数学思想【现代语言】——集合论

目录

朴素集合论 ▹

康托尔的集合定义(Cantor，1874)：▹

朴素集合论与第三次数学危机 ▹

公理化集合论 ▹

集合论的基础地位 ▹

集合论作为语言工具 ▹

• 集合论的思想发展

• 集合论的基础地位

• 集合论作为语言工具

集合论是关于集合的数学理论,现已发展成为数学基础的一个分支。

集合论被称为是“数学的基础结构”（布尔巴基学派），它在现代数学中扮演着中心和基础的角色。

今天，数学家眼中的“集合论”有不同的含义：

“数学的一个分支”——公理化集合论；

一种基本的应用工具和方法——朴素集合论；

集合论最初是用“朴素”或者“直觉”的方法来进行研究 的，这被称为“朴素集合论” （ “naive set theory ” or “intuitive set theory ” ）； 由于朴素集合论允许我们不加限制地对集合施加任意 的操作，这导致集合悖论被发现，如“罗素悖论” （Russell‘s paradox）； 为了解决这个问题，集合论不得不重新建构，其中最重要的解决方法是把集合论建立在公理化的基础上， 这被称为“公理化集合论”。 （Axiomatic set theory ）

朴素集合论

集合论发轫于分析的严密化运动。十九世纪后期，因追寻实数 的坚实基础及突变函数性质研究的需要，孤立地研究实数轴上某个点或某个数的方式被代之以将各点联系在一起作为整体研究。这就形成了能把握实数的精确结构及性质的“点集论”。德国数学家康托尔（Georg Cantor）是集合论的创立者。1872 年，他在《数学年鉴》上发表的论文引进极限点、导集等概念， 从而奠定了“点集论” 的基础。1874年，他在《数学杂志》上又 发表了关于无穷集合理论的论文；此后发表的一系列论著进一步阐明了他的集合论思想。

康托尔在集合论上的主要贡献有：明确给出了集合的定义，以及集合的并、交等运算；提出无穷集的势等概念，通过一一对应关系建立了集合大小的比较原则，给出了无穷集的分类法；建立了基数和序数的理论；证明了超越数的存在；他所提出的连续统假设，至今未能获得圆满解决。

集合论的建立开辟了数学研究的一个全新领域，是数学发展的一个里程碑，它不仅回答了“什么是数” 、“什么是无限”这两个哲学家和数学家都迫切需要解决的问题，而且为数学奠定了坚实的基础，对整个现代数学结构产生了重大和深远的影响。

康托尔的集合论为数学分析建立了基础，据此，严格的实数理论建立起 来了：

• 集合论第一次把哲学中的无穷概念变成为精确数学研究的对象，把数学从潜无穷的观点转到实无穷的观点上来，树立了一种全新的数学传统。

• 集合论的创立标志着一个数学新时代的开始。在集合论刚建立的时候，集合论的重要性仅仅为少数几个数学家所赏识。然而在其进一步发展中，集合论渗透到了几乎所有的数学分支，对这些数学分支的发展有着深远的影响，还改变那些已经确立的理论的面貌。

• 集合论的思想导致了对数学基础更为深刻的分析，对数学概念之间的相互关系以及各种理论结构的探讨，对数学证明和数学理论证明方式的审查。

• 集合是抽象思维的产物。在集合论中，集合被用来表示抽象事物的聚集。而从认识论角度上看，集合本质上又可视为描述人脑对客观事物进行识别和分类的一种抽象方法。正是由于这种方法的普遍性，使得集合成为数学抽象最有力的工具。

康托尔的集合定义(Cantor,1874)：

• 从集合的定义来看，集合、元素都是泛指，或说是抽象的，因此，不仅数、点、形，世界的各种事物无不可以按某种属性或关系的比较加以类聚。数学可以舍弃这些类聚事物的质的规定性，而使用各元素的集合对不同事物群的结构共性给予抽象、概括。

• 从集合观点看，数学概念都可以看成集合，因此，数学概念都可以用集合来表述，用揭示概念外延的方式定义概念实际上就是给出集合的元素，用揭示概念内涵的方式定义概念实际上就是给出集合中元素所满足的性质。

• 不论哪一门数学，开宗明义，总得有自己的研究对象，这些研究对象就形成一个集合或一些集合。因此，每门数学都用得上集合论。

• 集合概念是对数学所研究的各种对象的抽象概括。把一般的集合作为现代数学的研究对象，就能将数学的各个不同领域统一起来，成为各个数学分支的基础，同时也极大地扩大了数学的范围。

因此，在现代数学里，研究对象就不再是数和形这两大传统、经典的研究领域，而是一般的集合、各种空间和流形。它们都能用集合和映射的概念统一起来， 已很难区分哪些属于数的范畴，哪些属于形的范畴。

同样地，超穷数也是抽象思维的产物。跟有穷数一样，超穷数也是从真实的集合中抽象出来的。

康托尔指出，集合的基数是两次抽象的结果：一次是从对象中抽去它们所具有的质的特性， 另一次则是抽去在对象之间所存在的次序关系；（良序）集合的序数则是一次抽象的结果，即是从对象中抽去了它们所具有的质的特性。

集合论的实无穷思想：集合论是实无穷观的产物，cantor 的实无穷思想是他创立集合论的关键。

无穷的问题自古以来在数学和哲学中占有特别重要的位置。

对于什么是无穷，历来有两种观点：

• “潜无穷”(potential infinity)：认为无穷是无限延伸 的且永远完成不了的一个过程。它认为“全体自然数”是不存在的，因为自然数是数不完的，即自然数的产生是个无穷无尽的过程，只有这个过程结束了，才能得到自然数的全体，但这个过程永不结束，因而无法得到自然数的全体。

• “实无穷”(actual infinity)：认为无穷是无限延伸或无限变化过程中可以自我完成的无限实体或无限整体。它认为“全体自然数”是存在的，因为每个自然数都是可以数到的，所以每个自然数都存在，既然每个自然数都存在，“全体自然数”当然存在。

自亚里士多德直至高斯，多数哲学家和数学家赞成“潜无穷”观点。特别是19世纪初，法国数学家柯西运用

“潜无穷”的观点创造性地提出了极限方法，并用这种思想方法解决了牛顿微积分中的矛盾，从而使得“潜无穷”在数学中占了统治地位。

集合论的建立引起了数学中无穷观的一场革命。康托尔认为，在数学中要完全排斥实无穷的概念是不可能的，实无穷必须肯定。很多最基本的数学概念，如一切正整数，圆周上的一切点等等，事实上都是实无穷的概念；关于极限理论，康托尔指出：它是建立在实数理论之上的，而实数理论的建立（无理数的引进）又必须以这样或那样的实无穷的概念为基础，例如，戴德金分割和康托尔的基本序列都是一种实无穷的概念。极限理论事实上也是建立在实无穷的概念之上。因此，承认作为变量的潜无穷，就必须承认实无穷。变量如能取无穷多个值，就必须有一个预先给定的、不能再变的取值域，而这个域就是一个实无穷。

康托尔的实无穷观点，肯定了无穷是某种完成了的确定的东西，是某种不但能有数学表示而且可用数来定义的东西。

• 把无穷看成完成了的确定东西的整体，从而构成集合。

• 康托尔在集合论中，对无穷概念作了精确的数学表述，揭示了无穷集合的本质特征：无穷集合的部分等势于整体。

• ”势“的概念的引入，使康托尔有了确定同一等级或者同一层次的无穷集合的尺度。实数不可数的证明揭示了实数连续统和有理数集之间实质性的差别，即实数集与有理数集是两个不同层次的无穷集。不同等级的无穷集合的发现，使康托尔对无穷的认识大大地加深。以往人们总认为只有有限才是可把握的、有层次的，而无限至多只是一个模糊的记号，现在康托尔却把无限象有限那样地分出了层次，使得它容易把握。

• 他特别是将超穷数定义为具有某种特征的无穷集合，对这些超穷数象自然数那样建立了它们的理论体系，使得无穷作为一个实体能比较大小和参与运算，从而成为数学的研究对象。

康托尔的无穷观集中反映了他的数学观：数学的本质不在于它与经验世界的联系，而在于数学思维的自由性。

他引进了两种真实性的概念。

“内在真实性”指数学对象在逻辑上的相容性“外部真实性”指数学对象所具有的客观实在性；他认为，数学对象的两种真实性事实上是一致的，一个概念如果具有“内在真实性”就必然具有“外部真实性”。因此，对数学家来说，就只须考虑数学对象的“内在真实性”即逻辑上的相容性，而无须考虑它们的客观内容。从而在数学对象的创造中，数学家具有充分的自由。这正是现代数学的一个特征。

朴素集合论与第三次数学危机

十九世纪末提出的集合概念，后来被证明为数学中最基本、最有用的观点之一，集合论成为现代数学的理论基础。借助集合论，严格的实数理论和极限理论都可以建立起来，“……数学已被算术化了。现在我们可以说，完全的严格性已经达到了”。（庞加莱 Poincare，1900年巴黎国际数学大会）数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。但不久人们就发现，从Cantor的朴素集合论中可引出一系列悖论。由于集合论在整个数学理论中的基础地位，集合论悖论的发现使人们对整个数学理论的正确性产生了怀疑。更重要的是，由于引出悖论的方式又与集合论中以至一般数学中一些最常用的论证模式并无不同，数学推理的严密可靠性也被怀疑了，从而触发了数学史上的第三次危机。

关于”悖论产生的原因及数学推理的本质是什么“的大辩论，促使一个新的领域——数学基础于20世纪初形

成发展起来。在这场大论战中，逐渐形成了以为罗素 (Russell)代表的逻辑主义，以布劳威尔(Brouwer)为代表的直觉主义和以希尔伯特(Hilbert)为代表的形式主义三个学派。

“罗素悖论”（Russell‘s paradox）

广义的悖论（paradox ），也叫佯谬，它指的是“它是当从显而易见的前提出发，导致一个矛盾而产生的。广义地说，当结论并不是一个矛盾，但它与一般观念或直观知识激烈冲突时，即为悖论。”数学悖论，指的是一种导致逻辑矛盾的命题。

罗素悖论是集合论悖论中最有名的一个，由罗素1901年提出，它说明了Cantor的集合论是自相矛盾的。罗素悖论从集合论的基本概念着手，它如此清晰，几乎没有辩驳的余地。这样，连同无限集合是否合法一起，Cantor的方法和演绎是否有效的问题再次被提出来了。

罗素把所有不含有自身的集合构造为一个新的集合S。形式地，S:= {A: A∉A} （∗）现在问S是否含有自身？（即S∈S ？S∉S）若S∈S，那么根据S的定义(∗)，S不是S定义（∗）中的A，即S∉S，得到矛盾；若S∉S，那么根据S的定义(∗)，S是S定义（∗）中的A，从而S∈S，同样矛盾；即不管是S∈S 还是S∉S都会导致矛盾，即出现了悖论。

罗素悖论有很多接近现实生活的一些版本，它们对普通人（non-logicians ）来讲更容易理解一些。罗素悖论著名的“通俗版”——理发师悖论（Barber paradox ）从前有某村有一个理发师，他宣称为村里所有不为自己刮胡子的人刮胡子，现在问他该不该给自己刮胡子？

公理化集合论

现在大多数数学家认为，集合论悖论的出现，原因在于利用概括原则造集的任意性太大，因而立足于修改概括原则，对集合加以适当限制，只允许那些看来不大会产生矛盾的类进入集合论，从而防止了过大集合的产生。由于集合论悖论的出现，人们感到有必要回到建立欧几里德几何的方法，把“集合”作为原始概念，用一套适当的公理来规定他们的使用，也就是采用公理化的方法，以期达到既能消除悖论产生根源，又能尽量保留朴素集合论巨大成果的目的。

1908年，策梅罗(E.F.F.Zermelo)提出了集合论的第一个公理化系统，这个系统后来经过弗兰克（AdolfFraenkel）和斯科伦（ThoralfSkolem）等人的补充和加工，形成了ZF公理体系(Zermelo-Fraenkelaxiomatic set theory )和ZFC公理体系 (Zermelo-Fraenkelaxiomatic set theory with the axiom of Choice) 。由于ZFC公理体系含有公理模式（指置换公理），从而它不是一个有限公理化的系统。1925年，冯⋅诺伊曼(John von Neumann)给出了另一套不包含公理模式的公理系统，后来经过伯内斯 (P.Bernays) 、哥德尔(Kurt Godel)等人的改进和简化，形成了 NBG公理体系(Neumann-Bernays-Godelaxiomatic set theory)或GB公理体系(Godel-Bernaysaxiomatic set theory)。这样集合论公理化后，罗素悖论中的集合S，在ZFC公理体系中就不再是集合，而在NBG公理体系中它成为了一个真类。公理化集合论能排除至今已经出现的那些悖论，但尚不能保证在这系统中永不出现新的悖论，因为公理系统的无矛盾性并没有被证明。对此，庞加莱(Poincare)评论说：为了防备狼，羊群已用篱笆围起来，但却不知道在圈内有没有狼。（通俗来讲就是发现系统漏洞然后针对漏洞打补丁）

集合论公理

1908年以来，先后问世的集合论公理体系不下十余家，但以ZF(C)公理体系和NGB公理体系最为流行。NBG公理体系采用“集合”、“类”、“集集间与集类间的属于”作为原始概念（集是类，但类未必是集，不是集的类叫做真类），从而允许某些有一定用处的“怪集合”——真类成为数学的研究对象，又能保证相应的悖论不会在系统中产生。下面重点介绍ZF(C)公理体系中的公理。

ZFC公理体系是由“集合”和“属于”这两个原始概念和下述七条公理所组成：

1. 外延公理

2. 置换公理

3. 并集公理

4. 幂集公理

5. 正则公理(基底公理)

6. 无限公理

7. 选择公理

对于选择公理，很多数学家对于把它作为一条公理持反对或保留态度，因此习惯上又用ZF公理体系表示只包含前六条的公理系统。

集合论的基础地位

集合论是现代数学大厦的基石。集合论作为一种统一的力量，它给所有数学分支以一个公共的基础，给它们的概念带来一种新的清晰和准确性，集合论语言已经成为全世界数学家表达和领会的公共用语。

集合论的基础性地位表现在：

1. 集合是数学的基本对象

• 现代数学各分支对象本身是具有某种特定结构的集合。比如，代数中群、环、域、体、代数等等概念的定义都是这样的格式：“××是这样的集合，其上有运算××，这些运算满足××定律”。

• 空间 有修饰词——特殊的集合；无修饰词——泛指集合；

• 结构 是指遵从一些公理的集合和映射所组成的系统。序结构、代数结构、拓扑结构三种基本结构；（布尔巴基学派）测度结构；

• 系统 指特定的集合，如图灵机。

2. 整个数学建立在集合论基础上

许多现代数学理论的发展是以集合论作为其前提的。例如，没有集合论，就不会有近代的测度论，也就不会有实变函数；在代数中，近世代数讨论的是具有某些结合规律的元素系统的构造，它不仅以集合论概念作为其基础，而且还渗透了集合论的许多思想方法。近代数学的抽象空间理论，也无非都是具有各种特殊结论的无限集。拓扑学的发展，必不可少地依赖于集合论的方法。

3.集合论提供了现代数学的基本语言

所有数学概念都可以在集合论的范围内形式地加以定义。也就是说所有数学概念的精确定义都要建立在集合论的基础之上。事实上，在数学中，除了以实数认识为背景的集合论及其发展成的公理集合论是直接研究集合的外，一般都是研究其引伸概念，或说是加了某种（公理）限制的集合。如中学数学中研究的各种对象都可以看作集合。

• 数——数集；

• 几何图形——点集；

• 大于、小于、等于、平行、垂直等关系；

• 函数——点集（图象）；

• 集合我们可以构造出所有其他数学概念和对象（集合本身并没有“顺序”的含义，但用它却可以形式地定义“有限序列”，即能构造得到“顺序”的模型）有序对( a, b ) = ( c, d ) ↔a = c且b = d

• 许多涉及数学基础的根本性问题都可以归结为关于集合论的问题。如数学理论的相容性问题。

• 被用来论证数学理论中关于数学对象及其属性的存在性的假设，如自然数公理的存在性。

集合论作为语言工具

现代数学的特点之一是统一性，它要求语言的统一与简明。集合是数学抽象出的具有方向性和统一性的基本概念，集合论语言是数学的基本语言。集合论语言的重要性表现在：

1.用集合表述数学概念，符号简洁统一，语义准确明了，有助于对概念实质的把握。

• 理解线段整体性（不仅指两个端点）；理解点的轨迹方程；

• 集合的表述方法：由方程f(x,y)=0所确定的曲线是满足性质

• f(x,y)=0的点(x,y)的集合它简洁明确地表明了轨迹方程的完备性和纯粹性；

• 理解方程、方程组、不等式的解及同解变形；

• 理解概念的层次关系。属加种差定义↔子集。

2.集合论的语言和思想方法与逻辑推理有着密切的关系。

集合的运算规则与命题的演算规则有完全类似的结果。正是在这样的意义上，我们说数学演绎方法兼有逻辑论证与集合论论证相结合的特征。因此，集合观念有助于对一些数学推理的理解。

分析蕴涵真值表

p q p→q

1 1 1a

1 0 0

0 1 1

0 0 1

真值表中, 若p假, 则不管q真还是假, 命题p→q都真. 这一规定往往不易理解.

从集合论的观点看, p假表明满足性质p(命题p可看作一个性质)的对象构成的集合实际上是一个空集, 而空集包含于任何集合中, 所以p假时, 不管q真假, p 都蕴涵q, 即p→q为真.

3.集合论语言可以将许多日常语言符号化、形式化，这使得计算机便于理解、掌握和应用。

集合论语言可以将许多日常语言符号化、形式化，这使得计算机便于理解、掌握和应用。由于集合论对现代数学的基础作用和重要性，它已成为学习和理解现代数学所必不可少的基础知识。现在，集合论的知识不仅是大学数学系的必修内容，而且世界各国已把它逐渐渗透到中小学数学教材中。中学数学一般不涉及“无限大”的数。中学里使用集合语言主要是：用集合的语言表示数学对象，用集合的运算表示逻辑关系。因此，教学的重点应是在明确集合概念的基础上，训练学生应用集合语言和符号准确简练地描述数学内容和逻辑联系。

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