数学Borel集

“实数集中的Borel集全体的势为连续统势”这一论断是否蕴含“实数集存在一个不可测子集”？

神奇，这个问题让我发现了选择公理研究中两本经典参考读物的错误。首先回答题主的问题：“实数集中的Borel集全体的势为连续统势”这一论断的确蕴涵“实数集存在一个不可测子集”，证明放在最后。

但我想先指出的一点是，按照现代选择公理蕴涵关系的标准参考读物的说法，这个蕴涵关系是不成立的。下面说原因。

在Paul Howard的Consequences of the Axiom of Choice中，给出的蕴涵关系是Form 43（也就是Axiom of Dependent Choice, DC）蕴涵Form 363（“Borel集的集合与实数集自身等势”）

386 PART V: REFERENCES FOR RELATIONS BETWEEN FORMS

361 358 (3) note 18 (N2T)

363 358 (3) note 18 (N2T)

8 360 (1) clear

8 361 (1) G.Moore [1982] p 325

0 362 (7) This project

361 362 (1) G. Moore [1982] p 325

43 363 (1) G. Moore [1982] p 325

它引用的文献是Moore的Zermelo's Axiom of Choice，其中第325页不加引用地断言了这个蕴涵关系

Table 4. Deductive Relations Concerning the Denumerable Axiom of Choice and the Principle of Dependent Choices

Axiom of Choice

⇟

For every x，Cℵˢ

↙

Cℵˢ⇟

↛Principle of Dependent Choices (1.1.2)

↓

In ℝ， there are exactly 2ℵ₀ Borel sets.

↓

(2.3.4) In ℝ. there is a measurable set

that is Borel set.

Cℵ¹ m ≤ ℵ₁ or ℵ₁ ≤ m

↓ ↓

↛↛Principle of Dependent Choices (1.1.2)

↓

Lōwenheim-Skolem Theorem

↛ℵ₁ ≤ 2 ℵ₀

→Kōnig’s Infinity Lemma (4.5.6)

→Urysohn’s Lemma (4.6.6)

Principle of Dependent Choices (1.1.2)

↓

(1.6.6) If (M，＜) has no

subset of type *ω， then

it is a well-ordering.

↕

(4.1.18) If (M，＜) has no last element，then it has a subset of type ω.

↛There is a non-measurable subset of ℝ.

↛There is a subset of ℝ without the Baire property

↛Cℵ₀

↛2.5.6) There is an

所以在例如说Solovay模型中，DC成立，那么按照参考书的说法题主的命题也成立，然而在该模型里所有实数集都可测，所以“实数集中的Borel集全体的势为连续统势”并不蕴涵“实数集存在一个不可测子集”。

然而参考书这次说错了。DC蕴涵的仅仅是“存在一个ℝ 到全体Borel集的满射”，它并不蕴涵两者之间存在双射。这是因为如果存在一个ℝ 跟全体Borel集之间的双射，那么特别地 [ℝ]ℕ：＝{X ⊆ ℝ│X }可以被线序化。而这样一个线序的存在蕴涵不可测集的存在，具体证明在下面这篇回答里有写

大致思路就是（这是Sierpinski上世纪初的结果），如果([ℝ]ℕ，⪯) 是线序，那么 ⪯ 也线序化Vitali等价类的集合，那么此时 A：＝{x∈ℝ│[x]~⪯ [–x]~} 就是一个在有理数距离移动下不变的集合，所以它满足0-1律，特别地它在 [–1，1] 上的测度要么是0要么是2，然而 i：x ↦ –x 是 A 和 Aᶜ（除掉有理数后的） 保测双射，所以两者不能等测度，矛盾。

也就是说，“实数集中的Borel集全体的势为连续统势”蕴涵“Vitali等价类能被线序”，而后者蕴涵“实数集存在一个不可测子集”

最后说一下平时“实数集中的Borel集全体的势为连续统势”的证明哪里用了选择公理。在采纳ZFC为集合论公理的实分析/测度论教材中，我们计算有多少个Borel集时，通常采取的方案是把Borel集的全体看作是从开集出发，在ω₁ 步下完成的一个构造结果，然后再将这个构造中的每一层大小都计算为 2ℵ₀ ，使得整个构造结果的势是 ω₁ × 2ℵ₀＝2ℵ₀。（虽然这个等式本身就依赖于选择公理，但是下文我们会看到更加关键地依赖选择公理的地方）

之所以每一层的大小都能被计算为2ℵ₀ ，是因为每一个Borel集都存在一个“我是从哪些基本开集出发，在什么时候取交、并、补”的这样一个递归描述（在集合论里称之为Borel编码，Borel code），而每一个这样的描述都对应着一个实数（在集合论里是把这样的描述看作一个良基树，即一个可数对象；不过出于理解方便可以把这样的描述看作对应的ASCII码然后把这串码接在"0. "的后面），所以每个Borel集都对应着一个实数。

上一段黑体字就是需要用到选择公理才能推进的一步：每个Borel集都对应着不止一个这样的描述，所以每个Borel集实际上有无穷个Borel编码，而我们需要用选择公理才能对每个Borel集固定选择一个Borel编码，以此得出每个Borel集都对应着一个实数。这种“从满射推出单射”形式的选择原则往往都是挺强的选择公理形式。

更退一步，甚至需要可数选择公理才能证明“有Borel编码的集合=Borel σ-代数里面的集合”。这是因为如果比如说你有可数个Borel集，然后它们要并在一起得到一个新的Borel集，我们递归地通过那可数个Borel集的编码来构造出一个新的编码，然而同样的问题仍然存在，那就是这可数个Borel集各自有无穷个Borel编码，所以你也必须得做出可数无穷次选择才能给它们各自选一个固定的编码，才能继续下去构造它们的并的编码。

例如在可数选择公理失效的Levy-Feferman模型中，实数集是可数个可数集合的并集，那么Borel σ-代数里就包含了所有的实数子集。此时我们仍然能讨论“存在Borel编码的集合”[1]，这个仍然是一个大小为 2ℵ₀ 的集合，只不过此时它就不跟Borel σ-代数重合了。

参考

1. 在那本3000多页的“测度论圣经”，Fremlin的Measure Theory第五卷中，毫无任何选择公理的测度论就是在这个框架下发展的。即我们不再讨论Borel集，而是考虑Borel编码，把“某某Borel集如何如何”这类命题全都翻译成“某某Borel编码如何如何”这样的命题

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