卡尔纳普与非直谓定义

PeaneAuioms

PA1 1∈N

PA2 ∀n∈N[n'∈N]

PA3 ∀n∈N [n' ≠ 1]

P4 ∀m∈N ∀n∈N [m'＝n' ⇒ m＝n]

PA5 (P(1)∧ ∀ k∈N[P(k) ⇒ P(k)]) ⇒ ∀n∈N [P(n)]

在《数学的逻辑主义基础》[1]一文中，卡尔纳普提及非直谓定义时举了一个颇具典范性的例子，以此说明其对于逻辑主义的严重威胁。具体如下：称一个性质为“遗传的（hereditary）”，如果它一旦属于数 n 就必然属于数 n＋1 。在此基础上，“归纳数（inductive numbers）”被定义为具备0的所有遗传性质的数： lnd x：＝∀f (Her f∧f(0) → f(x)).

上述定义的危险之处在于，定义式右侧的全称量词的作用范围是一切性质 f 。也就是说，定义中的 f 甚至可以是 lnd 本身，从而导致一种隐秘的循环性，使得被定义的概念被潜在地包含于用以定义它的逻辑结构中。所以该定义显然无用，因为我们在用一个东西定义它自身——这就是为什么罗素将诸如此类的非直谓定义称为“恶性循环”。

卡尔纳普在这里给出了上述循环性的具体表现。据他说，“人们有时声称”，只要随便带入一个数就能清晰地看到非直谓定义的荒谬。比如，假设我们想确认2是不是归纳数，那么我们就需要检查是否所有性质f 都满足全称量词范围内的公式。在此过程中，因为 lnd 也是 f 的一个具体实例，我们就肯定会在某一时刻找上它。所以，为了检验 lnd 2 是否成立，我们就迟早需要将 lnd 代入右侧的式子，依次检查 lnd 是不是遗传的、它是否属于0、以及最重要的： lnd 2 是否成立。

这最后一点，毫无疑问，造成了不可逾越的困难。罗素最终不得不通过繁琐的分支类型论回避诸如此类的非直谓定义，却因此丢掉了几乎整个实数王国：大部分实数甚至都不能以非直谓的方式表达。这样的惨痛代价让他的学生拉姆齐最终通过一种类似柏拉图主义的“神学数学”直接允许非直谓定义（因为数学性质的存在无关乎我们的认知，所以我们的定义方式并不会影响到概念本身，等等）来绕开所有的问题。对于这两种做法，卡尔纳普都不赞同。他希望通过某种方式“获得拉姆齐的成果却不陷入他的概念绝对主义。”为此，他重新审视了对于给定x 的 lnd x 的验证过程：问题就出在“检查每一个单一的性质”这一步上。只有在我们认为我们“必须”这么做时，我们才会碰到“不能击破的循环”，才会“一头撞上‘归纳的’这个性质”。在卡尔纳普看来，这种信念实在没有什么必然性：

……因为非直谓定义通常涉及无限总体，所以证实一个全称的逻辑或数学语句并不在于遍及一系列个别的情况。对必须遍及所有个别情况的信念，是由于混淆了指称已给定对象的“数值”的一般性与“特定”的一般性。我们并不通过遍及个别情况，而是通过从另外一些性质中逻辑地推导出某些性质来确立特定的一般性。

通过将归纳数的定义中出现的全称量词解释为指称“特定的一般性”，卡尔纳普实际上将对于lnd x 的验证给语法化了。比如说，如果我们还是想确认 lnd 2 的真伪，即“2是否是归纳的”，我们需要做的就是证明 ⊢ Her f∧f(0) → f(2).也就是说： f 在这里彻底成为了一个单纯的符号，它在此处的意涵并不是方程中的变量 x ，而是逻辑中作为合式公式的变量 x 。验证 lnd 2 因此被转化成了一次简单的语法练习。首先， lnd 0 显然成立： Her f∧f(0) 当然能够推出 f(0) 。注意到 Her f 实际上指的是 ∀n(f(n) → f(n＋1)) ，再结合 ∀n(f(n) → f(n＋1)) ⊢ f(0) → f(1)，我们就有 Her f∧f(0) ⊢ f(1).重复一遍同样的步骤即可得到 lnd 2 。

卡尔纳普的解答是否令人满意呢？不见得。逻辑主义者对于“归纳数”定义的普遍反感说到底来源于其定义方式；这种担忧的动机其实是本体论的。如卡尔纳普在前文中概括的那样，逻辑主义的目标主要有两个：一，将一切数学概念从逻辑中导出；二，将所有数学定理以纯粹的逻辑方法从逻辑公理导出。尽管这两个目标共同指向“将一切数学归约为逻辑”的终极任务，但它们终究是两个不同的句子。这种区分本身就暗含了逻辑主义者的存在观：数学概念与数学定理是两种不同的东西，前者是逻辑构造，而后者是关于数学概念的语句。更进一步，对于数学概念，除了最为基本的几个概念没有明确的逻辑构造之外，其他所有概念都应该用其存在已被清晰地确立的逻辑构造显式定义。即：定义式的意义就在于用等式右侧的、本体论上明白无误的对象通过等号的“神圣作用”让等式左侧的、本体论上仍然可疑的对象也获得这种存在的明晰性。[2]正如卡尔纳普所说，这样的构造主义倾向让逻辑主义者——起码就对于数学对象的态度而言——更接近直觉主义者。也正是这种对存在清晰性的追求让罗素反对非直谓定义的恶性循环：一旦我们允许用一个概念自身来定义它自己，定义式右侧就不是完全确定的逻辑存在了：它被等式左侧仍然可疑的对象给污染了；又或者：等号本身的神圣性被侵犯了。

另一方面，关于数学定理，逻辑主义者反而与形式主义有着更强的亲缘性：

逻辑主义主张以这样的方法构建逻辑-数学系统：虽然在选取公理及推理规则时是把原始符号的一种解释放在心上的，但是在这系统内，演绎及定义的链条却如同在纯粹演算中一样，是形式地贯穿起来的，就是说，并不参照原始符号的意义。

我们应当注意到，卡尔纳普将这种方法论上的相似性甚至推广到了定义的层面。这似乎正当化了他对于归纳数概念的语法化阐释，因为根据他的说法，形式化本就是逻辑主义的正统方法论，在定义上也是如此。他在此之前为非直谓定义所做的辩护也的确遵循这个逻辑：尽管罗素认为允许非直谓定义必然会（在使用中）导致二律背反——在原本的语境下可能是个语法概念——但事实不一定如此。起码，我们无法从任何根本性原则中推出二律背反的必然性。而事实上，在大部分情况下，非直谓定义的确没有在逻辑上出问题，比如实数的概念就让所有人爱不释手。又比如先前提到的归纳数概念，它就算让罗素抓狂，也还是能达成它原本的功用，即：所有自然数的确都可以被证实是归纳的。下面是他的原话：

……于是我们看到，虽然归纳性的定义是非直谓的，但无碍于它的效用。对于个别的情况能够给出所定义性质被承认（或不被承认）的证明，表明这定义是有意义的。如果我们拒绝必须遍及所有个别情况的信念，而宁愿使自己弄清楚，有关一个任意性质的陈述的完整证实的含义不过是指这个陈述对一个任意性质的逻辑的（或更确切地说是重言式的）有效性而已，我们就会得出非直谓定义在逻辑上是允许的这个结论。……[3]

这段话为我们提供了卡尔纳普的真正立场。如他自己所说（目的在于“获得拉姆齐的结果”），他首先是出于实用主义的角度尝试为非直谓定义的实际效果作证。其次，他通过概念的滑动从对“定义”的讨论转向对“证实”的讨论，并将前者的“意义问题”归约为后者。这样一来，卡尔纳普就通过一次“形式转向”避开了逻辑主义的本体论问题。

然而本体论问题依然存在，通向它的缺口正是由卡尔纳普自己在一对括号中指出的（“更确切地说是重言式的”）。不管他如何通过形式转向回避本体论问题，只要我们从语义角度重新审视双方的论点就会发现，就算是纯粹的形式操作也会因为其如影随形的语义对应物而产生本体论上的后果。这是由所有有意义的逻辑系统都具有的可靠性决定的。

具体来说，对于任何自然数x ，用“遍及”的方式验证 lnd x 的真值可以说是模型论中真定义的典范示例。 ∀f (Her f∧f(0) → f(x)) 为真当且仅当对于所有 f ， Her f∧f(0) → f(x) 都为真。传统逻辑主义者在这里就停下了，因为对于他们而言，并不是所有论域中的 f 的存在在此都是明晰的，也就是说存在 f 的实例，使得 Her f∧f(0) → f(x) 的真值无法确认。 lnd 本身就是一个例子。于是他们说，既然如此， lnd x 的真值也是不确定的，所以 lnd 的定义没有意义。逻辑主义者在赋值过程中的犹豫不决其实反映出了他们在本体论和认识论上的立场。我们看到，起码在定义层面，他们更像直觉主义者而不是形式主义者。

通过绕开上述困难而将其语法化，卡尔纳普的确超越了传统意义上的逻辑主义者。他说，只要我们能证明Her f∧f(0) → f(x) ——更有启发性的表述是：只要我们能从 Her f∧f(0) 出发证明 f(x) ——那么我们就可以说 lnd x 为真。转换成语义学陈述就是：对于任何性质 f ，只要 Her f∧f(0) ╞ f(x)，则 lnd x 即为真。卡尔纳普的聪明之处在于，这里的双层假言结构（形式语言内的和元语言内的）的确消除了所有浅层问题。如果 Her lnd 、 lnd 0 和 lnd x 的真值真的存在，那么不管它们是否为真，整个式子的真值都会是真，我们也就能够畅然无阻地得出 lnd x 为真的结论。甚至就算这些项的真值不存在，我们也能从“只要……则……”的逻辑结构中得到“空真（vacuous truth）”的结果。

可惜的是，就结果而言，卡尔纳普的手段并没有真正消除问题，因为既然我们无法明确知道那些项的真值是否存在，我们也无法肯定“那些项的真值存在”的真值存不存在。这里面并没有任何本体论上的进步。区别仅在于，我们经由卡尔纳普的形式转向将问题提升了一“阶”。这不禁让人联想到罗素和怀特海在面对集合论的存在性公理给逻辑主义造成的挑战时给出的无可奈何的回答：既然我们不知道S （主要指无穷公理处理的归纳集）是否真的存在，那么所有从 S 的存在性导出的定理都只能表述为“如果 S 存在，则……”。于是我们最终可以将卡尔纳普的提议看作一种与传统逻辑主义一脉相承、更加微妙的“隐微的妥协”。

参考

1. R·卡尔纳普（1931）。应制夷、朱水林译。《数学的逻辑主义基础》。选自《数学哲学》，P·贝纳塞拉夫、H·普特南编，47至60页。

2. 这里所说的“存在”并不是逻辑主义明确反对的“存在”；比如罗素就曾说过，数学只处理存在的“可能性”。在我们的语境下，与其说逻辑主义反对的是“存在”本身，不如说他们反对的是泊拉图主义所说的存在，毕竟逻辑结构也可以算是一种存在-对象，就算它在数学本体论中的具体地位尚不明确。我们正是在这个意义下讨论“存在”。

3. 此处的重点为我所加。

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