哥德尔纲领

一、乐观的理性主义

对理性主义者来说，十九世纪末至二十世纪初无疑是一段令人怀念的美妙时光。

人们相信，无论是以经典力学、电磁学和热力学为代表的物理学或是以《德国民法典》为代表的大陆法系都已接近完备。

而在数学上，康托尔（Georg Cantor）集合论让人类第一次可以有意义地谈论各种不同的无穷；弗雷格（GottlobFrege）的概念文字使数学得以摆脱来自自然语言的模糊性；希尔伯特（David Hilbert）号召建立完备的形式系统一劳永逸地解决经典数学（包括康托尔集合论）的基础问题：一切明确的数学问题都必然有一个确切的解答。

我们甚至可以说，某种乐观的理性主义是那个时代的主流。

理性主义者认为，存在某类知识，它们不是通过一个个经验案例得到的，而只能依赖于某种来自于理性的能力的直接把握。

他们进一步宣称，人类的理性足够把握这些知识。

莱布尼兹是这种乐观的理性主义的代表人物。

其乐观的理性主义最集中的体现，同时也是对后来的数学基础研究产生重要影响的是他毕生关于通用文字的设想：“我认为有可能发展出一种一般的文字，可以像代数在数学中那样确凿无疑地记录所有领域的研究。”莱布尼兹的设想被认为是现代逻辑的先声。

在下文中，我们将分析，在理解了弗雷格与希尔伯特的失败后，哥德尔所能够主张的是怎样一种乐观的理性主义（第2节）；以及作为哥德尔纲领在当代最有代表性的执行者，武丁的终极L理论遇到了哪些挑战（第3节）。

二、哥德尔纲领

无论弗雷格的逻辑主义纲领还是希尔伯特的形式主义纲领都谋求一劳永逸地解决数学基础问题。

在今天看来，这些研究纲领至少在表面上都失败了。

弗雷格的逻辑主义纲领谋求将全部数学建立在逻辑的基础之上。

诚然，罗素悖论是对弗雷格计划的重大打击，但它并不构成对逻辑主义纲领本身的否定。

可以明确的是，罗素的发现让人们意识到无论是弗雷格的（二阶）逻辑、罗素本人的分支类型论抑或集合论作为数学的基础，无论它们是否被称作逻辑，仍然可能会出问题，它们安全性仍然是有待检验的。

罗素悖论

数学形式 S={x丨x ∉ x}

S不属于S意味着满足这个集合自身的定义了

如果S ∉ S → S ∈ S

也就是这个括号里的x不属于x

S这个集合的定义是要满足x不属于x这个条件的

如果S∈S → S ∉ S

也就意味着S也是满足这个条件

希尔伯特自始至终是经典数学（包括康托尔集合论）的捍卫者。

可能是受到几何学公理化传统的影响以及直觉主义者的步步紧逼，希尔伯特在数学基础上选择了形式主义的立场。

希尔伯特试图回避任何哲学上的纠缠，仅仅用数学结果为数学做辩护。

希尔伯特要求：

（1）找到包含经典数学的形式化的公理系统；

（2）证明该公理系统的一致性；

（3）证明该公理系统的完全性。

以上工作只能使用有穷主义方法（finitary method）。

此即所谓的希尔伯特纲领。

假设希尔伯特纲领实现，我们至少可以确信经典数学是安全的，更进一步，所有数学命题都可以在一个有穷的公理系统中被判定。

这看似是一个可以被接受的，一劳永逸的解决方案。

然而，哥德尔不完全性定理表明，希尔伯特计划在很强的意义上是无法实现的。

希尔伯特式形式主义的根本问题在于，它不是一个一以贯之的数学哲学立场。

由此，形式主义者将数学分成了两部分：有意义的真的因而不需要一致性证明的那部分（如有穷主义数学）以及更多的纯形式的需要一致性证明的那部分。

他们要求用较少的有意义的那部分数学证明更多数学的一致性。

因此，当人们发现一个给定系统的一致性证明总需要比那个系统更多的东西时，就会认为一切一致性证明就实现希尔伯特纲领而言是无意义的。

相比一致性问题，对于作为理性主义者的哥德尔来说，更迫切的是面对不完全性现象。

不完全性定理带来的冲击如此之大，以至于即使集合论公理化已经取得了明显的进展，人们不再像弗雷格或希尔伯特那样谋求一个完全的数学基础。

乐观的理性主义逐渐退出时代精神的主流。然而，哥德尔本人却是一个相比弗雷格或希尔伯特更乐观的理性主义者。

哥德尔在1938年证明了连续统假设相对于ZFC公理系统的一致性，也即从ZFC无法证明连续统假设是不成立的（假设ZFC本身是一致的）。

哥德尔猜想连续统假设可能是独立于ZFC的：

“康托尔的假设先天的有三种可能：或者它可以被证明，或者被否证，或者是独立的。第三种情形最有可能，……寻找其独立性的证明。”

哥德尔的猜想在1963年被科恩（PaulCohen）证明。

连续统假设的独立性相比不完全性定理对数学基础问题的影响可能更大。

连续统假设是一个自然且明确的数学问题，它是希尔伯特第1问题。

数学家可以宣称见证哥德尔不完全性定理的那些命题都是人造的，缺乏自然的数学意义。

然而，连续统假设独立性的发现意味着数学家必须直面不完全性问题。

除非他们退回构造主义数学划下的牢笼中，宣称关于实无穷的理论是虚构的。

抑或退回形式主义的避难所（如科恩本人以及许多意识到这个问题的数学家）。

而根据之前的分析，并不存在彻底的形式主义，所谓的形式主义总是某种意义上的构造主义。

哥德尔第一不完备定理：

任何一个相容的公理体系，必定是不完备的。其

中一定有真命题，但不能被证明。

哥德尔第二不完备定理：

任何相容的公里体系不能证明它本身的相容性。

For any compotable acomatic sremrhat is powerful enough to desctibe the arutheetc of the natural rumbersiea the Pearo aiooms or ZFC

正是在这里，哥德尔宣称要为集合论（也即数学）寻找新的公理以判定诸如连续统假设这样的独立命题：“不仅今天人们所知的集合论公理系统是不完全的，而且能够以确定的方式补充新的公理，这些新公理不过是我们一直在用的公理的自然延续。”

这就是所谓的“哥德尔纲领”。

关于哥德尔纲领历史及有关研究现状的更详细的介绍可以参见郝兆宽的《哥德尔纲领》。

在下一节中，我们将分析武丁计划对哥德尔纲领的实践及其遇到的困难。

三、武丁计划

郝兆宽教授在《哥德尔纲领》一书中写道：

“本书的一个主要论题就是：集合论已经发展到了这样的阶段，我们有可能面临着哥德尔纲领的彻底实现。”

注意，由于版本（1）的哥德尔纲领不存在所谓的彻底实现，郝兆宽教授所主张的必须是某种版本（2）的哥德尔纲领。

而这里的彻底实现指的是武丁（W.HughWoodin）关于终极L的研究计划。

哥德尔在预言了连续统假设的独立性后就提议通过比不可达基数或玛洛(马洛)基数更强的大基数公理来判定连续统假设问题。

然而，科恩的方法适用于包含任何已知大基数的公理系统。

单凭大基数公理是无法判定连续统假设的。

以武丁和斯蒂尔为代表的加州学派的一项长期的研究计划是通过内模型理论为大基数公理的一致性提供佐证。

这些大基数的内模型（例如包含一个可测基数的模型L[U]）具有凝聚性（Condensation）等良好的性质，使其在力迫扩张中保持绝对。

因而力迫法无法证明某个命题独立于诸如“ZF+V=L[U]+LCA”的公理系统，其中“V=L[U]”表示集合论宇宙就是这个内模型，LCA表示相应的大基数公理。

问题是，对应更强大基数的内模型极难构造，往往对应某个大基数的内模型可证地不含有更强的大基数。

更强的大基数意味着更强的解释力，实在论者希望公理系统包含更强的大基数从而不会在解释力上有所损失。

而武丁证明了一旦我们找到超紧致基数的内模型，那么它将自动成为所有通过类似方式定义的大基数的内模型——终极-L。

由此，“ZF+V=终极-L+LCA”就成为一系列免疫于力迫法独立性证明的“经验完全的”公理系统了。

注意，我们无法定义什么是大基数公理，否则我们总可以找到比“所有大基数存在”更强的大基数性质。

武丁计划就是找到终极-L的刻画。

由此，我们只需要通过加强大基数公理这一相对明确的路径，就可以判定几乎所有数学命题，除非有本质上不同于力迫法和哥德尔不完全性定理的新的独立性证明方法出现。

武丁的计划的确令人激动。

它几乎完美地对应了版本（2.2）的哥德尔纲领的要求。

然而，即使作为哥德尔纲领实践者的武丁的亲密盟友如斯蒂尔、冯琦等学者对武丁的终极-L计划的可能结果往往持保留意见：它或将遭受挫折，或即使成功也不会是一个“终结”。

他们的理由很简单，正如波斯特所说的，数学是不会终结的。

显然，这些学者主张的是版本（1）的哥德尔纲领。

由于人们可能在关于哥德尔析取式采取不同立场的情况下支持版本（1）的纲领，我们很难确定他们是否持有与哥德尔同样乐观的立场。

而我们几乎可以确定武丁与郝兆宽持有与哥德尔相当甚至更强的乐观立场。

结论

事实上，真正乐观的理性主义者总是试图给出强而清晰的论断，它们足够清晰以至于是可以被证明为错的，它们也几乎全部被证明是错的。

弗雷格、希尔伯特、甚至哥德尔（寄希望于更强的大基数公理解决连续统假设问题而被科恩的方法证明为不可能的）概莫能外。

然而，正是这些清晰明确的立场以及围绕它们的工作，甚至对它们的否定，增加了人类对数学世界的认识。

而另一方面，对理性的乐观不应盲目以至于无视一些已知的结果。

正如哥德尔面对不完全性定理得出的析取式，它告诉我们不存在有穷信息的公理系统能把握全部客观数学。

如果科恩以后的集合论研究一再提示我们关于连续统假设的认识可能是不收敛的，更符合理性主义的选择或许是跟随王浩的建议：“正视我们所知的（doing justice to what we know）”。

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