性究竟是什么意思暂且按下不表。）

所以Imre如果说数学家在检查和写出他们的证明时通常是（半）形式化的，那他就是完全正确的。但事实上，他将形式主义描述为一种关于【游戏+无意义符号】的理念，然后说数学家在他们的证明中转向形式主义。然而两者是完全不同的说法。这也是我想表达的第一个主要观点。

任何人如果想要将这两者混为一谈，都应该花点时间回忆一下，最早明确提倡形式化优点的人之一是弗雷格，而他同时也是最早的反形式主义者。但我们不需要拿出历史上的重炮。这里要强调的关键是一个非常简单的观点。用一种规范化的、部分或完全符号化的语言来写东西（这样你就可以更好地检查什么是什么的推论），并不意味着你已经停止了对命题的表述，而开始操纵无意义的符号。手工制作的、专门设计的语言仍然是语言。从“两个数无论怎么加，和都是一样的”到例如“∀x∀y(x＋y＝y＋x)”的转变改变的仅仅是表达的媒介，并没有改变表达的信息。而且，你可以并且也应该在检查一个形式化证明是否遵循逻辑规则时，暂时忽略非逻辑谓词和函数的语义（因为逻辑规则是用语法术语形式化的），但这可并不意味着非逻辑谓词和函数不再有意义呀！

所以总的来说，数学家（在遵守“社会行为守则”时）至少会采取一些步骤来使他们的证明在形式上合规，但这并不意味着他们是（哪怕暂时性的）形式主义者。

这又是另一件好事，因为这种不加保留的朴素形式主义（“这只是无意义的符号”）是一种挺不靠谱的数学哲学。但又得另说了，所以我们就此打住...

“数学是否需要哲学？”这个问题并不是那么明确。再次，我不得不问一个哲学家很喜欢问的烦人问题：它到底是什么意思？

好吧，这里有一个更精确的问题，它可能是这个意思（尤其在TMS的讨论中，它在某种程度上被理解为这个意思）：数学家是否应该注意、或者关心、当前由职业数学哲学家通常做的数学哲学？Imre Leader和Thomas Forster都对此有所表态，而且两人观点一致。对于这个更精确的问题，他们的回答基本上是“不”。Thomas甚至说：

哲学系里做的所谓“数学哲学”，整体上基本算是浪费时间，至少从职业数学家的角度来看。

哇塞，这话说得真是拳拳到肉。不过这个说法有没有它的道理？

嗯，我想他会这么说，可能是因为一部分哲学家在谈论数学时根本不知道自己在说什么。但这种可能性相当小，因为有不少职业哲学家同时拥有数学学位（当我在剑桥哲学系时，我们三分之一的人拥有数学学位，其中一人还是数学博士，另一人则是学完了Part III）。所以这可能不仅仅是哲学家一知半解导致的。那么在哲学家中，到底发生了什么，让Imre和Thomas对数学哲学如此不屑一顾？

我尽力尝试解释一下他们共同的观点。伟大的哲学家威尔弗里德·塞拉斯有一句名言，很多现代的英美哲学家（对于那些在澳大利亚和斯堪的纳维亚的人，我表示歉意……）也会把它当作座右铭：

哲学的目标，抽象地说，是理解最广泛意义下的事物，是如何在最广泛意义上相互联系的。

关于数学，我们则可能会这么想：数学似乎在谈论的抽象实体，而我们的世界观却主要是自然主义的（在这个世界观中，最终，经验科学决定了什么是真实的，什么是不真实的），而两者如何相容？我们如何了解这些所谓的抽象实体（获取知识通常似乎涉及与我们试图了解的事物的某种因果关系，但我们无法对数学的抽象实体产生因果关系）？好问题... 数学是关于什么？我们如何获取数学知识？或者如果你更喜欢用希腊语来的词，数学的本体论和认识论，似乎与我们所处的世界脱节了，同样令人困惑的是，我们引以为傲的科学理论揭示了我们以何种认知行为与能力来认识这个世界，而数学本体论和认知论也是与这种认知行为是脱节的。但...但是数学却又与我们最拿得出手的的科学紧密相关，似乎对这些科学来说是绝对不可或缺的。奇怪吧！为什么对数学领域的探究会如此不合理地对我们的经验科学有用？这个谜题促使物理学家尤金·维格纳写了一篇著名的论文，名为《数学在自然科学中不合理的有效性》。

也许之所以我们陷入困境，是因为我们认为数学描述了一个与宇宙其他部分分割开来的抽象领域（这里大致描述的是柏拉图主义）。但如果柏拉图主义使我们陷入困难，那数学到底是关于什么的学科？某种意义上的结构（比如说结构也可以在非数学世界中得到体现，这就是数学如何被应用的方式）？——所以，啊哈！也许我们应该对数学采取某种结构主义？但再仔细想想，结构又是什么，不还是特别抽象的实体吗？额。也许数学就根本不是关于任何“就存在在那里”的东西的？我们到头来应该还是采取某种复杂的形式主义？

就这样，我们就不经意间被卷入了一场圈地自萌的哲学争论，各种大哲学派别，各种主义，互相搏斗（而且还有更多的哲学派别等着加入进来：我稍后会讲到其中一些）。

你看，引发了各种主义之战的这些问题看起来是合理的好问题吗？对于哲学家来说可能是的。但正如我所说的，这些问题有研究的动力，似乎一大原因是因为哲学家喜欢思考数学如何与世界交互，以及如何与我们对世界认知所交互。而职业数学家却可能会认为，就算这些问题是好问题，我们在数学内部也有足够多的细枝末节的具体数学问题需要思考，所以谢谢叔叔我们不约。而且职业数学家的确太忙了，根本没有时间停下来管他们正在做的事情如何与外人的探索有什么互动。那么现在就到了分工的时候了：让哲学家继续做他们自己的事情，建立关于生活、宇宙和一切（包括数学的地位）的本体论和认识论大图景故事；让数学家继续做他们自己的事情。哲学家最好对数学有一些了解，这样他们关于数学如何融入大图景的故事才不会太不现实。但数学家不需要回报这种关心，因为老实说他们并不在意数学如何融入哲学大图景。

好像有点道理的样子...

这个观点看起来是不是对整个事情的理解比较合理？看起来似乎可以支持Imre和Thomas的观点（事实上，他们两人的一些言论似乎也暗示了这种观点）？

然而，尽管如此，我认为至少有一些理由，我们（作为数学家）不应该那么快就忽视哲学家。

比如说，有个简单的事实，那就是哲学家实际上谈论的远不止这些大图景。诚然，大学本科哲学课程倾向于集中在这个领域：比如说斯图尔特·夏皮罗（Stewart Shapiro）的很优秀的数哲教材《思考数学》（Thinking about Mathematics，牛津大学出版社，2000年）讲的就是这些。（顺便说一句，夏皮罗在书的第一章中对数学实践是否由哲学假设支撑这个问题提出了一些有趣的观点。）但哲学家也担心更具体的问题，比如：我们有什么理由认为连续统假设有一个确定的真值吗？当我们加强ZFC来决定连续统假设的时候，我们如何决定新的集合论公理？无论如何，ZFC有什么了不起的地方，与其他集合论相比（它有什么得天独厚的动机吗）？在什么意义上，如果有的话，集合论是数学的基础？在某种意义上，Topos理论是基础的竞争者吗？非常抽象的理论，比如范畴论，给我们提供了什么样的解释/洞察？在数学中，什么样的解释性证明是有意义的？数学深度现象是仅仅在观察者的眼中，还是有客观的东西？反推数学项目（它表明可应用的数学可以建立在所谓的直谓性二阶算术的非常弱的系统中）我们应该怎么看待？事实上，每一个真正的证明都必须是能被严格地形式化到牙齿吗？如果是，那又需要使用什么级别的逻辑工具来形式化才令人满意？还有比如说存在不可能被翻译成形式化的图解证明吗？等等等等……

我可以举上一整天例子。但我觉得重点已经说得很清楚了。这种后退一步来反思我们数学实践行为的问题，仍然可以合理地被称为哲学问题（即使它们不完全符合塞拉斯的座右铭）。比起我之前所说的大图景问题，这些问题则更为局部——它们不是从我们的肩膀上往下看，比较数学与其他形式的求知探究，然后想知道它们如何相互契合；相反，它们是数学事业内部的好问题。而且尽管它们是哲学问题，但研究它们的人既有以哲学为业却有数学倾向的人，又有以数学为业却有哲学倾向的人（而且有时很难记得谁是谁，有些人两边都沾得上）。我们列出的这些问题，肯定是值得一些数学家花一些时间思考的。幸运的是，他们确实有思考这些问题。

所以我觉得还是不要像Thomas那样那么快就对哲学家不屑一顾吧。

但我还没说完。也许，到头来一些大图景问题确实仍然潜伏在这些数学边缘问题的背后。

再回头考虑一下那个不太明确的问题“数学是否需要哲学？”。这里有另一种理解它的方式：

在他们的事业上，数学家是否不可避免地受到对某种一般性概念的指导（如果你愿意的话，可以称之为“哲学”），这种概念决定了他们认为数学应该如何被追求，又或者说决定了他们接受哪些论证模式是合法的？

Imre Leader和Thomas Forster都在比较宽泛的层面上触及了这个版本的问题。但为了帮助我们更深入地思考这个问题，我建议我们来看一些细节，从重新审视一个历史上真实发生的争论开始。

我们需要先了解一些术语（这些术语来自伯特兰·罗素）。如果定义一个对象E时，要量化包括E自身在内的一些对象，那么这个定义就被称为是“非直谓的”(impredicative)。举个例子：集合(X，≤)的下确界的标准定义是非直谓的。因为我们说y＝inf(X)当且仅当y是X的一个下界，而且对于Ⅹ的任何下界z，z ≤ y。注意这个定义量化了X的所有下界，而X的下界之一就是下确界本身（假设存在下确界）。

历史上，例如庞加莱和在他之后的伯特兰·罗素都认为非直谓的定义实际上和更直接的循环定义一样糟糕。这些定义，他们认为，违反了禁止恶性循环定义的某个原则。但他们是对的吗？还是非直谓的定义是无害的？

而另一位剑桥骄子弗兰克·拉姆齐（Frank Ramsey）（以及他之后的库尔特·哥德尔）同样著名地指出，一些非直谓的定义肯定是完全无害的。拉姆齐的例子：在房间里挑出一个人作为最高的人（这个人是这样一个人，房间里没有人比他更高）就是通过量化房间里的人来挑选他，而这些人中包括那个最高的人。这有什么问题吗？当然没有！在这种情况下，房间里的人本来就在那里，与我们挑选他们中的任何一个无关。那么有什么阻止我们通过他在他们中的特殊地位来识别他呢？逻辑上或本体论上并没有发生任何奇怪或可怕的事情。

同样，我们似乎也可以在其他情境中采取实在论立场，假设——在某种意义上——“现实”已经为我们提供了一个固定的量化对象的总体。如果这些对象本来就“在那里”，那么通过使用一个量化包括这个对象的某个域的描述来挑选出其中的一个，会有什么问题呢？

然而，如果我们所涉及的是某个我们并没有采取实在论的领域，情况就不一样了。例如，有一种思路贯穿了庞加莱、早期的罗素、法国分析家如博雷尔、贝尔和勒贝格，然后由魏尔在他的《连续体》中特别发展：这种思路认为数学应该只关注那些可以被定义的对象。这与Thomas Forster说到的另一个话题有关，Thomas强调了一个现代独特的函数概念，即任何输入和输出的配对都构成函数，无论我们是否能定义它——而这恰好就是从庞加莱到魏尔等人的传统所反对的（此处借Thomas的描述）“抽象废话”。在这个传统中，后来的伟大构造主义数学家埃雷特·毕晓普(Errett Bishop)如是说：

一个集合并不是一个拥有理想存在的实体。一个集合只有在它被定义了之后才存在。

在这种思路下，定义一个集合，就相当于是创造了这个集合，把它带入了存在里。从这个角度来看，非直谓的定义确实会有问题。因为这种“定义主义”思想暗示了一个分层图景。我们定义一些东西；然后我们可以用这些东西来定义更多的东西；然后用这些东西来定义更多的东西；如此循环。但我们不能通过非直谓地调用一个包括我们试图定义的东西的整个领域来定义一个东西的存在。这的确是在恶性循环中打转。

所以最初的想法是这样的：如果你在某个领域上是一个完全的实在论者——我们可以说是“柏拉图主义者”，如果你认为这个领域中的实体“本来就在那里”，那么你会认为这个领域上的非直谓定义是完全可以的。如果你是某种反实在论者或构造主义者，你可能会认为非直谓定义是不合法的。

所以在这里，我们有一个很好的例子，你对数学的哲学大图景（“我们正在探索一个‘本来就在那里’的抽象领域” vs. “我们正在共同构建一个数学宇宙”）似乎确实会影响你自认可以合法使用的数学工具。因此，考虑到公认的数学中充斥着非直谓的构造，这似乎表明它认可了对自己所做的事情的实在论概念。所以是的，似乎大多数数学家都在暗中陷入了对他们事业的某种实在论概念，正如Imre和Thomas以不同的方式都接近暗示的那样。毕竟，我们不可能通过说“这不是我们的问题”来轻易地逃避与一些大图景问题的纠缠。

回到我之前提到的“主义之战”的故事。我在介绍它时稍微作弊了，因为我假设了参加这些“主义之战”的人们首先不加批判地接受数学的现状，然后再来看看它如何与我们对世界的理论和我们对世界认知的理论相契合。换句话说，我暂时地默认了，哪怕你再怎么从哲学角度去尝试理解数学如何与其他形式的探究相契合，你也不会研究出什么对数学家来说诧异或许要在乎的结果，例如揭示数学家们可能在某些方面做错了一些事情，需要改正他们的方式之类。

但正如我们刚才注意到的，从历史上看，情况并不是这样的。因此，虽然逻辑主义（Imre提到过）和希尔伯特的复杂形式主义是保守的主义，且它们应该给我们提供一些方案，来坚持“经典数学没有毛病，不需要改动”这一主张，但这些主义的立场却实实在在地面临着一些其他的、根本性的、批判性的主义。这些包括著名的布劳威尔直觉主义和魏尔的直谓主义。批评者认为，19世纪末的经典数学在陷入“抽象废话”时已经过度扩张了（这就是为什么我们在发现集合论和其他悖论时出现了基础危机），而为了摆脱困境，我们需要坚持更具构造性/直谓性的推理风格，认识到数学世界在某种意义上是我们的建构（你也可能会认为这与我们如何获取数学知识有关）。

这个故事目前我讲得还是很粗糙，不过我们无法在这里进一步跟进这些争论了。然而，作为一个简单的历史概述，发生的事情是，就数学实践而言，保守的经典实在论者获胜了。例如，直谓分析在数学大厦的一个小房间里幸存下来，那里的从业者仍然喜欢炫耀他们可以单腿跳多远，或者说他们可以单手绑在背后跳多远（“抽象废话”的爱好者就会这么描述他们的工作，借用Thomas的说法）。然而还是要提一件非常重要的事情，那就是事实证明，对科学来说，直谓分析实际上似乎已经完全够用了（所以我们可以说没有外部的、功利性的理由去做经典主义数学）。但经典实在论者的胜利并不是一个概念上有充分理由的哲学性胜利——有时候会有这样的胜利，但这绝对不是其中之一。概念上的争论一直有持续，但希尔伯特和其他人的政治权威足以说服大多数数学家，他们不需要改变自己的做事方式。所以他们就没有改变。（译者注：此处作者指的是数学史上著名的Brouwer-Hilbert事件，该事件由两人的数学哲学观念争论而生，继而上升到具体的职业生计纠纷，最终Hilbert将Brouwer从Mathematische Annalen编辑委员会除名）

然而——现在我要更加幻想一些，但我希望不会太过分——我们似乎可以想象在某个孪生地球上事情发展得有所不同。在那里，数学家的内部文化（如果你愿意，可以称之为哲学）在过去一个半世纪中发展与我们不同，以至于低承诺的方法变得特别受重视，而构造主义者/直谓主义者们占据了大厦的主要房间，给他们的学生发放奖学金。而那些抽象废话的爱好者们被放逐到阁楼上，去玩他们的野生集合论之类的东西，这些东西在“娱乐数学系”里。或者如果你觉得我们无法想象这种情况，又为什么无法想象呢？

我们还有许多能讨论的内容。但也许，只是也许，数学家在对哲学家不屑一顾之前，应该偶尔反思一下，我们的数学实践是否真的没有与一些深层次的、广泛的大图景的假设紧密相连，而这些假设是值得挑战的。如果，正如Imre在开头所说的，数学家倾向于是柏拉图主义者，那完全有可能这种“主义”的站队并不是一个脱离数学实践、无所事事的哲学花瓶，而是在产生一些确确实实需要被认识和反思的切实影响。

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