集合论及其发展历程

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康托尔三分集

集合论及其发展历程

一个关于无限集合元素问题：无理数集与有理数集的元素个数一样多吗？这是一个无穷与无穷个数的比较，很多人会认为是一样多的（和小杨开始想的一样哈），因为同样是无穷，都是一样多的，而且无理数与有理数也是你中有我，我中有你的关系。但是无理数的个数却是远远多于有理数的，这是为什么呢？接下来要引出我们的主角——集合论，来解决这一问题。

集合论是什么？

集合论，顾名思义，就是与集合有关理论，同数论、群论的论的含义差不多吧！集合论，是基础性的数学分支，研究一般集合的大小、结构，集合之间的关系、各种运算，以及讨论集合的计数、排序的方法、建立各种无穷集合的理论，是数学中最基本的理论基础之一。作为其他数学分支的理论基础，例如高等概率的测度定义、实变函数论的基础——点集论、极限“ε-N”的集合表示等等，有着较为广泛的应用。集合论是近代数学发展的产物，经历了古典（朴素）集合论、公理集合论两个阶段的不断完善。

集合论发展历程：

古典集合论：说到古典集合论，我们不得不先介绍一下其背后贡献最大的数学家——康托尔（为数学而“疯”的数学家），他是古典集合论的创始人，完善了古典集合论的大部分基础理论，对于集合论的产生，占有举足轻重的地位。康托尔于1845年3月3日出生于俄国圣彼得堡，从小对数学有着浓厚的乐趣，1863年进入柏林大学，之后取得哈勒大学的教授职位，从此一直从事着集合论的创立工作。

黎曼于1854年在论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中提出函数的三角级数表示的唯一性问题，1870年，康托尔受邀海涅解决这一问题，他在1871-1872年间，逐步把三角级数展开的唯一性条件推广到允许例外值成为无穷的情况，认识到了无穷集合的重要性，这是集合论产生的一个直接原因。

1873年，康托尔在于戴金德的来信中，宣布证明了实数集是不可数的，这一年被称为集合论的诞生年。1874年，康托尔在论文中断言：所有实代数数的集合是可数的，所有实数的集合是不可数的，因此非代数数的超越数是存在的，而且远远多于代数数。康托尔的证明引起了许多数学家的反驳。但是康托尔冒着被称为“神经病”的称号，依然坚持着自己对于集合论的研究。

1878年，康托尔提出一一对应的概念，作为判断两个集合对等的充要条件。所谓以一一对应，可以理解为：两个集合的元素通过映射，可以建立满射关系，一一对应包含了集合元素基数（也称势，即元素个数）相等，这是研究无穷集合的一个重要概念。用阿列夫0代表自然数集的势，用c代表实数集的势，运用一一对应比较各种无穷集合的大小，其中，无穷集合与有限集合最大的区别在于：无穷集合可以与其子集建立一一对应关系，例如整数与偶数建立一一对应关系，两者的势是相等的。

1883年，康托尔证明了康托尔定理：任何集合的势都小于其幂集（由集合的子集组成的集合）的势，揭示了无穷有无穷多个层次。并且提出了著名的“连续统假设”：可数集的势与不可数集的势之间不存在其他势。因为实数轴上的数都是连续的，因此在实数范围内的集合的势，又称连续势。再来说一下关于可数集与不可数集的区别，可数集（又称可列集），一种最小的无穷集合，与自然数集对等的集合，都是可数集。不可数集，与实数集对等的集合，都是不可数集，例如实数轴上的区间、无理数集等等。在连续统假设下，实数范围内的不可数集的势，又称连续统基数，（例如实数集的势），因此，连续统基数是最小的不可数基数。

空集 可数集

有限集合 无限集合

有限集 不可数集

连续势下的集合的简单分类

1895—1897年，康托尔发表了题为《关于超穷集合论的基础》，给出了超限基数和序数的定义，定义了基数与序数的加法、乘法和乘方的运算，建立了集合论的基数理论和序数理论，自此，康托尔关于集合论的建立工作基本完成。

公理集合论：古典集合论建立之后，得到大多数数学家的肯定，从自然数到集合论可以建立起整个数学大厦，集合论成为了现代数学的基石。希尔伯特、庞加莱（当时的两位数学界的大家）曾在1900年的数学大会上高度赞扬（古典）集合论的重大影响，希尔伯特提出的著名的23个问题中，更是把连续统假设作为第一个问题，可见其对集合论的高度认可。读者读到这里，可能就会想了：既然古典集合论已经很完善，并且有着重要的数学地位，为什么还会有公理集合论的产生呢？

在数学的世界里，各种理论都是在不断完善发展的，集合论同样如此。尽管古典集合论解决了当时许多数学问题，但是经过数学家们的研究，古典集合论仍然存在着漏洞。

1903年，英国数学家罗素提出了著名的“理发师悖论”（规定只给不会给自己理发的理发师，到底该不该给自己理发），紧接着，各种悖论扑面而来，数学家们开始认识到古典集合论的巨大漏洞，间接引发了第三次数学危机。既然问题已经出现，就需要解决问题，数学家们纷纷需求解决方案，这就促使了数学家们用公理化方法和数理逻辑去重建集合论。1908年，策梅洛建立了第一个公理集合系统，经过弗伦迪克、冯诺依曼等人的补充，得到了策梅洛——弗伦迪克公理系统，简称ZF系统，加上选择公理后，又称ZFC系统，一直沿用至今。从该系统中，可以导出古典集合论中所有的结果，并且排除了罗素悖论等各种已知悖论。

另外，古典集合论中的连续统假设（CH）、选择公理（AC）在20世纪得到重大突破，1940年，哥德尔证明了CH、AC对于ZF系统的相容性。1963年，科恩证明了CH、AC相对于ZF系统的独立性，即连续统假设在该系统中无法证明，与平行公设不可证相同，也就是说，可以同时存在使CH成立与不成立的系统，正如欧式几何与非欧几何一样。哥德尔曾经提出著名的哥德尔不完备定理，打破了希尔伯特将数学公理化的愿望，任何兼容性的体系，无法用于证明它本身的兼容性。也就是说，在公理集合论中，总会存在属于该系统本身，却又无法用该系统去证明的定理、假设等。

THE END

回到开始的问题，简要说明无理数个数为什么远远多于有理数，这是因为，无理数集与实数集对等，有理数集与自然数集对等，对等的意思就是集合元素个数相等，实数集的势是远远大于自然数的势的。这就说明了无理数个数远远多于有理数。~~真的是这样耶！

最后，说一下，集合论的创立，对整个数学的发展，意义重大，这是无法用语言去描述的。

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