【SEP】数学与哲学虚构主义（二）

雅布洛(2005，2002a，2002b)也进一步论证了这样的观点(值得注意的是，他在这里的观点很大程度上借鉴了沃尔顿(1990)的工作)。雅布洛声称，数学在科学中是作为一种表征性的辅助工具出现的，而要做好这一点，并不需要是真的。但他的观点有些不同，因为他认为柏拉图主义式的经验理论语句，至少是这些语句中的典型，事实上是真的，因为它们的真理内容是唯名论的。举个简单的例子，看下面这个语句：

(M)火星卫星的数量是2。雅布洛认为，像(M)这样的语句的典型语句类似于普通的比喻（figurative）表达的例子，就像这样的语句：(A)妈妈平均有2.4个孩子。

(A)的句法形式似乎表明它所指的是一个实际的对象，即所谓的“普通妈妈”，但它并非如此。这样理解它就会误解人们在说像(A)这样的语句时的意思。因此，根据雅布洛的观点，虽然看起来(M)是在部分地对一个被称为2的实际对象提出主张，但实际上并非如此。相反，(M)的真正内容（即这类语句的典型语句的真正含义）是有两颗火星卫星。当然，这种说法（即有两个火星卫星）并不是关于数字2或任何其他抽象对象的说法，它在唯名论上是可容许的。那么，总而言之，这里的想法是，关于纯数学的虚构主义者可以认可关于混合数学语句的释义唯名论观点。

值得注意的是，雅布洛似乎也认为，至少有时，纯数学语句有真的内容（即，真的说了些什么）是名副其实的。例如，他认为有时像“3+2=5”这样的语句说的是：如果有3个F和2个G，那么（除非重叠）就有5个F或G。此外，雅布洛有时似乎暗示了这样一种观点：有时，当我们说出“3是质数”这样的语句时，我们真正说的是“3是质数”根据算术的理论（或故事、游戏）是真的或可以接受的。然而，并不清楚雅布洛对这个观点有多认真。无论如何，似乎很清楚，如果他认可这个观点的话，他认为它只在某些语境中是真的，即只在某些纯数学语句中是真的。不管雅布洛的观点是什么，不过，重要的是要注意到，这种一般的观点（即认为纯数学语句有真的内容，或者真的说了些什么，是唯名论的和真的观点）根本不是虚构主义的观点，因为这种观点在这里已经被定义了。它们更多的是释义唯名论的版本，所以它们要受到第1.2节中给出的反对该观点的论证。我们将在第2.3节中(非常简短地)回到雅布洛的观点是否真的是虚构主义的一个版本的问题上。)

有关雅布洛的观点，请参阅普莱巴尼（2018）贝托、普莱巴尼（2015）。

值得注意的是，唯名论简易进路的支持者并不只是因为他们的观点比菲尔德的观点“更容易”，或者因为它不涉及对我们的经验理论可以被唯名论化这一有争议的说法的承诺。梅利亚、雅布洛和巴拉格尔都认为，这种观点独立地优于菲尔德的观点，因为它更符合实际的科学实践。

还值得注意的是，对蒯因和普特南的不可或缺性论证的简易进路对策是由那些反对虚构主义的人发展起来的，例如：索伯（1993）、麦迪（1995、1997）、莫滕森（1998）和阿祖尼（2004）。

科利万(2002，2010)和贝克(2005，2009)对简易进路对策做出了回应。他们认为，数学在科学中不仅起着描述性作用，它还起着解释的作用。例如：贝克考虑了一个涉及各种周期性的蝉的案例，其中蛹期是13或17。为什么蛹的阶段是13或17？根据进化生物学家的观点，答案是13和17都是质数，这样可以尽量减少与其他周期性物种的交集。科利万和贝克认为，像这样的案例（数学对象在物理现象的解释中发挥着不可或缺的作用的案例）为我们提供了一个更好、更有力的不可或缺性论证的版本。事实上，他们认为，如果真的有涉及物理现象的真正数学解释的案例，那么虚构主义的简易进路就不能成功。但这一说法还有待商榷，梅利亚（2002）、伦（2005b）、班古（2008）、戴利和兰福德（2009）以及雅布洛（2012）都对这些不可或缺性论证的解释版本做出了回应。

2.2 客观性

对虚构主义的第二种反对意见是基于这样一种观点：即虚构主义者不能说明数学的客观性。关于数学实践的一个显而易见的事实是，在数学实践中存在着某种客观性。在数学中，一方面是“2+2=4”和“3是质数”这样的语句，另一方面是“2+2=5”和“3是合数”这样的语句，这两者之间有着重要的区别。很明显，前两句是“正确”的，而后两句不是“正确”的、“对”的、“好”的，或者其他类似的东西，这是有一定道理的。这里最显而易见的是，前两句是真，而后两句是假。但虚构主义者不能这样说，他们会说这四句话都不是真的。这样，问题就来了，虚构主义者是否对数学的客观性（即对这两种语句之间的差异）有任何充分的说明。

而对于这个问题，虚构主义者给出了两种不同的回应。这两种反应给我们提供了虚构主义的不同版本，如果没有更好的名称，我们可以称之为形式主义虚构主义（formalistic fictionalism）和非形式主义虚构主义（non-formalistic fictionalism）。

形式主义的观点是由菲尔德（1980，1989，1998）提出并发展的。根据他的观点，“3是质数”和“3是合数”之间的区别类似于“圣诞老人穿红衣服”和“圣诞老人穿绿衣服”之间的区别。更具体地说，菲尔德的观点是：像“3是质数”和“3是合数”这样的语句之间的区别在于，前者（而不是后者）是某个众所周知的“故事”的一部分，即数学的故事。菲尔德把这个观点说成，虽然“3是质数”和“3是合数”都是严格意义上的非真，但在数学的故事中，前者是真的，而后者并不是。现在，菲尔德在这里的大部分观点是符合形式主义的虚构主义和非形式主义的虚构主义的。这两种观点的不同之处在于虚构主义者认为数学的故事由什么组成。对菲尔德来说，数学的故事基本上是由一堆形式系统构成的，即我们目前所接受的形式系统。更确切地说，他认为(1998，第391页)一个数学语句当且仅当它是“一个公认公理的结果在......结果的意义上，在包括量词‘极少数’的逻辑上，超越了一阶结果”时，它才是虚构的正确。因此，根据这一观点，像“3是质数”和“3是合数”这样的语句之间的区别（前者之所以是“正确”，而后者不是）在于前者是从公认的数学公理出发的。(这一观点也得到了玛丽·兰(2010)的认可，她说数学的可接受性归根结底是来自于公认的公理)。

巴拉格尔（2001，2009）认为菲尔德的形式主义观点不可能是正确的，他提出了一种非形式主义的替代观点。他反对形式主义观点的论证是，它不能解释我们在数学中发现的所有客观性。最重要的是，形式主义的观点意味着（不正确的），对于那些在目前公认的数学理论中无法决定的数学语句的真值问题，不可能有客观正确的答案。这里最著名的例子可能是连续体假说(CH)，在目前公认的集合理论中，例如泽尔梅洛-弗莱恩克尔集合理论(ZF)，它是无法确定的。(换句话说，ZF与CH和~CH都是一致的，即ZF+CH和ZF+~CH都是一致的集合论)。鉴于此，按照菲尔德的观点来看，无论是CH还是～CH都不是数学故事的一部分，因此，CH问题没有客观正确的答案。然而，这似乎是不可接受的，因为结果可能是数学家要发现CH题的客观正确答案。例如，假设某个数学家提出了一个新的公理候选者AX，这样(1)所有数学家都同意AX是一个关于集合的直观明显的主张；(2)ZF+AX包含CH。如果这种情况发生了，那么数学家们就会说他们已经证明了CH，而且他们已经发现CH是正确的，等等。菲尔德的观点将迫使我们说，如果我们认可AX，那么CH将成为数学故事中的真理。但这似乎把事情弄错了，考虑到AX的直观明显性，可以很自然地说，在这种情况下，数学家发现CH一直以来都是真的（或“正确的”，或在数学的故事中是真的，或不管我们想怎么称呼它），也就是说，它并不是我们通过认可一个新的理论而编造出来的。而且，这似乎又是数学家们会说的话。所以，巴拉格尔认为，菲尔德对数学客观性的形式主义观点是不可接受的。

巴拉格尔的非形式主义版本的虚构主义保留了菲尔德的论证，即数学的“正确性”与数学故事中的真理性有关，但它放弃了菲尔德的观点，即数学的故事由目前公认的公理组成。根据巴拉格尔的观点，所谓“数学的故事”包括这样一个论题：实际上存在着柏拉图主义者心目中的那种抽象的数学对象，即我们的数学理论所宣称的那种对象。因此，根据这种观点，当且仅当一个数学语句真的存在柏拉图主义者心目中的那种抽象的数学对象时，它才是虚构上的正确。巴拉格尔认为，如果虚构主义者采用这种观点，他们就可以避免上述菲尔德的观点中的问题，更一般地说，他们完全可以解决客观性问题，因为他们可以模仿柏拉图主义者关于客观性的一切说法。

2.3 革命主义和诠释主义（Revolutionism and Hermeneuticism）

对虚构主义的另一个反对意见是由伯吉斯（2004）提出的，应该指出，这里的论证源于伯吉斯（1983）和伯吉斯、罗森（1997）。这个论证可以这样表述：

虚构主义者面临着一个两难的选择：他们必须认可诠释主义虚构主义和革命主义虚构主义中的一个，但这两种观点都不可行。我们可以把诠释主义虚构主义定义为：数学家（也许还有普通大众）打算把他们的数学话语当作一种虚构的形式，更具体地说，这里的观点是：根据一般的数学意图，像“3”这样的单数语词不应该是指代，像“3是质数”这样的语句也不应该是真的。但是，诠释主义虚构主义是不可信的，也是缺乏动机的。它作为关于数学家意图的经验性假设，根本没有好的证据，而且它明显是错误的。另一方面，革命主义虚构主义是这样一种观点：（1）数学家并不打算把他们的语句当作虚构，或以任何其他方式当作非文字；（2）因此我们应该把数学家解释为真正断言他们的语句说了什么，即做出关于（或声称是关于）数学对象的断言； (3) 但由于不存在数学对象这种东西，数学家的论断根本就不是真的主张。但是，革命主义虚构主义也是不可信的。考虑到哲学家和数学家的记录，哲学家假定他们发现了数学的问题是“荒诞不经”的（伯吉斯, 2004, p.30）。

从来没有人像上面所定义的那样，为诠释主义虚构主义辩护。雅布洛(2002a)声称他的观点是诠释主义虚构主义的一个版本，普莱巴尼(2018)也遵循他的这种表达方式，但这些哲学家心目中的观点与上面描述的诠释主义虚构主义观点有些不同。雅布洛并不认为数学家有意将他们说出的“3是质数”这样的语句当作虚构的主张。相反，他认为这些语句（至少有时，或者也许是典型的）类似于普通的比喻（figurative）表达的例子，例如：像“炉子后边就是你放那些需要让它们慢慢沸腾的东西的地方（比喻把正在做的事或计划要做的事先搁置一边）”这样的俚语，这个语句中有一个词“炉子后边”，这似乎（从语法上看）是一个比喻（figurative）性表达（denoting expression），但它并不是真正的比喻（figurative）性表达（至少在典型的情况下），如果把它解释为像上面这样的语句中真正的比喻（figurative）性表达，就会严重误解说这类语句的说话者的意图。雅布洛认为，类似这样的事情在与典型的（纯粹的和混合的）数学语句的语句中是真的，例如，“3是质数”和“火星卫星的数量是2”这样的语句。所以，雅布洛肯定是提出了一种诠释主义唯名论的观点，但不清楚他的观点是否能够被看作是一种诠释主义虚构主义。如上所述（2.1节），该观点可能被归类为一种释义唯名论会更合适。雅布洛称他的观点为比喻（figurative）主义，他说的好像是一种虚构主义的版本。但他对“虚构主义”一词的使用似乎与这里的定义不同。他很可能想到的是：从字面解读来看，数学语句不是真的，就像虚构主义所说的那样，但有另一种解读，在这种解读上，数学语句是真的（而且在名义上是可接受的）。但是，把雅布洛的观点当作虚构主义的一个版本是很尴尬的，因为他似乎认为（纯粹的和混合的）数学语句真正说的东西（或者更准确地说，这些语句的典型语句真正说的是什么）在内容上是真的和唯名论的。这听起来更像是释义唯名论，而不是虚构主义。

斯坦利(2001)提出了几个反对解释学虚构主义的论证。雅布洛(2002a)和利金斯(2010)对他的论证做出了回应。

与雅布洛相反，玛丽·兰(2005a，2010)、戴利(2006)和巴拉格尔(2009)对伯吉斯的论证进行了回应，为革命的虚构主义辩护。玛丽·兰的回应版本是基于这样的说法：哲学家评价和批评数学家的工作是可以接受的。当然，玛丽·兰承认数学是一种非常成功的实践，哲学家必须尊重这一点，但她的主张是，我们可以在不假设它是真的前提下解释数学的成功。鉴于此，她认为，我们可以从外部，也就是从哲学的角度理性地评价和批评数学实践。

另外还有一种革命主义虚构主义，它不涉及任何形式的数学批评。正如上面所表述的那样，革命主义虚构主义仅仅是这样一种观点：1、我们应该把数学家解释为主张他们的语句说了什么；2、所以他们的语句是关于抽象对象的非真理性的主张。但这并不意味着数学有什么问题，或者有什么值得批评的地方。这说明，“革命主义虚构主义”并不是一个很好的观点名称，“断言虚构主义”是一个更好的名字。如果我们这样讲，那么我们可以说，有革命性的和非革命性的两种断言虚构主义。革命性断言虚构主义者会说，我们应该改变我们在数学中所做的事情，使我们不再提出不真的主张。例如，我们应该开始打算把我们的数学主张当作虚构，或者我们应该开始用我们的数学语句来表达如果—那么主义者认为的意思，或者其他类似的一些事情。非革命性断言虚构主义者则会说，按照目前的实践，数学没有什么问题，他们会承认像“4是偶数”这样的数学语句不是真的，但他们会坚持认为这没有什么问题，因为数学中善的标志不是真理，而是数学故事中的真理，或者类似的东西。

菲尔德似乎赞同与这种非革命性断言虚构主义接近的某种观点。他在《没有数字的科学》第二版的序言中讨论伯吉斯的论证时，这样说：“在我看来，这是一个错误的二分法。我当然不认为我所提供的说明是‘诠释主义’，但它也不是‘革命主义’。我认为我所做的事情，更确切地说，是在解释为什么普通数学实践是非常好的。”（菲尔德, 2016, p. 4. 菲尔德，2016，第4页）。

最后，巴拉格尔(2009)认为，虚构主义者有办法同时避免阐释主义和论断主义，因此，他们或许可以完全避免伯吉斯的困境。此外，菲尔德（2016）似乎也认可这样的观点。但阿穆尔·噶本（2011）曾认为，巴拉格尔在这里提出的（非诠释主义、非断言主义）虚构主义版本是站不住脚的。

2.4 与虚构的相似性

少数人（如卡茨(1998)、托马斯(2000和2002)、霍夫曼(2004)、伯吉斯(2004)和托马森(2013)）反对虚构主义的理由是，数学和虚构之间存在明显的歧义。(在不同版本的反对意见中，歧义的具体内容有所不同。如：卡茨认为，一致性是数学中善的重要标准，但在虚构中却不是。而伯吉斯认为，数学对象是否存在的问题没有经验意义，而我们虚构故事中的(非抽象)对象是否存在的问题是有经验意义的。)

虚构论者对这种反对意见的一种回应方式是，声称这种反对意见根本无关紧要，因为虚构主义并不涉及数学与虚构之间没有重要的歧义的说法。正如上面所定义的那样，虚构主义是这样一种观点：(1)我们的数学语句和理论确实像柏拉图主义所建议的那样，声称是关于抽象的数学对象的； (2) 但是并不存在抽象对象这样的东西； (3) 所以我们的数学理论不是真的。这里根本没有关于虚构话语的说法，所以虚构主义者可以简单地否认他们的观点，认为数学和虚构之间没有重要的区别。

现在，这并不意味着虚构主义者不能宣称数学和虚构之间有一些相似性。他们当然可以宣称有，例如他们可能想说：就像数学中的情况一样，不存在虚构对象这样的东西，正因为如此，典型的虚构语句不是字面上的真。但是，虚构主义者提出这样的主张，并不承诺对数学和虚构之间的相似性提出更多有力的主张（例如，数学话语是一种虚构的话语）他们当然也不会承诺说这两种事业之间没有重要的差异。总之，虚构主义完全符合数学与虚构之间有许多重要的歧义的说法。

最后，应该指出的是，有些虚构主义者似乎确实想对数学和虚构之间的相似性提出一些更有力的主张。这种人可能会对上述那种反对意见比较重视。但是，本文所讨论的虚构主义者都不认可这类非常强烈的主张。特别是，他们都没有说过任何包含数学与虚构之间没有重要的歧义的话。另一方面，应该指出的是，雅布洛和布埃诺在这方面提出了一些超出虚构主义者需要的主张。例如，布埃诺(2009)说，数学对象与虚构人物相似，因为它们都是抽象的反事实（artifacts）(在说这句话时，他沿用了托马森(1999)对虚构人物的看法)。而雅布洛对他认为在数学语句和隐喻语句（或者说是比喻（figurative）语句）之间存在的一种相似提出了一些比较强烈的主张。因此，雅布洛的特殊版本的虚构主义是可以遭到驳斥的，大意是数学语句与隐喻语句其实并不相似。斯坦利(2001)已经提出了一些这样的反对意见，雅布洛在他的(2002a)中对这些反对意见进行了回应。但由于雅布洛并没有声称数学语句与虚构（fictional）语句相似，所以他不必回应本小节开头提到的那种反对意见。

2.5 接受和相信（Accepting and Believing）

正如在2.2节中所明确的那样，虽然虚构主义者认为像“2+2=4”这样的语句严格来说是错误的，但他们还是认为它们在某种意义上是“正确的”。那么，虚构主义者对这些语句的态度是什么呢？按照巴斯·范·弗拉森（Bas van Fraassen，1980）的观点，他对实证科学也赞同类似的观点，这里的标准虚构主义者的路线是，他们接受（Accept）“2+2=4”这样的语句，但不相信（Believing）它们。究竟应该如何定义接受是一个有一定争议的问题，但这里一个明显的方法是声称，虚构主义者接受一个纯粹的数学语句S，如果而且只有当他们相信S在数学的故事中是真的。

有些人反对信仰和接受之间的区别。霍维奇(1991)、奥莱利·霍桑(1997)以及伯吉斯和罗森(1997)提出了这样的论证，即接受和信仰之间没有真正的区别，因为大体上，(1)相信某事只是倾向于以某种方式行事，(2)相信“2+2=4”的人和据称只接受“2+2=4”的人大概倾向于以完全相同的方式行事。

戴利(2008)和玛丽·兰(2010)对这一论证做出了一些回应。戴利提出的一个观点是，虚构主义者的行为方式其实与柏拉图主义者的行为方式不同。他们在回答诸如“是否真的存在数字这样的东西？”这样的问题时，表现得非常不同。

2.6 神秘的额外内容

托马斯·森（2013）对雅布洛的具体版本的虚构主义提出了反对意见。如上所述，雅布洛(2005，2002a，2002b)区分了像这样的语句的字面内容和真的内容：

（M）火星卫星的数量为2颗。

托马森认为，雅布洛致力于这样的主张，即像(M)这样的语句的字面内容的真理性需要比这些语句的真的内容的真理性需要更多的东西。但这个额外的东西（extra something）会是什么呢？按照汤马森的说法，这是很晦涩的，除非雅布洛能对此多说些什么，否则我们不应该接受他的观点。

对此的一个回应，康泰萨(2016，第771页)给出的回应是，很明显还需要什么，需要的是有“心灵独立的、非时空定位的、因果惰性的抽象对象”。

普莱巴尼（2018）给出了不同的回应。他认为，无论雅布洛派的虚构主义者能否为(M)这样的语句阐明两种不同的真理条件，这些语句的真的内容和字面内容都是可以区分的，因为它们的主语不同（subject matters）。

2.7 其他反对意见

当然，对虚构主义也有其他反对意见。讨论最广泛的可能是这样的主张：即虚构主义不是一种真正的唯名论观点。因为虚构主义的表述本身就包括涉及对抽象对象的本体论承诺的陈述。不过，在这里很难讨论这个反对意见，因为它与每一个不同的虚构主义版本都有不同的形式，而正如前面的讨论所表明的，虚构主义有许多不同的版本（例如，既可以认可虚构主义的困难进路，也可以认可虚构主义的简易进路；既可以把这两种观点与形式主义虚构主义结合起来，也可以把非形式主义虚构主义结合起来；既可以把其中任何一种观点与诠释主义虚构主义结合起来，也可以把革命性断言虚构主义与非革命性断言虚构主义结合起来等等）。不过，应该指出的是，有几个不同的虚构主义辩护者对他们自己的虚构主义版本是否属于唯名论的怀疑做出了回应。特别是，菲尔德(1989)为他的虚构主义版本辩护，反对那种认为他致力于论证存在着时空点（spacetime points）的指控，人们可能会认为时空点的存在并不符合唯名论的规范（nominalistically kosher）；巴拉格尔(1998a)为他的版本辩护，反对关于它(事实上，也是菲尔德的观点)致力于论证故事（stories）的存在的指控，因为如果故事存在的话，那这些故事就可能是抽象的对象；最后，罗森(2001)为他的观点辩护，反对关于它致力于证明理论和可能世界（theories and possible worlds）的指控。巴拉格尔和罗森都担心虚构主义者致力于证明语句类型（sentence types）的存在，而这些语句类型大概是抽象的对象。戴利在他的(2008)中提出了这种担心的一个版本，他对巴拉格尔对这种担心的回应进行了反驳。他还对罗森早先在其(1990)中给出的回应进行了反驳。

萨博(2001)提出了另一个对虚构主义(或者更准确地说，对虚构主义的简易进路)的反对意见。让S是一些数学语句，如“4是偶数”。萨博反对虚构主义简易进路拥趸的理由是，如果他们否认S是真的，但却继续以与柏拉图主义者使用S的方式无法区分的方式来使用它，那么他们本质上就致力于说像“4是偶数，但我不相信”这样的话，根据萨博的说法，这使他们在摩尔悖论方面遇到了麻烦。

最后，奇哈拉（2010）对菲尔德和巴拉格尔的虚构主义观点提出了反对意见。

3. 结论

总而言之，目前有以上几种不同的对虚构主义的反对观点，但虚构主义者对所有反对观点都有回应，而且任何一种反对观点都未能明显成功地驳倒虚构主义。因此，就目前来看，至少在表面上可以假设虚构主义是值得辩护的。另一方面，如果第1节的主张（7条论证）是正确的，那么虚构主义者仍没有令人信服的正面论据来支持其观点。第1.2—1.4节的论证表明，有充分的理由否定各种反柏拉图主义的替代方案，因此也有充分的理由认为柏拉图主义和虚构主义是两种最好的数学观，但似乎没有更加充分的理由来支持虚构主义，或者支持柏拉图主义。现在，大多数虚构主义者可能会说（例如：玛丽·兰，2010）：这种情况其实就已经给了我们一个很好的理由来支持虚构主义而不是柏拉图主义。理由是如果我们将奥卡姆剃刀原理（即如果两种理论能解释的所有事实完全相同，那么我们就应该采用两种理论中更简单的那种）应用于“柏拉图主义并没有好的正面论证”的说法中，那我们就会得出这样的结果：虚构主义优于柏拉图主义。然而应当指出，这种看法至少被前面讨论过的两位虚构主义的辩护者明确否定。罗森（伯吉斯和罗森，1997）怀疑是否有足够的理由接受奥卡姆剃刀的裁决，而巴拉格尔（1998a）认为，即使我们承认它，也有理由认为它不适用于该争论。因此，罗森和巴拉格尔都认为，目前，我们尚没有任何充分的理由来明确支持柏拉图主义或虚构主义。此外，正如在1.3节中所指出的，布埃诺（2009）认为虚构主义者应该对抽象对象的存在持不可知论的态度，这似乎与罗森的观点大致相当。而巴拉格尔的观点则有些不同，因为他其实认为抽象对象是否存在同事实无关。

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