集合论语言

参考书籍：Folland，《Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications》(Second Edition)

首先我们规定一些数集的符号，对抽象代数有一定了解的同志都会知道其中有些构成域(field)，而有些只是环(ring)，说的是谁，数集们自己心里有数.

定义1.1——数系

ℕ：自然数集；ℤ：整数集；ℚ：有理数集；ℝ：实数集；ℂ：复数集.

现代数学符号体系一般是认为自然数集包括0的，但是本书规定不包括0.

关于归谬法，逆否命题的逻辑等价性，我们默认读者在中学已经熟知了. 下面介绍一些集合的基础概念.

首先，我们要知道集合是需要明确其定义的，不是你说它是集合就是集合的，比如所有的集合是否构成一个集合?当然不是了，这个问题史称Cantor假设.我们会在1.3解决这个问题.

事实上，读者只需要默认集合是一些特定对象构成的总体即可.多的咱也不说，读者其实在中学就接触过集合了.这个问题我们会在后面解决它.

我们规定空集(emptyset)的记号是∅，实际上百分之九十的数学书都是用这个记号，不过也有例外，比如Conway所著的复分析一书空集的记号是▢，这很令人难受.幸亏笔者仁慈，不打算令读者难受.

规定集合的所有子集(subset)构成的集合记为P(X)，称之为幂集(power set)：P(X)＝E：E ⊂ X

设

ε＝Eα：α ∈ A＝Eαα∈ᴀ

是一族集合，我们定义这族集合的并和交：

∪E＝{x：x ∈ E for some E ∈ ε}＝∪Eα

E∈ε α∈A

∩E＝{x：x ∈ E for αll E ∈ ε}＝∩Eα

E∈ε α∈A

读者当然学过微积分，(如果没学过当我撤回了)，微积分里我们有函数的上下极限，同样集合也是有的哦：

lim supEₙ＝x：x ∈ Eₙ for in finitely mαny

∞ ∞

n＝∩∪Eₙ

ₖ₌₁ ₙ₌ₖ

lim infEₙ＝x：x ∈ Eₙ for αll but finitely mαny

∞ ∞

n＝∩∪Eₙ

ₖ₌₁ ₙ₌ₖ

接着介绍集合的差，设E和F是两个记号，我们记

E\F＝{x：x ∈ E αnd x ∉ F}

称为集合E和F的差，有时候也记为E – F；相应有对称差的概念(读者不妨画个图)：

EΔF＝(E\F)∪(F\E)

我们有时候讨论问题局限在一个"全空间"之中，比如讨论实数轴上的数列时候，全空间就是ℝ，那么其与子集的差就可以简称为这个子集的补集；更一般地，设X是一个全空间，其子集E在X中的补集Eᶜ就是：Eᶜ＝X – E

此外，我们有DeMorgan定律(You should verify it!)：

(∪Eα)ᶜ＝∩Eᶜα (∩Eα)ᶜ＝∪Eᶜα

α∈A α∈A α∈A α∈A

跳一大段，来介绍关系(relation)，注意这个是数学意义上的关系，不是我们日常被别人踩了脚然后说的"没关系"的那个关系.

设X和Y是集合，定义X × Y为两个集合的卡氏积(Cartesian product)：

X × Y＝{(x，y)：x ∈ X，y ∈ Y}

所谓关系就是X × Y的一个子集.如果(x，y) ∈ R，我们记xRy.有三种重要的关系类型：

1.等价关系(equivalence relation)：集合X上的等价关系R是指满足自反性(xRx，∀x ∈ X)，反身性(xRy ⇔ yRx)，传递性(xRy，yRz ⇒ xRz)的关系；

2.序(ordering)，我们在下一节介绍；

3.映射(mapping)，这一点是我们可能不太习惯的，但是仔细想映射就是一种关系，只不过是要求了某种唯一性(哪一种?)的关系，而且将xRy记为了y＝f(x).

既然引出了映射，我们默认读者熟知了映射的复合(composition)，映射的像(image)和逆像(inverse image).我们需要强调的是映射的逆像保持了集合运算的特殊性质(You should verify it!)：

f⁻¹(∪Eα)＝∪f⁻¹(Eα)， f⁻¹(∩Eα)＝∩f⁻¹(Eα)

α∈A α∈A α∈A α∈A

f⁻¹(Eᶜ)＝(f⁻¹(E))ᶜ.

这个性质非常有用，它为今后说明在某些条件下，逆像是满足某些特殊代数结构的集合提供了有力的工具(这句话不懂也没关系)，请仔细铭记.

在保持集合运算方面，直像相比其逆像就要差一些：

f (A∩B) ⊂ f (A) ∩ f (B)

f(A)\f(B) ⊂ f (A\B)

请读者自行验证并举例说明"不等号"的缘由.

另外我们默认读者熟知定义域(domain)，满射(surjective)，单射(injective)，双射(bijective)，逆映射(inverse).注意逆映射是在映射是双射时存在，比逆像要"强"，二者不完全一致.

一个有趣的问题是"直像"与"逆像"的复合运算的问题，即f(f⁻¹(B))＝B，f⁻¹(f(A))＝A，等号在什么情况下成立?匡继昌先生的著作——《实变函数与泛函分析绪论》一书中特别提到过这个问题,并且提到有数学家撰写的书籍对这个问题的认识是错误的，有兴趣的读者可以去看一下.事实上，很容易举例看出：

f(f⁻¹ (B)) ⊂ B (f is not surjectiυe)

f⁻¹(f (A)) ⊃ A (f is not injectiυe)

序列是特殊的映射，我们就不讲具体了.

最后来推广一下卡氏积，将有限的推广到无限(如果你知道可数的意义的话，那么这里的无限不止于可数).设

{Xα}α∈A

是一族集合，它们的卡氏积∏Xα是：

α∈A

∏ Xα＝{f│f：A → ∪ Xα，f (α) ∈ Xα}

α∈A α∈A

事实上这个定义，在有限情形下，比如A＝{1，2}时，和我们之前定义的卡氏积在集合意义下其实是不一样的，但是对于数学的研究来说其作用又是等价或者说一致的，所以可以视为一样一样的.

设X＝∏ Xα，我们定义第α个投影

α∈A

(projection)，或者说坐标映射(coordinate map)πα：X → Xα为πα(f)＝f(α).我们也经常用x和xα分别代替f和fα.

如果Xα全部都是Y，我们记∏ Xα为Yᴬ，

α∈A

其意义是不言而喻的.当A是有限集，比如说A＝{1，2，· · ·，n}，Y为ℝ或者ℂ，就是我们常用的实空间和复空间.

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