数学是真理吗？柏拉图主义的困境（一）

“God made the natural numbers, all else is the work of man”

“自然数是上帝的造物，其余一切皆出于人手”

- Leopold Kronecker

下面我们来看看一个与科学密不可分的学科，数学。

什么？“与科学密不可分”？难道数学本来不就是科学的一部分吗？你可能会这样问。

的确，数学在我国初等教育中，作为“理科”之首，一向有“数理化”的合称，似乎理所当然地属于科学，并且是科学中最重要的学科。在国外，也会把数学和其它的实证科学相提并论，例如所谓的STEM的说法（Science，Technology，Engineering，Mathematics，科学、技术、工程、数学）。在某些情况下，人们的确倾向于把数学和逻辑学看作是科学的一个组成部分，但是，从“实证”这个科学的基本准则来说，数学的确不能算作是科学。因为数学从来就不是以实证为标准的学科。数学所研究的对象，从来就不是一个实在的、具体的事物。比如说自然数、函数、矢量、没有宽度的直线、不占空间的点等等，虽然我们可以用它们来对物理实体进行描述，但是这些数学实体我们在现实世界中是观察不到的：你能想象你看到、触摸到一个实际的函数吗？它们不存在于我们的时空中，而是存在于我们的概念当中；它们没有形体、不能与物理实体发生实际的因果关系，是属于纯粹的“抽象世界”中的实体。数学原理也不可能通过我们的观察得以验证：2+3=5，我们知道它是正确的，但是，我们对它的认识却不是通过穷举所有的2个事物和3个事物然后通过数一数总数来来获得的 – 任何两个事物和三个事物放在一起，我们不必真的去数一数就确定知道它一定是五个。

人们倾向于认为数学是科学的一部分，是因为数学和科学之间的关系如此密切，密切到难分彼此。它们很相似，因为它们似乎都是“客观的”：有一个不依赖于个体的普遍的标准。一个数学或科学论断，它要么是真的，要么是假的，不会随着张三或李四对它们进行判断而有所不同。并且，自然科学中的几乎每一个定律都是用数学表述的；而反之，数学的每一个领域，几乎都在自然科学中有所应用。历史上因为数学促进自然科学的发展和因为自然科学而促进数学的发展的例子比比皆是。但是它们又有着显著的不同。这些不同可以表现为这几个方面：

1、 我们知道，自然科学的研究对象是在我们这个时空中存在的具体事物：宇宙、天体、生物、化学物质、微观粒子等等。尽管大家仍然有着实在论和反实在论的争论，但是无疑科学的基本研究对象都是那些通过我们感官获得的现象的性质、变化以及规律。但是数学本体论对象是什么？它们不在我们时空中、不能和具体事物发生相互作用、纯抽象。这些数学对象又是些什么东东？它们是独立于我们而真实存在的吗？如果是，那么这些纯抽象的事物不通过与我们的因果关联又是如何被我们认识的？如果不是，我们为何会认为它们是真的或者假的？

2、 因而，这就产生了认识论上数学和自然科学的的截然不同。我们知道，在自然科学中，一切论断都可以通过实证方法来判定真假：我们可以做实验、做观测，结果是什么就决定了我们论断的真假与否。然而在数学中，我们无法对这些纯抽象的实体做出实证，那么又是什么使人们判定它们的真假呢？并且，与自然科学的真理不同，数学原理不但可以判定为真，而且它可以判定为“必然真（necessarily true）”。我们说，自然科学的真理是有不确定性的，它们只能是“偶然真（contingently true）”：我们说一个科学原理为真，归根结底是因为它符合我们的经验，而我们总是可以通过进一步的观察来检验它。比如说我们总是认为能量守恒是一个真理，是因为我们从未发现能量不守恒的现象，但是我们完全可以想象，在下一次的实验中，能量不守恒的结果真的会发生 – 这是一个逻辑上完全可能的事件。但是，对于2+3=5，我们完全不能想象下一次我们看到2个人和3个人在一起后总数不是5个人，它似乎不可能是错误的！这又是为何？

3、 进而，在研究的方法论上，自然科学因其终极来源是实证，因而严重依赖于归纳法：对已有经验的总结和推广。自然科学的每一个定律都是对人们的过往经验 – 人们的观察结果 – 总结、提炼、推广而来的。而数学则不然，这种归纳和推广（不完全归纳）在数学中是没有地位的：它是不可靠的。因而数学是在几个“必然为真”的公理基础上，用演绎的方法推演出来的。公理在直觉上绝对可靠，演绎在方法上绝对可靠，因而就保证了数学的确定性和必然性。

4、 那么数学直觉又是什么？公理的可靠性，数学真理的“必然性”，是因为逻辑的必然要求的吗？违背它是我们的基本逻辑所不允许的？数学是我们自己人为规定为正确的，因而它必然是正确的？还是因为数学本身就是我们的大脑先天的思维框架，因而违背它就必然违反我们的先天直觉？数学和逻辑是什么关系？数学和我们的主观思维又是何种关系？

5、 不论如何，数学为何能够在自然科学中做到如此丝丝入扣？数学概念和我们的经验有何关系？数学和实证科学又有何种关系？

凡此种种，都是关于数学的基本哲学问题，是人们历几千年来一直在探寻而终难解惑的迷思。关于数学的哲学，又被称为数学哲学（philosophy of mathematics）。我将在下面几章来试着把人类的探索历程捋一遍。

我记得你在小学四年级的一节数学课上，你们的数学老师为了鼓励你们对数学的兴趣，曾经跟你们说，数学是一种先天就存在在你们“知识库”中的知识，你们对数学的学习过程，就是你们“回忆起”或者“重新发现”这些知识的过程，而不是你们获得新知的过程。可能是你当时正在看《苏菲的世界》中关于休谟的故事吧，你立即站起来表示你的经验主义立场，结结实实地怼了老师一把，把一堂数学课变成了尴尬的哲学课。在那时，你就已经开始了对数学哲学的思考，这些年过去了，你的思考有没有什么进展？我保证，你看了这几章后会大呼过瘾。

应该说，你的数学老师还是很有一些哲学思想的，这在我国实用主义倾向明显的初等教育中难能可贵。数学老师的这种看法，叫做“柏拉图主义”。

众所周知，柏拉图的一个基本哲学思想就是，这个世界的本体论存在分为两个部分，“现象世界”和“理念世界”。我们在第二章“存在”中曾经提到过他的这种观念。在柏拉图的二重世界中，现象世界是表现在我们面前的、可以被我们的感官直接感知和认知的现象的总和：外部世界的声音、颜色、形状、味道、冷热等等。而理念世界则是现象背后的、剥离了这些表面现象但是又是产生这些现象的抽象存在，我们知道它存在，但是无法通过感官来体验它。理念和现象的关系就像是前面我们曾经提到过的“洞中囚徒”的例子中所展现的：我们所感知的现象是理念世界折射在我们感官中的投影。在理念世界中，是那些道德、秩序等永恒不变的美德，反映到现象世界，则是随着我们的感官而变化的那些具体的物理过程。理念世界是普遍的、永恒不变的、完美的，因而是抽象的，而现象世界则是偶然的、不断变化的、有缺陷的，也是具体的。人们的心灵对应着理念世界中的那个抽象的“我”，通过类似于“前世记忆”的模式，人们可以回忆起理念世界的美好秩序：这就是人们能够理解这种秩序的认识途径。任何人，包括地位最卑贱的奴隶，在一定的引导下，都有能力“回忆起”这种秩序。而这种秩序，就是数学：数学是这个宇宙的终极真理，它存在于理念世界中，通过人们对理念世界的“记忆”而被认知，确定无疑且永恒不变。在柏拉图的著作《理想国》中，描述了一个理想的美好国度，这个国度的最高领袖就是有着理念世界中美德和智慧的“哲人王（Philosopher King）”。从他的智慧一面讲，哲人王必然是伟大的数学家。

这，就是古典柏拉图主义对数学哲学问题的答案。

应该说，柏拉图主义对数学史的影响极其深远，其影响力甚至远远超出了在哲学本领域。这种影响统治了西方数学史上千年之久，直至今日，仍然有着深刻的传承。这和古希腊数学的自身特征是息息相关的。

数学的起源远远早于自然科学，已经有几千年之久了。在上古的印度、埃及、两河流域以及中国都曾经有着很发达的数学，从实用的角度上很多地方超过了古希腊数学。但是古希腊数学有着一个与众不同的性格：它并不太关注、或者说不满足于仅仅关注数学的实用功能，它更关心的，是数学基础问题：诸如数学的哲学含义是什么？数学的逻辑结构如何更加严谨？等等。这种纯粹为了满足对自然奥秘的好奇心而不是基于任何实际应用需求的行为在远古时代是非常奢侈的。它可能与古希腊的城邦制和古典民主和公民制度有关，这里我们无意探讨其原因。但是它的结果是很明显的：古希腊的数学体系化、严谨化、以及对哲学基础的探讨深度是独一无二的，古希腊人并没有把数学当做一门有用的技术，而是当做一门真理来研究的，在他们看来，数学给历法、测绘、航海、建筑、农业带来的便利远远不足以与它自身之美相提并论：

“上帝终究是把自然归结为几何了”

古希腊的这种传承源自何处，我不是史学家不得而知，大名鼎鼎的毕达哥拉斯学派，是我所知的最早的把这种理念体现的淋漓尽致的一群人。他们脱胎于早期神秘主义，并从中建立了理性的传统。在他们看来，数字和算术这种直接源于直觉，完全确定且毫无谬误可能的东西，无疑是极其是美妙的，着致命的吸引力，它正代表着永恒不变的真理。天文观测中日月星辰的规律的周期运动、音乐中各种和弦之间的共鸣，都是数字之美的体现。自他们起始，直至中世纪，算术、几何、天文、音乐一直被并成为“四大学科[1]”而在各种学院中教授。事实上，他们对数字的迷恋已经上升为一种信仰。比如说作为几何单位计量的自然数、以及由此引申的有理数被认为是包含了自然的一切奥秘，他们对此如此痴迷，以至于他们中间的学员希帕索斯首先发现边长为1的正方形的对角线（√2）不可能是自然数或有理数时，引起了口诛笔伐，传说中此人因为对外透漏了无理数的存在而被残忍地抛入海中淹死[2] – 当然，人被淹死了，问题却留下来了。后面我们可以看到，无理数的问题直至千年以后仍不得解决，对后世的数学观念起到了变革性的影响。

如果说毕达哥拉主义通过探索数学来探索自然界的奥秘，那么柏拉图则是直接用数学来取代自然界本身。他认为，对物质世界仅用严谨的逻辑推理即可获得、也只能通过严谨的逻辑推理获得确定无疑的真理：符合这个特征的，只有数学。

柏拉图的学生亚里士多德继承了柏拉图的大部分思想，但是 - 正如在认识论上的分歧一样 – 他与他的老师有着一些不同的看法。亚里士多德认为，绝对的数学真理不是通过“回忆”的方式从理念世界中获得的，而必须要通过严谨的逻辑演绎。因此他提出了著名的古典逻辑演绎的三段论的论证过程，诸如：

（大前提）所有的狗狗都会汪汪叫；

（小前提）旺财是一只狗狗；

（所以）旺财会汪汪叫。

再例如：

（大前提）所有的三角形内角和为180°；

（小前提）△ABC是三角形；

（所以）△ABC的内角和为180°。

在严谨的逻辑演绎过程中，如果我们用到了某些未经证明的原理，那么我们必须要对这些原理加以证明。然而这种寻根探源的过程是可以一直循环下去的，这样就会进入无限递归而永远没有起点。亚里士多德认为，其中一个起点就是绝对可靠的直觉认识到的公理（如欧氏几何中的五个一般信念）。公理绝对可靠而且是普适于任何领域。而区别于公理在一切领域中的可靠性，在某一特定领域内普遍可靠的真理就是公设（如欧氏几何的五大公设），公设无需一望即知，但是我们必须认为它不证自明：它是理论体系的起点。

这种理念在古希腊数学的顶峰欧几里得几何中得到淋漓尽致的体系。你知道，欧氏几何以一望即知不证自明的区区数条公理出发，通过层层严密推理，构建了宏大的几何体系。这些作为基础的公理包括五个所谓的一般信念（common notion）：

1. 与同一事物相等的事物相等。

2. 相等的事物加上相等的事物仍然相等。

3. 相等的事物减去相等的事物仍然相等。

4. 一个事物与另一事物重合，则它们相等。

5. 整体大于局部。

以及五大公设（axiom）：

1. 从一点向另一点可以引一条直线。

2. 任意线段能任意延伸成一条直线。

3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4. 所有直角都相等。

5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边充分延伸后必定相交。

我们可以看到，这些公理体系如此符合直觉，以至于人们无法想象它们如果是错误的将会怎样[3]。所有的欧氏几何全部建立在这样的公理体系之上，其余一切皆可归结于此：人们以前从未有过如此严谨的真理体系，也从未对自己知识基础的可靠性有过如此自信。直至今日，欧氏几何仍然是数学之美的典范。

严谨，简洁，确定，无可怀疑，在这一切赞美声中，几何实体却与自然界的一切具体事物不同：一言蔽之，它们是抽象的。我们无法通过感官体验任何一个几何意义上的实体，诸如点线面等等，也不能通过任何五感来感知数字和运算，而只能通过我们的直觉来想象它们。几何和算术的实体，它们无疑是独立于我们而存在的，但是它们不存在于我们的周围：

“他们所看到的不是所画的图形，而是绝对的正方形、以及绝对的直径等等，他们力求看到事物的本质，而这只有用心灵之眼才能看到” – 《理想国》

这无疑进一步加固了人们关于柏拉图主义的信念。其核心包括

• 数学是永恒不变的、确定的抽象存在

• 数学是独立于我们人类的真实存在

• 数学是自然界的最高秩序

• 人类对数学可以认知（至于是通过“回忆”或“直觉”有分歧）

应该指出，亚里士多德的看法与柏拉图是有所不同的，他并不追求完美的理念世界，而是希望从人们可感知的现象入手来探索自然。他认为数学的那些理想化概念是人们通过对可感知的事物的性质进行理想化抽象得来的。而抽象本身却离不开人们的主观行为。在他看来，物理学科[4]才是研究自然界奥秘的基本学科，而数学，作为人们对自然的抽象，只是提供了一种自然事物运动的形式化描述。从这个分歧来看，柏拉图更像是数学家，而亚里士多德则更像是科学家。他们之间的不同，也反映了一般数学家和科学家思路的不同，现在看亚里士多德的思想，仍然是令人震撼的 – 他的某些关于公理、公设、逻辑演绎等看法，可以说超前了2000多年。例如他对抽象概念和数学直觉的看法、他认为公设作为理论起点其实不必一望即知、等等，可谓草蛇灰线，伏延千里。在20世纪的数学危机中都有爆发式的体现。

古希腊文明后来被几股力量破坏殆尽，除了来自罗马，还有埃及和穆斯林。相应地其数学成就也遭受了毁灭性打击。古希腊人的很多数学理论散布到东罗马、埃及、印度以及阿拉伯地区。古希腊人对于自然奥秘的好奇心却不那么容易继承，专注于应用的数学理论虽然得到以继续发展，但对数学真理的追求却渐趋式微，古希腊人关注的数学基础问题并不为人所关注。来自宗教的影响更加加剧了这种趋势。阿拉伯人征服埃及的时候，把当时埃及残存的古希腊文献付之一炬：

“这些书的内容或许可兰经里也有，那么我们不必读它；这些书里或许有反对可兰经的内容，那么我们不准读它。”

基督教在欧洲的兴起，使得人们对自然的好奇心转向了对神学的研究，虽然人们仍然前赴后继地探索真理，但是却局限于对上帝的忠贞不二，得到的是诸如《圣经》、《启示录》之类的宗教著作，对数学真理却几乎毫无成果。但是，尽管宗教氛围对古希腊的思想并不友好，但是在东罗马帝国的拜占庭王朝仍有一些宽容性，文化典籍相对安全，得以避过战乱、政治动荡、集权、宗教的蹂躏，蛰伏了下来，为后世的传承保留了火种。

中世纪后期，土耳其人征服东罗马帝国，使得大批学者携文化传承西逃进入欧洲内部，远古的智慧被人们重新发现，直接引发了文艺复兴。终究，薪尽火传，古希腊人最宝贵的东西 – 对自然的好奇心 - 重新焕发生机，只不过这次它改头换面，以另一种形式呈现出来了，这就是宗教。古希腊人关于“自然依数学设计”的信念，结合了宗教的需要，自然而然地变成了“上帝就是这个设计的作者”这种教条。那么，数学就是上帝创世的语言，这甚至成为像《圣经》一样神圣不可侵犯的教义。对数学的研究，从最初的对自然法则的探索，变成了对上帝的秩序的崇拜。而数学本身，在这种虔诚的、对上帝终极语言的追求中，得以继续发展。随之而来的笛卡尔、莱布尼兹、牛顿等人对数学的研究，终极动力皆源于此。应该说，这其实也是柏拉图主义思想的一种延展：从“数学是抽象世界中的独立存在”，变成了“数学是高于人类的上帝手中的秩序”。这种思想，甚至直至现代仍有影响。

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