数学哲学译文丨娄型论哲学

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应用准则与同一性准则 ▹

类型信条 ▹

同一性概念的范畴依赖 ▹

原文是Per Martin-Lof 1993年秋季在莱顿大学做的12次讲座的几乎完整记录。

什么是类型？

在这里，我自然是用一种根深蒂固于我们语言的表达方式来阐述自己的想法，以至于人们常常忽略了这种方式本身。我指的是，这就是古老的苏格拉底式的提问方法，「什么是？」这是希腊语的 τί ἐστι(ν)，后面接善、美德或任何你要问的东西。在这里，我问的是类型：什么是类型？

这是提出这类问题的古老方式，幸运的是，它至今仍然行之有效，它与任何更现代的语义解释方法一样好用。当然，我们也可以用一种更语言学的方式来表达同样的问题，即改问「作为一个类型意味着什么？」也许更明确的表述是，「形如α：type 的判断意味着什么？」（示意字母或示意变量完全可以用三个点或任何你想要的记号来替代，而不改变其意义，. . . ：type）。这个问题还可以有多种其他的表述方式，但就我们接下来的讨论而言，这已经足够了。

应用准则与同一性准则

什么是类型？在我看来，最简单的答案是，一个类型由两个方面来定义：一是作为该类型的对象意味着什么，二是该类型的两个对象相同意味着什么。因此，对类型的解释包括两个部分：第一部分说明作为该类型的对象意味着什么，或者说是什么；第二部分说明该类型的两个对象相同意味着什么，或者说是什么。对于第一部分，达米特在其弗雷格著作中引入了一个自然的术语，即应用准则 (criterion of application)——即一般概念（这里称为类型）适用于某物的准则。解释的第二部分，即阐明该类型的两个对象相同意味着什么，自然地被称为与该类型相关的同一性准则 (criterion of identity)。术语「同一性准则」来自弗雷格的《算术基础》，但那只是一个术语。由于弗雷格没有将对象分层 (stratified) 为不同的类型，而只有一个包罗万象的所有对象 (Gegenstände) 的万能 (universal) 类型，因此他只有一个宇宙意义上的同一性概念，即那个宇宙上的同一性关系，从而无需指明同一的是什么：同一的集合、同一的数、同一的函数或任何东西。他只能说两个事物是同一的，因为在他那里只有一种事物的类型。

我已经强调了同一性准则的重要性，也就是说，阐明两个对象何时相同是类型定义的一部分。在最近的哲学讨论中，清晰的同一性准则的必要性得到了强调，我认为最突出的是蒯因在「论对象」(Speaking of objects) 一文中提出的观点，他使用了口号

无同一性，无实体

这个原则当然是正确的，但仔细想想，你会意识到它实际上是通过两个步骤得出的结论。第一步是我们可以称之为类型信条的

无类型，无实体

也就是说，如果我们有任何实体或对象，它总是某种类型的对象。另一方面，正如我刚才所说，类型的定义中理应包含同一性准则，因此

无同一性，无类型

我在这里并没有真正谈到类型信条，所以讲述的顺序可能不太合适。那么，所有类型理论的基本思想是什么呢？其实，它非常简单。在数学中，我们当然要处理数学对象，例如自然数、整数、有理数、实数、复数、解析函数、群和向量空间、流形等等，大量的数学对象。从这些表述中你可以听出，我们从来不会仅仅谈论一个对象，一个单纯的对象。一个对象，特别是一个数学对象，总是某种东西：它要么是自然数，要么是实数，要么是解析函数，或者其他任何东西。它总是某种东西，而它所是的那种东西，就是我们所说的它的类型。因此，每当我们有一个对象时，它总是某种东西，也就是某种类型的对象。这就是所有类型理论的基本思想。我认为，如果你观察我们通常的表达方式，这个想法会显得非常可信。我们从来没有遇到过这样一种情况：我们面前有一个对象，在黑板上或其他任何地方，它只是一个对象，而我们不知道它是何种对象。

在这段非正式讨论的最后一句中，我使用了另一个词，即「种类」(kind)：「它是何种对象」(what kind of object it is)。类型的概念是如此基本，以至于在自然语言或非技术语言中，我们已经有了一些简单的词自然而然地浮现在脑海中，如「种类」(kind) 或「类别」(sort)：一个对象总是属于某个种类，或类别，等等。正是对于这种种类或类别，罗素引入了技术术语「类型」，这在某种意义上是不幸的，因为「类型」一词已经有了一个明确的含义，特别是在哲学和逻辑学中，由于皮尔士引入了类型/符号 (type/token) 的术语。皮尔士肯定是在通常意义上使用这个词的，即类型与形状或形式同义，而与具有该形状或形式的各种实例（各种具有该形状或形式的个体表达）相对。罗素在这里以一种新的意义使用「类型」一词，不同于传统意义。考虑到类型概念的基本性，无法想象传统中没有一个词来表示我们这里所说的类型，而且不难找出这个词：大家可能都知道，传统上表示我在这里所说的类型的词是「范畴」(category)，这个词是亚里士多德引入并被康德大量使用的。休息之后，我将展示传统上使用的这个词与我在这里使用的方式是完全一致的。

类型信条

我所说的类型信条，即对象总是某种类型的对象，实际上可以追溯到亚里士多德。如果你考虑他在哲学词典（即《形而上学》(1017a22-23) 的∆卷）中对存在概念的讨论，你会发现他说

本质存在的意义是由谓词的各种形式所指示的，

The senses of essential being are those which are indicated by the figures of predication，

其中「谓词的各种形式」(the figures of predication)，原文是 τά σχήματα τῆς κατηγοριάς，即范畴形式 (the categorical schemes)。亚里士多德使用的「形式 」(σχήμα) 一词最接近于我们使用的「形式」(forms)。例如，我曾谈到逻辑系统的判断形式 (the forms of judgement) 和推理形式 (the forms of inference)，在这两种情况下，希腊语中都使用了「σχήμα」一词：三段论的形式 (the syllogistic schemes) 和这里的范畴形式 (the categorical schemes)，也就是我所说的判断形式 (the forms of judgement)。

这句话继续说

存在有多少种谓述方式，就有多少种意义，

for being has as many senses as there are ways of predication，

而谓述方式正是范畴。

亚里士多德在这段引文中想要表达什么？术语「存在」(being) 当然是模棱两可的，多义的，有许多完全不同的意义。亚里士多德说，即使你只关注作为系动词使用的动词「作为」(to be)——当你说S 是 P ，或用我使用的符号表示为 α：α ——它仍然有多少种谓述方式就有多少种意义。因此，判断「S 是 P 」不能分析为

(S) is (P)

其中你有两个内容，S 和 P ，它们有各自的意义，然后你有一个来自系动词「是」(is) 的统一意义贡献。这恰恰不是真的。相反，我们必须将其分析为

(S) is P

我们在这个判断中只有一个位置，由主语[公式] 填充。对于每个 P ，判断形式都有不同的意义，所以我们不能说「是」(is) 本身意味着什么，但我们可以说对于任意固定的谓词或范畴 P 「作为 P 」(to be P ) 意味着什么。你必须记住，「范畴」(category) 一词来自动词「κατηγορεῖν」，即「谓述」(predicate)。亚里士多德在许多地方谈到存在的范畴 (categories of being)，而正是这里「存在」(being)的概念，即「作为 P 而存在」(being a P )，是被范畴化的。

在康德那里，特别是在《纯粹理性批判》中，范畴概念当然占据了中心地位，康德的「范畴」(Kategorie) 与「纯粹知性概念」(reiner Verstandesbegriff) 是同义的。除了「知性概念」，有时你可以看到他使用「知性形式」(Verstandesform)，还有「知性功能」(Verstandesfunktion) 这个词偶尔也会使用——虽然不太恰当，但使用频率也较低——有时你还可以看到「思想形式」(Gedankenform)。这里的「形式」对应于亚里士多德的「形式」(σχήμα)。康德的范畴概念也与我在这里使用的类型概念一致，这一点从康德得出范畴的独特方式就可以清楚地看出，他只是考察了当时逻辑学中的判断形式，并从判断形式中提取出他的范畴。正如你所看到的，按照我在这里使用「类型」或「范畴」一词的方式，它就是一种判断形式：即「[公式] 是一个 α 」的判断形式。

因此，在传统哲学中用于表示类型的词完全明确是「范畴」，那么为什么不在哲学语境中使用「范畴」一词呢？当然，这里有一个问题，因为这些逻辑系统被称为类型论 (type theory)，如果我们将类型改为范畴，那么我们就得到了范畴论 (category theory)，这也是桑德斯·麦克莱恩 (Saunders Mac Lane) 在此期间发明的一个代数分支的名称。他从康德那里借用了「范畴」一词，从卡尔纳普那里借用了「函子」(functor) 一词，认为这样做是安全的，可以这么说，因为他认为这些哲学家不可能再提供任何有生命力的东西。因此，人们可以放心地从他们那里借用这些术语，并将其用于一些有益的用途，而他就是这样做的。不幸的是，我们仍然需要「范畴」一词的原始哲学意义，在这里我们可以选择使用「类型」一词，但可以肯定的是，「范畴」确实是更为恰当的词。

同一性概念的范畴依赖

以上就是关于范畴定义的第一部分，即应用准则 (criterion of application)。第二部分是同一性准则 (criterion of identity)——我已经提到了蒯因的格言，但真正将同一性概念的范畴依赖性问题凸显出来的是吉奇 (Geach)，他在1962年的《指称与一般性》(Reference and Generality) 以及1967年的一篇名为「同一性」(Identity) 的文章中讨论了这个问题。在《指称与一般性》中，吉奇说，

我认为，如果我们不添加或理解某个一般性术语——『同一个F 』，就判断事物是否『相同』，或者一个事物是否保持『相同』，是没有意义的。我们据以判断同一性是否成立的那个东西，我称之为同一性准则。

吉奇的观点是，我们不应该只是说α 与 b 相同，而是要说， α 与 b 是相同的 F ，这样同一性陈述才有意义。在1967年的后一篇文章「同一性」中，他用以下方式表达了同样的想法：

我主张同一性是相对的。当一个人说「x 与 y 是同一的」，我认为，这是一个不完整的表达；它是「 x 与 y 是相同的 A 」的简称，其中「 A 」代表从话语的语境中理解的某个可数名词，

在这段引文的第一句话中，吉奇说他正在为同一性是相对的这一论点辩护，因此这种同一性概念被称为相对同一性 (relative identity)：它是相对于范畴或种类而言的，因此也经常被称为种类同一性 (sortal identity)。

现在，当你开始研究这个想法时——同一性概念必须属于范畴定义的这一洞见无疑是非常重要的，这是我首次在达米特的弗雷格著作中遇到的——人们当然会怀疑，如果这个概念如此基本，那么它是否实际上在更早的时期就已经存在？我认为在现代逻辑中找不到这一点，原因就是我刚才给出的，即弗雷格有他的所有对象的万能 (universal) 类型和其上的同一性关系，这是他唯一可以接触到的同一性。另一方面，如果你仔细研究亚里士多德的《形而上学》，你会发现同一性的范畴相对性在那里已经被阐述了。这也是在∆卷中，但现在的段落是在1018a35-39，

一和存在有各种意义，

也就是说，取决于范畴。存在我已经讨论过了，「一」也是一样的：如果你问「一」是什么意思，反问就是，「一个什么？」一个苹果，一个橙子或任何东西——它总是一个什么东西。所以亚里士多德说，

既然一和存在有各种意义，所有其他与一和存在相关的术语必须随之变化其意义，因此相同、

就是这里

相异和相反也必须如此变化，并且必须根据每一个范畴有一个单独的意义。

所以他本人在这里使用了「范畴」这个词。在洛克的《人类理解论》第二卷（观念篇）第27章第7节中，你也可以找到同一性概念的这种范畴相对性——这一章讨论的是同一性和差异性——洛克说

因此，不是实体的统一性包含了所有种类的同一性，或者在每种情况下都能确定同一性：但要正确地理解和判断它，

指同一性

我们必须考虑它所适用的词所代表的观念：如果人格、人和实体是代表三种不同观念的三个名称，那么作为同一实体、同一个人和同一人格是三回事；因为属于那个名称的观念是什么，同一性就必须是什么。

这里唯一的区别是，洛克使用「观念」(idea) 一词，而不是「范畴」。

这就是我关于同一性概念的范畴相对性所要说的内容。现在回想一下我们之前讨论的地方：我已经定义了类型的概念，并要求同一性准则必须使其所定义的同一性关系满足自反性、对称性和传递性。在表述这些规则时，我忘记说它们是我写下的第一批推理规则。为什么这些规则是有效的？显然，因为它们是类型定义的一部分，所以它们是有效的，因此它们的有效性纯粹是出于概念上的原因。

在继续讨论下一种判断形式之前，我应该说一说「准则」(criterion) 这个词。达米特提出了「应用准则」(criterion of application) 这个术语，而我们从弗雷格那里得到了「同一性准则」(criterion of identity) 这个术语。在这里，我认为「准则」一词的使用绝对完美。准则提供的是对相关判断形式的意义的解释，也就是说，它给出了你有权做出该形式判断的标准。这里的「准则」一词来自希腊语动词「κρίvνειν」(判断)，而「κριτήριον」正是你据以做出判断的标准。因此，用「准则」一词来表示与特定判断形式相关的语义解释，再合适不过了：它是做出该形式判断的标准。我们也可以优先使用「准则」一词，而不是「条件」。我的意思是，我们通常会说「断言条件」或「判断条件」，但「判断准则」似乎更好。

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