复数

复数域 ℂ 是唯一一个代数封闭的局部域。

（一维）局部域（loacl field）按特征和Archimedes性可以分为三类：

• 特征为 0 的Archimedes局部域：实数域 ℝ 、复数域 ℂ

• 特征为 0 的非Archimedes局部域： p-adic数域 ℚₚ 的有限扩张

• 特征非零的非Archimedes局部域：有限域 𝔽q 上的形式Laurent级数域 𝔽q((T))

显然其中代数封闭的只有复数域ℂ 。因此，只从代数和拓扑上讲，复数域具有三个非常好的性质：代数封闭、度量完备、局部紧致。

复数域的代数封闭性自然不必多说，这意味着每个次数不小于一的多项式都至少有一个零点。度量完备性意味着其内的每个Cauchy序列都收敛，这为分析学的开展奠定了基础。而局部紧致性作为拓扑空间的有限性条件，研究的是拓扑空间的局部性质和整体性质的联系。例如，对于非紧致的Hausdorff局部紧致空间，可以单点紧致化，复数域ℂ 的单点紧致化就是Riemann球面 ˆℂ ，同时也是复射影直线 ℂℙ¹ ，这是复分析和复几何中的重要研究对象。

更重要的一点，代数封闭性以及度量完备性共同暗示了：在某种意义上讲，复数域已经是“最大”的数域——因为你没办法再通过代数方法和拓扑方法进一步扩张。然而，度量完备的代数闭域不仅仅有复数域ℂ ，还有 p-adic复数域 ℂₚ 、 ℂₚ 的球完备化 Ωₚ 和tilting ℂᵇₚ 。但更妙的一点在于， ℂₚ 和 Ωₚ 并不比 ℂ 更“大”，事实上，根据Steinitz定理，这三个作为域是同构的，但是 ℂₚ 和 Ωₚ 在拓扑性质上并不如 ℂ ，这两者都不是局部紧致的，同样 ℂᵇₚ 也不是，而且 ℂᵇₚ 的特征是 p ，非零。

从泛函分析角度看，ℂ 甚至还是一个球完备域，这点是 ℂₚ 完全比不了的。而几何上，我们有复几何与复代数几何的对偶——GAGA，这些都是复数域独有的。

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