【SEP】数学与哲学虚构主义（一）

【SEP】数学与哲学虚构主义 马克·巴拉格尔

数学哲学中的虚构主义 Fictionalism in the Philosophy of Mathematics

原作者：Mark Balaguer＜ mbalagu@calstatela.edu＞

URL: plato.stanford.edu/entr...

Translator: Demian

Proofreader：Demian

数学虚构主义（以下简称虚构主义）被认为是对数学柏拉图主义最好的反驳。数学柏拉图主义认为：（1）存在着抽象（即非时空）的数学对象；（2）我们的数学语句和理论提供了对这些对象的真理性描述。例如，用柏拉图主义的观点来看，语句“3是质数”提供了对某个对象（即数字3）的直接描述，就像语句“火星是红色的”提供了对火星的描述一样。但火星是一个物理对象，而数字3（按照柏拉图主义的定义）则是一个抽象对象。柏拉图主义者告诉我们抽象对象是完全非物理的、非精神的、非空间的、非时间的、非因果的。因此，根据这种观点，数字3是独立于我们和我们的思维而存在的，它并不存在于空间或时间中，不是物理或精神对象，也与其他对象不发生因果关系。这一观点得到了柏拉图、弗雷格（1884，1893-1903，1919）、哥德尔（1964）以及罗素（1912）和蒯因（1948，1951）等人的认可，更不用说众多近代的数学哲学家，如：普特南（1971）、帕森斯（1971）、斯坦纳（1975）、雷斯尼克（1997）、夏皮罗（1997）、黑尔（1987）、赖特（1983）、卡茨（1998）、扎尔塔（1988）、科利万（2001）、麦克沃伊（2012）和马库斯（2015）。

另一方面，虚构主义认为：（1）正如柏拉图主义所主张的，我们的数学语句和理论的确意指抽象数学对象；（2）但是并没有所谓的抽象对象；（3）因此我们的数学理论并不是真的。据此，像“3是质数”这样的语句是假的，或非真的。并且基于同样的理由，“牙仙子是慷慨的（美国童话中一个专门收集小孩子换牙时掉落的牙齿的仙女，小孩子把自己掉的牙齿放在枕头下面，就会得到一些牙仙子送的礼物，不然就会遭到厄运）”这句话也是假的、非真的。因此，正如没有牙仙子这样的人，所以也没有数字3这样的东西。然而需要指出的一点是，尽管被称为“虚构主义”，但虚构主义者并不主张任何关于数学和虚构之间有类似关系的观点。例如，他们并未声称数学话语是某种虚构的话语。因此，虚构主义者并不会致力于讨论数学和虚构之间是否存在同构关系。(我们将在下文第2.4节再谈这个问题)最后，在开始论述时应该说明，虚构主义是数学唯名论传统中的一支，即他们认为没有“数学对象”这种东西。

虚构主义最初由菲尔德 (1980, 1989, 1998, 2016)引入数学哲学中。从那时起，巴拉格尔(1996a, 1998a, 2001, 2009)、罗森 (2001)、雅布洛(2002a, 2002b, 2005)、玛丽·兰 (2005a, 2005b, 2010)、布埃诺 (2009)等人在不同的路径中发展了这一理论。虽然这使得虚构主义更加清晰，但人们可能会质疑布埃诺、雅布洛是否能够算作虚构主义者。其他虚构主义（或与虚构主义近似的观点）的支持者和捍卫者包括戴利 (2006)、利金斯(2010)、康提沙 (2016)、普莱巴尼 (2018)。最后，有的人也将梅利亚(2000)看作是一个虚构主义的捍卫者，尽管他并未真正致力于这一工作。

值得注意的是，霍夫曼（2004）也赞同一种虚构主义的观点。但她的观点却与上面定义的虚构主义大相径庭，因为其观点不涉及对定义（1）（即我们的数学语句和理论的确意指抽象数学对象）的承诺。她按照凯切尔(1984)的思路重新解释数学，然后赞同这种经过重新解释的虚构主义观点。也就是说，她认为，一旦数学经过这样的重新解释，它的单称词就不能指代，它的语句也就不真了(尚不清楚这种观点与凯切尔的观点有多大差别，人们可以认为凯切尔赞同一种与之非常相似的观点)。无论如何，重要的是霍夫曼拒斥定义（1）使其观点与其他虚构主义的观点截然不同。但下面将明确指出，定义（1）是非常可信的，其可信性是柏拉图主义流行的主要原因之一。因此，虚构主义（即上面所定义的那种标准的虚构主义）的主要优点之一是，它将定义（1）与反柏拉图主义式的本体论相结合。

值得注意的是，李尔（1982）和科库姆（2012）认为亚里士多德持有另一种版本的数学虚构主义。正如科库姆所指出的，亚里士多德不太可能持有前面定义的那种虚构主义。

当人们第一次听到虚构主义的假说时，可能会觉得有些疯狂。我们真的应该相信“3是质数”和“2+2=4”这样的语句是假的吗？但当我们了解其他替代虚构主义的方案是什么的时候，虚构主义的吸引力就会显现出来。通过仔细思考数学话语解释的意义问题，我们会逐渐认为虚构主义其实是非常可信的，并且事实上，它可能是最不疯狂的观点。

第1节阐述了一般的虚构主义的主要论证。第二节讨论了一些对虚构主义的反对意见，以及虚构主义的几个不同版本。这两件事是非常自然地结合在一起的，因为虚构主义的不同版本是与不同哲学家对虚构主义的各种反对意见的回应联系在一起出现的。

1. 虚构主义的论证

1.1 主要论证

1.2 前提1和释义唯名论（Paraphrase Nominalism）

1.3 前提2和紧缩真理唯名论（Deflationary-Truth Nominalism）

1.4 前提4和物理主义（Physicalism）和心理主义（Psychologism）

1.5 前提5和柏拉图主义

2. 对虚构主义和其回应的反对意见

2.1 不可或缺性论证

2.2 客观性

2.3 革命主义（Revolutionism）和诠释主义（Hermeneuticism同解释学并不同，而且为了与释义唯名论相区分，故如此翻译）

2.4 与虚构的相似性

2.5 接受和相信

2.6 神秘的额外内容

2.7 其他异议

3. 结论

1. 虚构主义的论证

1.1 主要论证

虚构主义的主要论证是通过反驳各种试图否定、替代虚构主义的方案来进行的。这一论证的过程是：

1、像“4是偶数”这样的数学语句，应按其字面意思理解为“Fa（谓词（具体关系和性质或抽象泛指）+个体常项——谓词逻辑）”的形式，从而是对特定对象的性质的直接断言；例:“4是偶数”应该被理解为对数字4的性质做出的直接断言。但

2、如果像“4是偶数”这样的语句应该按字面意思来理解，这个语句是真的。那么实际上一定存在着它们所涉及的那种对象；例如：“4是偶数”应该被理解为对数字4的性质做出的直接断言，如果这句话从字面上看是真的，那么实际上一定存在着数字4这样的东西；因此，从1和2来看：

3、如果“4是偶数”这样的语句是真的，那么就有数学对象这样的东西；

4、如果有数学对象这样的东西，那么它们就是抽象对象，即非时空对象；例如，如果有数字4这样的东西，那么它就是一个抽象对象，而不是物理或心理对象；

5、但是根本不存在抽象物体这种东西。因此，根据否后律由4和5可以得出结论：

6、没有数学对象这种东西。因此，根据否后律由3和6可知：

7、“4是偶数”这样的语句不是真的（但由于虚构主义者给出的看法正是不是真的，所以虚构主义是正确的）。

这个论证中的三个推论（即3、6、7）都是非常明确有效的，所以唯一的问题是四个基本前提1、2、4和5是否为真。而这个论证方式的好处是，从这些前提出发，每一个都可以成为不同于虚构主义的版本。因此，1至7中的论证实际上是一个更长的论证的外壳，其中包括支持其基本前提的分论证，同时也包括反对虚构主义的各种替代方案。

鉴于此，我们可以说，从虚构主义出发有五种方向（或者说，有五种方案）。否定1的人可以称为释义唯名论者（Paraphrase Nominalism）；否定2的人可以称为紧缩真理唯名论者；否定4的人也是紧缩真理唯名论者；否定5的人是柏拉图主义者。为了激发他们的观点，虚构主义者需要提供反对所有观点的论证。

虚构主义者在这里最简单的工作是驳斥各种反柏拉图主义的观点。所有这些观点——释义唯名论、紧缩真理唯名论、物理主义和心理主义——都可以理解为（如同虚构主义）对柏拉图主义的反应。柏拉图主义是一种非常有吸引力的观点，因为它为数学实践和数学话语提供了一种极其自然和谐的说明。但尽管如此，许多哲学家仍不认可柏拉图主义，因为他们无法接受其本体论。换句话说，他们根本不相信有抽象对象这种东西。正因为如此，在数学哲学领域所做的许多工作都致力于避免陷入柏拉图主义。特别是释义唯名论、紧缩真理唯名论、物理主义和心理主义，它们都可以从这些方面来理解。它们都试图破坏关于数学语句真理条件的柏拉图主义观点。但是，正如下文将明确指出的那样，所有这些观点都存在着严重的问题。这就是虚构主义的作用：它给予数学语句的真理条件的柏拉图主义观点，但仍然否认柏拉图主义者的本体论论证，即存在着抽象对象。这使得虚构主义与其他反柏拉图主义的观点有一个重要的不同。我们可以通过注意到柏拉图主义涉及两个不同的论题：一个是语义论题，另一个是本体论题来体会这一点。语义论是关于普通数学语句的真理条件的经验性假说，本体论是关于抽象对象存在的深层形而上学假说。每一个版本的反柏拉图主义都拒绝柏拉图主义者的本体论假说，所有非虚构主义版本的反柏拉图主义也都拒绝语义论。虚构主义是唯一不拒绝语义论的反柏拉图主义观点。这就是为什么虚构主义会比其他版本的反柏拉图主义显得更有吸引力的原因，因为柏拉图主义者的语义假说是极其可信的，而且动机良好。因此，拒绝这一假说的反柏拉图主义的版本会显得不可信和没有动机。

所以，同样，虚构主义论证的容易部分（或者说，比较容易的部分）是通过为前提1、2和4提供论据来进行的，或者等价地，通过提供反对反柏拉图主义的各种非虚构主义版本的论据来进行的，即释义唯名论、紧缩真理唯名论、物理主义和心理主义。接下来的三小节（1.2—1.4）讨论了这四种观点以及虚构主义者可能针对它们提出的一些论证。第1.5节涉及虚构主义者论证中比较困难的部分，即围绕前提5进行的虚构主义者如何反对柏拉图主义的问题。

1.2 前提1和释义唯名论（Paraphrase Nominalism）

释义唯名论是这样一种观点，即像“3是质数”这样的普通数学语句不应该按字面意思来解读，或者更具体地说，它们不应该被解读为是“Fa”的形式，并对数学对象提出要求。这种观点有几个不同的版本。也许最著名的是“如果—那么主义（if-thenism）”。在这种观点下，“3是质数”被解释为表达一个条件性的主张更合适，例如：“如果有数字，那么3将是质数”，或者是“必然地，如果有数字，那么3是质数”。 (普特南(1967a,b)、霍根(1984)、赫尔曼(1989)、多尔(2008)和雅布洛(2017)发展了如果—那么主义的版本。此外，这一观点的前驱得到了早期希尔伯特的认可(见他的1899和他在弗雷格1980给弗雷格的信)。最后，其他版本的释义名词主义也得到了千原（日）(1990)、易(2002)、霍夫韦伯(2005)、拉约(2008、2013)和莫特曼(2013)的认可；人们也可以这样解释库里(1951)和维特根斯坦(1956)。)

释义唯名论观点的问题非常简单：它们涉及到关于普通数学语句含义的经验性假设，而这些假设是极其不可信的。例如，就“如果—那么主义”而言，实在很难相信，当普通的数学话语者（普通数学家和普通民众）说出例如“3是质数”时，他们所说的最好解释就是，如果有数字，那么3就会是质数。这似乎就弄错了人们说出这样的语句时的实际意思。事实上，这里似乎可以提出一个更普遍的观点。有一个很好的解释原则是这样说的：我们应该按字面解释解释人们的语句，除非有证据表明他们有被非字面解释的积极意图。考虑到这一点，并且考虑到（似乎很明显的）普通人对他们的数学语句没有被非字面解释的积极意图，例如在表达条件式命题中，我们似乎应该按字面意思解释我们的数学语句。但这意味着，我们应该接受前提（1），拒绝释义唯名论。

释义唯名论者可能会试图对这一论证做出回应，即否认他们致力于使其释义同普通数学家和普通民众的意图相符合这一论证。事实上，千原(日，1990，2004)和赫尔曼(1998)都曾提出过这类主张。但是，释义唯名论者不能认可这种立场，因为如果他们认可这种立场，他们的观点就会崩溃成一种虚构主义的版本。而如果释义唯名论者承认柏拉图主义者和虚构主义者对真的数学语句（即实际数学家的语句）的意义是正确的，那么（由于他们也坚持不存在抽象对象这种东西）他们将致力于主张实际数学家的语句不是真的。因此，如果释义唯名论者不主张他们的释义抓住了普通数学语句的实际意义，那么他们的观点就无法成为一个虚构主义的真正替代方案。它将解体成为一个虚构主义的版本。更具体地说，释义唯名论者只是一个认为我们应该改变我们的数学语言、或者我们的数学语句的意思的虚构主义者。或者是如果我们愿意的话，我们可以改变我们的数学语言。这一事实为虚构主义者提供了一种应对某些反对意见的方法。

1.3 前提2和紧缩真理唯名论（Deflationary-Truth Nominalism）

紧缩真理唯名论是这样一种观点：（1）正如柏拉图主义者和虚构主义者所坚持的那样，像“3是质数”这样的普通数学语句应该按字面意思来解读，即是“Fa”的形式，因此是在对数学对象提出主张；（2）没有数学对象这种东西；（3）但我们的数学语句仍然是真的。这种观点得到了阿祖尼（1994，2004，2010）和布埃诺（2005，2009）的认可。然而，应该注意的是，布埃诺在他的（2009）中把他的紧缩真理唯名论的版本称为虚构主义。这并不是因为他真的赞同本文中被称为虚构主义的论证观点，而是因为他对“虚构主义”一词的使用方式与本文中的使用方式不同。但必须注意到，布埃诺的用法并没有什么不同，因为正如我们即将看到的那样，紧缩真理唯名论和虚构主义（这里的定义）是相当相似的观点。(布埃诺的观点与这里定义的虚构主义观点还有第二个不同：他赞同关于抽象对象的不可知论，而不是全面的反实在论。但这个区别甚至不如第一个区别重要；如果我们把上述虚构主义定义中的(2)和(3)重新表述，使它们与不可知论相一致，那么关于虚构主义观点的其他内容几乎都不必改变。所以，虚构主义者其实可以选择对抽象对象的态度是不可知论还是反实在论，这个决定不会对他们的其他观点产生很大的影响。事实上，正如第3节将明确指出的那样，布埃诺的不可知论可能或多或少地等同于某些虚构主义者的观点。)

在描述紧缩真理唯名论的问题之前，必须注意到，该观点背后的核心主张是关于普通话语的经验性假设。特别是，它是关于“真”这个术语的意义、或者说关于真理概念的主张。当紧缩真理唯名论者说：“‘3是质数’即使没有3这个数字，也可能是真的”，他们是在对一般的真理概念提出主张。他们是说，这个概念适用于某些情况，而我们大多数的柏拉图主义者和虚构主义者以及几乎所有人都认为它不适用于这些情况。如果紧缩真理唯名论者试图否认他们是在对一般的真理概念提出主张，那么他们的观点就会解体成一个虚构主义的版本。因为既然他们同意虚构主义者的观点，即“3是质数”的目的是关于某个抽象对象的，而且他们也同意不存在抽象对象这样的东西，那么，如果他们认可这样一种真理观（即柏拉图主义—虚构主义的观点，根据这种观点，除非“a（个体常项）”指的是一个实际存在的对象，否则“Fa（谓词）”这种形式的语句就不可能是真的），那么他们就不得不承认“3是质数”不是真的。现在，他们可能会继续争辩说，这些语句是真的（在这里，是以这样的方式来定义的：即“Fa”形式的语句可以是真，即使没有a这种东西）。但是，虚构主义者当然会同意这一点。所以，如果紧缩真理唯名论要真正区别于虚构主义，它就必须涉及到关于一般话语意义上的 “真”之描述。特别是主张必须是“Fa”形式的语句可以是真，在这个词的普通意义上，即使单数词a并不指任何实际存在的对象。

有鉴于此，大多数虚构主义者可能会说，紧缩真理唯名论的问题在于它在经验上并不可信。换句话说，反对的理由是，紧缩真理唯名论严重违背了我们对“真”之意义的直觉。而这种说法似乎确实有一定的道理。例如，在直觉上似乎很明显，除非真的存在火星这样的东西，否则“火星是一颗行星”这句话不可能在字面意义上是真的。此外，从直觉上看，“火星是一颗行星，但它并不存在”这句话似乎是一个矛盾，而这种直觉似乎与紧缩真理唯名论是不相容的。如果这是正确的，亦即紧缩真理唯名论与我们的语义直觉相悖，那么这就为认为它是假的提供了强有力的证据。

但是，紧缩真理唯名论还存在第二个问题：它应该为我们提供一种避免柏拉图主义的方法，但事实上，它并没有。 从表面上看，紧缩真理唯名论似乎确实提供了一种避免柏拉图主义的方法，因为柏拉图主义的论证似乎依赖于上述前提（2），即它似乎依赖于反紧缩真理的主张。如果像“4是偶数”这样的语句应该按字面意思来理解，即作为“Fa”的形式，如果这些语句在字面上是真的，那么我们就会致力于相信它们所涉及的对象是存在的，例如，数字4存在。但事实上柏拉图主义者可以制定不依赖于这个反紧缩真理前提的论证。为了把这一点说清楚，我们先引入两个新术语：真理1和真理2，并规定真理1是表达柏拉图主义和虚构主义的真理标准（即除非“a”指的是一个实际存在的对象，否则“Fa”形式的语句不可能是真理）；而真理2则表达了紧缩真理标准（即使“a”不指任何实际存在的对象，“Fa”形式的语句也可以是真理）。继而柏拉图主义者可以说：

我们只是不关心“真”这个词，就像它在一般话语中使用的那样，表达的是真理1还是真理2（或者它模棱两可，有时表达一个意思，有时表达另一个意思）。我们承认，柏拉图主义论证的标准形式涉及到声称像“3是质数”这样的普通数学语句是真的。但是，我们也可以很轻易地把我们的论证建立在真理1这样的语句上。这样做，我们不会以任何方式削弱我们的论证。因为我们用来刺激数学真理的论证（最主要的是下面讨论的蒯因—普特南不可或缺性论证）已经是数学真理1的论证。而这也并不奇怪，因为当我们说像“3是质数”这样的普通数学语句是真的时，我们的意思是它们是真理1。所以，我们为数学的真理所给出的论据当然应该是数学真理1的论据。

既然柏拉图主义者可以这样进行论证，那么，关于紧缩真理唯名论是否正确的问题（即一般话语中的“真”是表达真理1还是真理2的问题）就只是一个无关紧要的论证。真正的问题是柏拉图主义者对数学的真理1是否有什么好的论证（当然也包括反柏拉图主义者对数学的真理1是否有什么好的论证）。换句话说，如果我们假设前提(1)和(4)是真的，即我们必须把我们的数学主张理解为是关于(或至少声称是关于)抽象对象的，那么真正的问题就在于是否有更好的理由在柏拉图主义和虚构主义之间进行选择。

1.4 前提4和物理主义和心理主义

物理主义是这样一种观点：我们的数学语句和理论都是关于普通物理对象的。约翰·斯图亚特·密尔（John Stuart Mill，1843）发展了这种观点。在他看来，数学只是一门非常一般的自然科学。举例来说，根据密尔的观点，“2+3=5”这个语句并不是关于抽象物体（数字2、3和5）的说法，而是关于一堆物理物体的说法。即他认为，如果我们把两个物体和三个物体推在一起，我们会得到五个物体。(菲利普·凯切尔(Phillip Kitcher，1984)和早期的佩内洛普·马迪(Penelope Maddy，1990)也认可具有“物理主义倾向”的观点，但最终都没有被合理地解释为属于这一阵营。马迪的早期观点被认为是一种非传统的柏拉图主义，因为这种观点主张，数学是关于存在于空间和时间中的非物理对象的；而凯切尔的观点被认为是一种释义唯名论，因为根据他的观点，数学语句并不是关于任何实际存在的对象的。）

物理主义的数学观点存在着许多问题。仅举其中一个问题，物理主义似乎完全无法解释我们在数学中发现的关于无穷性的各种观点。例如，集合论的一个定理是，有无穷多的超限基数，它们无休止地不断变大。因此，集合论致力于证明存在着无穷集，而这些无穷集是如此巨大，以至于它们简直使数学集合里的各种无穷集相形见绌，比如所有自然数的集合。但是没有任何合理的方法能够解释这种关于巨大的无穷集的讨论是同物理对象相关的。

心理主义是一种认为数学语句和理论是关于心理对象的观点。这种观点最常见的版本可能是认为数字就像我们头脑中的想法，而普通的数学语句，如“3是质数”提供了对这些想法的描述。这种观点在19世纪晚期很流行；它得到了诸如早期的胡塞尔（1891），以及直觉主义、布劳威尔（1912，1948）和海廷（1956）的认可。但弗雷格(1884，1893-1903)提供了一系列反对这一观点的论证，并基本上将其排除。在这里仅举其中一个论证，似乎心理主义主义和物理学主义一样，无法处理数学中的巨大无穷性。正如刚才所看到的，标准集合理论实际上认为存在着巨大的无穷的数学对象。但是，我们的脑子里有那么多的想法，这实在是不可信的。事实上，似乎很明显，我们脑子里的想法只有有限的几个。因此，坚持认为集合论的主张是由心智对象成真的，是不合理的。

对此，有人可能会说，即使我们的脑袋里没有无穷多的想法，我们的脑袋里似乎也很可能有无穷多的想法。这无疑是正确的，我们的头脑中确实存在这样的想法，但这并不能使心理主义从上述反对意见中解脱出来。因为我们的数学理论意味着实际上存在着无穷多不同的数学对象。例如，标准的算术理论就意味着有1这样的东西，有2这样的东西（而且它与1不同），有3这样的东西（而且它与1和2都不同），等等。所以，我们的数学理论是对我们头脑中想法的真理性描述，只有当我们的头脑中真的存在无穷多不同的想法时，我们的数学理论才是真的。因此，既然我们脑子里没有那么多的想法，我们就不能坚持认为我们的数学理论是对这种事物的真理性描述。

另外，人们也可以对上述反对心理主义的论证做出回应，转而认为数学的主张是关于我们可以建构的观念，或者是可能的心理对象，或者是其他一些类似的东西。但这不会是一种心理主义的观点，因为根据这种观点，数学的对象不会是实际的精神对象，它们将是可能对象，而这些对象，大概要么是抽象的对象，要么是其他一些形而上学上很可疑的对象。

最后，人们可能会继续反驳上面的两个论证——即否定物理主义和心理主义的论证，他们可以这样说：

“这里给出的论证应该是为了促使人们认为，像‘4是偶数’这样的普通数学语句并不能合理地解释为是关于物理或精神对象的，或者更具体地说，它们最好被理解为是关于（或至少声称是关于）抽象对象的。但是，有人可能会在这里反驳说，作为对普通数学话语的解释，柏拉图主义或虚构主义的观点并不比物理主义或心理主义更可信。因为人们可能会认为：当普通人提出数学主张时，他们打算谈论的是抽象的对象，这是根本不可信的。”

但柏拉图主义者和虚构主义者并不致力于证明人们有积极的意图来谈论抽象对象这一论证，相反，他们可以提出以下几点论证：(1)普通数学要求最好按字面意思来解释数学对象（即关于物体的要求），因为典型的数学家(事实上，亚包括普通大众的典型例子)在说出数学语句时，并没有积极的意图是在说非字面意思；(2) 典型的数学家和典型的大众，在他们的数学语句方面，有一些意图的特征，与这些语句是关于物理或精神对象的观点是不一致的；(3)在典型数学家或典型大众的意图中，没有任何观点同“我们的数学语句是关于抽象对象的”这一观点不一致。因此，根据这一观点，柏拉图主义和虚构主义语义理论比其他数学语义理论的优越之处就在于，它是唯一与数据相一致的理论，而不是因为普通的数学家和大众在说数学话语时有指向抽象对象的积极的意图。

(在继续讨论之前，值得注意的是，人们可以宣称像数字这样的数学对象的存在是依赖于我们的，而否认对这些对象的心理主义观点。因为人们可以宣称，数字是依附于心灵的抽象对象，即因为人类活动而产生的非时空对象。李斯顿(2003-04)、科尔(2009)和布埃诺(2009)都赞同这种一般观点。)

1.5 前提（5）和柏拉图主义

如果到目前为止给出的论证是正确的，那么剩下的尚未被排除的数学哲学观点就是柏拉图主义和虚构主义。因此，为了完成他们的论证，虚构主义者只需要为前提(5)提供一个论证，换句话说，他们只需要反对柏拉图主义。但事实证明，这比论证上面所提到的各种非虚构主义的反柏拉图主义方案要困难得多。正如我们所看到的，虚构主义者可以通过简单地激发一系列关于普通数学话语和“真”字的普通含义的经验性假设来反对这些观点。更具体地说，虚构论者可以通过以下论证来反对这些观点：（1）普通数学语句最好按字面意思来解释，（2）这些语句不能合理地解释为是关于物理或精神对象的，（3）“对象a是一个F”这种形式的语句在普通意义上不可能是真的，除非真的有a这种东西。但是虚构主义者不能用类似这种方式来反对柏拉图主义，因为虚构主义者和柏拉图主义者对于普通数学语句（以及“真”字）的含义是一致的。事实上，柏拉图主义者和虚构主义者并没有就任何语义论题发生分歧。他们的分歧是一个关于本体论的问题：柏拉图主义者相信抽象对象，而虚构主义者不相信。因此，如果虚构主义者要反对柏拉图主义，他们就必须使用另一种论证。

有几个不同的论证被拿来反对数学柏拉图主义，但最重要的、也是最著名的是所谓的反对柏拉图主义的认识论论证。这个论证至少可以追溯到柏拉图。在当代，它在保罗·贝纳塞拉夫(1973)的一篇论文中得到了最典型的陈述，尽管大多数数学哲学家都认为贝纳塞拉夫对这个论证的表述是有问题的，因为它依赖于一个不可信的知识因果理论。更好的论证方式如下：

1、人类完全存在于时空之中；

2、如果存在任何抽象的数学对象，那么它们存在于时空之外；

3、因此，很明显如果存在任何抽象的数学对象，那么人类就不可能获得关于它们的知识；

4、但是它建立在柏拉图主义的观点中，即认为确实存在着抽象对象，人类可以获得关于抽象对象的知识（毕竟按照柏拉图主义的观点，数学知识只是抽象对象的知识）；

5、因此柏拉图主义是错误的。

柏拉图主义者试图以几种不同的方式来回应这一论证，但最流行的（也可以说是最可信的）回应是试图破坏从1和2到3的推论，即使1和2是真的，3也可能是假的，也就是说，人类如何能够获得关于抽象对象的知识，尽管他们与这些对象是因果隔离的，因此，与这些对象没有任何信息传递的接触。蒯因(1948，1951)、斯坦纳(1975)、卡茨(1981，1998)、雷斯尼克(1982，1997)、夏皮罗(1989，1997)、刘易斯(1986)、林斯基和扎尔塔(1995)、巴拉格尔(1995，1998a)和林尼博(2006)都采取了这种应回应略。其中任何一种回应是否成功，在数学哲学家中存在着极大的争议。此外，反柏拉图主义者也没有任何令人信服的论据来论证柏拉图主义者无法在此提供所需的解释，即他们无法解释人类如何能够在不借助任何信息传递的接触下获得抽象对象的知识。因此，长话短说，似乎可以说，反对柏拉图主义的认识论争论，充其量是有争议的和不确定的。

(关于反对柏拉图主义的认识论论证的更完整的讨论，包括柏拉图主义者试图做出的各种回应的讨论，见《斯坦福哲学百科全书》题为“形而上学中的柏拉图主义”的条目。)

鉴于认识论的论证并不能成功地反驳柏拉图主义，虚构主义者可能会试图提供一些其他的论证来反对柏拉图主义。其中一个受到相当关注的论证是多重还原论。这个论证的经典陈述，又是由贝纳塞拉夫（1965）给出的。这个论证可以结合我们的任何数学理论来运行，但这个观点通常是结合算术来提出的。此外，即使我们将算术归零，仍然有许多不同的方法来表述论证。一种方法如下：

(1) 如果存在任何满足我们算术理论的抽象对象序列，那么就有无穷多的序列，而且这些序列中没有任何“形而上的特殊性”使其成为自然数序列；

(2) 但柏拉图主义致力于论证存在一个独特的抽象对象序列，即自然数；

(3) 因此柏拉图主义是错误的。

柏拉图主义者对这一论证提出了许多回应。可能最常见的策略是拒绝(1)，即认为柏拉图主义者事实上可以捍卫这样的说法，即存在一个独特的序列，作为这些自然数序列而脱颖而出。这一策略被不同的人以不同的方式追求，例如，雷兹尼克(1997)、夏皮罗(1997)、帕森斯(1990)以及林斯基和扎尔塔(1995)。此外： 巴拉格尔（1998a）认为，即使（1）是真的，也没有关系，因为（2）是假的：柏拉图主义者可以简单地承认，有许多序列可以满足我们的算术理论，而且可能没有一个序列脱颖而出，成为自然数的唯一序列。对于这些柏拉图主义的反应的地位并没有达成广泛的一致，因此，正如认识论的争论一样，声称多重还原论驳斥柏拉图主义的说法，即使不是根本不可信，也是极有争议的。

除此以外，在数学哲学中，唯一受到广泛关注的反对柏拉图主义的论证是基于奥卡姆剃刀的论证。我们将在第3节中再来讨论这个论证（非常简短）。现在，我们可以简单地指出，与认识论论证和多重还原论证一样，基于奥卡姆剃刀的论证也是非常有争议的，而且这个驳斥柏拉图主义的说法（至少）是带有倾向性的。因此，我们在这里似乎得到的总体结论是：即使虚构主义者能够激发数学话语的柏拉图主义或虚构主义的语义，从而消除所有反柏拉图主义的替代方案，他们也没有任何真正令人信服的反对柏拉图主义的论据，或者没有任何令人信服的论据来证明虚构主义优于柏拉图主义的结论。换句话说，虚构主义者对前提（5）没有任何令人信服的论证，因此，他们观点的正面论证充其量是不完整的。

2. 对虚构主义和回应的反对

既然没有令人信服的反对柏拉图主义的论证，那么人们可能会自然而然地提出的下一个问题是，是否有任何反对虚构主义的好的论证（因此，如果柏拉图主义真的是虚构主义的唯一合理的替代方案，那么赞成柏拉图主义）。本节考虑几个这样的论证。在考察虚构主义对这些论证的回应时，我们还将看到不同的哲学家是如何发展出不同版本的虚构主义的。

2.1 不可或缺性论证

到目前为止，反对虚构主义的最重要的、被讨论最广泛的论证是所谓的蒯因和普特南的不可或缺性论证（the Quine-Putnam indispensability argument）（蒯因（1948，1951）、普特南（1971）、雷斯尼克（1997）和科里万（2001））。这个论证有许多不同的表述方式，其中最简单的论证版本可以这样表述：

1、数学理论构成我们对物理世界的经验理论（即我们的物理学、化学等理论）中一个不可或缺的部分；

2、我们有充分的理由认为这些经验理论是真的，即它们为我们提供了对于世界的准确描述；

3、因此我们有充分的理由认为我们的数学理论是真的，因此，虚构主义是错误的。

虚构主义者对这一论证形成了两种不同的对策。第一种是由于菲尔德提出的（1980，2016）唯名论化对策（nominalization response），它给我们提供的虚构主义版本可以被称为虚构主义的困难进路（hard-road fictionalism，我翻译为“硬核虚构主义”，理由是要将所有科学理论都唯名论化的主张过于硬核。或者字面意思“上坡路”）；第二种应对方案，是由巴拉格尔（1996a，1998a）、梅利亚（2000）、罗森（2001）、雅布洛（2005）、布埃诺（2009）和玛丽·兰（2010）发展而来，可以被称为非唯名论化对策（no-nominalization response），它给我们提供的虚构主义版本可以称为虚构主义的简易进路（easy-road fictionalism，或译为下坡路？），或者逃避式虚构主义（weasel fictionalism）。这里的名称是由于科里万和梅利亚的缘故，前者说的是“上坡唯名论（hard-road nominalism）”和“下坡唯名论（easy-road nominalism）”，后者说的是“逃避式唯名论（weasel nominalism）”。

菲尔德的困难进路对策基于对不可或缺性论证前提1的否定。他认为，事实上，数学对于经验科学来说并非不可或缺。菲尔德试图通过论证我们的经验理论可以被唯名论化（即以一种避免对抽象对象的引用和存在性量化的方式重新表述）来确立这一论证。这是个极有争议的说法，而且很难成立，因为根据推测，我们的每一个经验理论实际上都有必要进行唯名论化，因此，才有虚构主义的困难进路之称。菲尔德并没有试图对我们所有的经验理论都采取这样的做法。相反，他试图通过对一门经验理论（即牛顿引力理论）进行唯名论化来巩固他的立场。现在，有些人已经抱怨说，即使菲尔德的策略可以对这一个理论起作用，它也可能对其他理论不起作用，特别是，马莱姆(1982)认为，他的策略不会对量子力学起作用(但巴拉格尔(1996b和1998a)提出关于菲尔德的策略可以扩展到量子力学中的论证，以及见布埃诺(2003)的回应)。

此外，还有一些其他的反对菲尔德的方案，例如，马拉门特（1982）、夏皮罗（1983）、雷斯尼克（1985）和奇哈拉（1990，第8章第5节）。另一方面，也有其他著作发展或支持了唯名论的困难进路，例如：阿泽纽斯和多尔（2012）发展了一种可微分流形理论的唯名论化方案。目前，菲尔德派对蒯因和普特南的不可或缺性论证的困难进路对策仍存有争议。

巴拉格尔的困难进路方案是从承认蒯因和普特南的不可或缺性论证的前提1开始的，即承认数学确实是经验科学中不可或缺的一部分。巴拉格尔的策略是从虚构主义的角度来说明这种不可或缺性。他的论证可以概括如下：如果有任何像抽象对象这样的东西，那么它们在因果关系上是惰性的。于此可见，实证科学的真理取决于两组各自独立地成立或不成立的事实。这两组事实中的一组是纯柏拉图式的和数学式的，另一组是纯物理式的（或者更准确地说，是纯粹的反柏拉图式的）。由于这两组事实彼此独立地存在或不存在，虚构主义者可以坚持认为：（1）确实获得了一组使经验科学成为真的所需要的那种纯物理的事实；（2）但是并没有获得一组经验科学之真理所需要的那种纯柏拉图主义的事实（因为不存在抽象对象这种东西）。因此，虚构主义与经验科学在本质上的实在（realistic）观是一致的，因为虚构主义者可以坚持认为，即使没有数学对象这种东西，这些理论仍然描绘了一个本质上准确的物理世界，因为物理世界正是使经验科学确认其为真的基础，因此，我们的经验理论并非在严格意义上是真的。换句话说，虚构主义者可以坚持认为物理世界“坚守着经验科学的承诺”。最后，为了提供一个关于数学在实证科学中的作用的观点，它主张数学的功能只是描述性或表征性的辅助。换句话说，它给我们提供了一种对物理世界提出要求的简单方法。例如，通过引用实数（或者说通过使用旨在引用实数的术语）我们给自己提供了一种描述物理系统温度状态的简单方法。而巴拉格尔认为，即使数学不是真的，它也可以成功地发挥其作为描述性辅助工具的作用。事实上，他认为在这方面真理根本没有任何帮助。

其他人也提出了类似的观点。例如，梅利亚（2000）认为，我们可以断言我们的经验理论，然后简单地收回这些断言的柏拉图主义数学后果。而罗森(2001)认为，虚构主义在认识论上是被允许的，因为另一个科学家群体可以接受与我们相同的理论，同时认可、或者更重要的是理性地认可对其理论中数学成分的虚构主义态度。而布埃诺（2009）认为，数学在经验科学中起着描述性的作用，正因为如此，数学不一定必须是真的才能适用。而玛丽·兰(2010)认为，不可或缺性论证并不能反驳虚构主义，因为虚构主义者可以对科学的成功做出充分的说明。

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