Schroder-Bernsteri（S-B）定理

S – B Schroder – Bernstein 定理大概是说：若有单射f：A → B和单射g：B → A，我们可以构造出双射h：A → B，具体的想法是，既然每个单射在自己的定义域和值域上都是双射，我们可以把A分成不交的两部分，一部分用f映过去，记为E，将A – E用g⁻¹映过去，这样就得到了双射h，为了得到这样的E，我们首先观察到A – E＝g(B – f(E))，即 E＝A – g(B – f(E))，则问题等价于寻找映射

H：ℙ(A) → ℙ(A)，X ↦ A – g(B – f(X))的不动点，对于形如H：ℙ(A) → ℙ(A)，的映射，我们怎样找到它的不动点呢？事实上我们有如下定理：

定理1.0：对于形如P：ℙ(A) → ℙ(A)的映射，如果它满足：若X ⊂ Y则P(X) ⊂ P(Y)，那么它有不动点。

证明：我们取所有Ⅹ ⊂ P(X)的元素X组成的集合，记为S，容易证明∪S是S的⊂ – 上确界，记为α对任意s ∈ S，我们有s ⊂ P(s) ⊂ P(α)，故P(α)是S的一上界，我们有α ⊂ P(α)，于是P(α) ⊂ P(P(α))，我们有P(α) ∈ S，因此P(α) ⊂ α\易知映射[公式]满足定理条件，存在不动点，这就证明了S-B定理。 通过类似的论证我们可以证明一个更一般的定理:

定理1.1（Banach映射分解）：若有映射f：A → B和映射g：B → A，

─ ─

则存在分解A＝X∪X，B＝Y∪Y，使得

─ ─ ─

f(X)＝Y，g(Y)＝X，且X∩X＝∅，

─

Y∩Y＝∅ 证明思路同样是寻找h：X ↦ A – g(B – f(X))的不动点

以下将 Schroder-Bernsteri 定理简记作S-B 定理，此定理对集合基数的比较及证明集合之间的等势起很大的作用.

【例5.6】设 A，B，C 为三个集合，若A⊆B⊆C，且 A≈C，证明 A≈B≈C.

证明 由于 A⊆B⊆C 且 A≈C，由定理5.7的推论可知，A ≤ • B且B ≤ • A，由S-B定理可知A≈B，又由定理5.3可知，A≈B≈C.

定理 5.13 R≈(N→2)，其中 N→2＝2ᴺ.

证明 由 S-B 定理，只需证明 R ≤ • (N→2) 且(N→2)≤ • R.

（1）先证R ≤ • (N→2)，又只需证明(0．1) ≤ • (N→2).为此构造函数 H；(0．1)→(N→2).对于∀z∈(0．1). z 表示二进制无限小数（注意表示法的惟一性)，H(z)：N→〈0．1〉．且∀n∈N，取 H(z)(n)为z的第(n＋1)位小数.

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