数学是真理吗？柏拉图主义的困境（二）

有讽刺意味的是，对教会教义的最大反叛 – 哥白尼的日心说，却是这种柏拉图信念的直接结果。托勒密的地心说，其实也是源自古希腊的传承，地心说的核心观点，在古希腊时代天文学中就已经非常齐备了 – 前面我们提到，天文学是古希腊数学的一个重要学科，在希腊-罗马时代的托勒密手中大成。在托勒密体系中，地球为宇宙中心，所有的星球都围绕地球旋转，而这种旋转包括了本轮绕均轮旋转、以及星球绕本轮旋转。如此多圆嵌套。

↷ ↷

本轮

均轮

而日心说提出的最初动机，就是因为它的数学形式得到了极大的简化[5]，因而更加美妙、更加接近上帝的语言、那个数学真理。

其中提及，日心说直接引发了第一次科学革命。随之而来的开普勒和牛顿的工作，更是把天文学简化成为一个简简单单的方程，万有引力定律：

Mm

F＝G ──

R²

数学之美又一次地得到了淋漓尽致的体现。

在这个过程中，数学经历了它的又一次重大事件：科学的数学化。伽利略是最早推进这个进程的科学家之一。与柏拉图主义不同，伽利略坚定地认为自然奥秘是我们从自然这本书中读出来的，而不是来源于人的思想或“理念世界”。而把数学用来描述自然运动，却另一方面坚定了人们对数学真理的信念。

在轰轰烈烈地把数学应用于自然科学的过程中，数学的可能是最重要的分支之一的微积分诞生了。微积分获得了巨大的成功，一方面它极大地简化和统一了物理理论的数学形式，使人们进一步发现数学之美，另一方面却带来了诸多逻辑漏洞，甚至一度使人怀疑数学基础是否牢靠。

微积分最初提出的一个动机就是求解“瞬时速度”。我们知道，速度指的是物体运动的快慢，也就是说，在单位时间内移动的距离多少。这个在你们小学数学中就已经非常熟悉了。对于一个匀速运动的物体，我们只需要知道它在一定的时间内移动了多远，把距离除以时间就可以知道它的速度。但是在一个速度不断变化的情况下，我们如何确定在某一时刻它的速度？首先，它在运动，运动当然就有快慢，就有速度，但是它在某一瞬间（时间为零）移动的距离显然为零，那么0除以0又是什么意思？早期的微积分中是这样处理的，比如说对一个自由落体的物体，它从零时刻开始下落，那么它下落的距离随着时间的变化有这样的关系：

L＝5t²

其中L是下落距离，t是下落时间。从这个关系我们可以看到， 1秒钟时间内，它下落的距离是5米，2秒钟则是20米，以此类推。那么我们现在看在某个t时刻开始，到t+ △t时刻这个总长△t的时间内下落了多少，显然，

ΔL＝5(t＋Δt)² – t²＝10tΔt＋5Δt²

那么，在这段时间内的平均速度就是：

ΔL 10tΔt＋5Δt²

ˉυ＝──＝────＝10t＋5Δt

Δt Δt

请注意上式的最后一步是在分式的上下约掉了Δt。

直观上说，Δt越小，也就是说，我们取的时间间隔越短，它的平均速度就越接近于t时刻的瞬时速度。如果这个时间间隔是“无穷小”，那么这个平均速度就是t时刻的瞬时速度。此时，上式中的第二项，5Δt就是无穷小，我们可以认为5Δt=0。也就是说：

υ＝10t

如此一来，我们就得到了时刻t的瞬时速度。

这个过程就是“微分”过程。它看上去很自然，也很符合直觉，但是，从逻辑上讲是很不严谨的。这里集中的矛盾在于，作为“无穷小”的时间间隔Δt是什么？它是一个数字吗？如果是，那么它要么为零要么不为零。如果它是0，我们就不能在计算过程中分式上下约掉Δt，并且0做分母是没有意义的；如果它不是零，我们为何可以把它当做零舍去呢？舍去它必然会造成误差，也就是说瞬时速度就不可能是我们计算的结果10t。那么，我们可以说它不是一个数字吗？莱布尼兹曾经说过，无穷小不是一个真实的数，而是一个假想数。既然它不是真实的数字，我们又有何依据用数字的运算法则对它加以运算呢？对此伯努利说，

“与其说是一个解释，不如说是一个谜”

更加不严谨的事情发生在微分的逆运算，“积分”过程中。所谓积分，就是我们知道每一个时刻的瞬时速度，如何去求一段时间内它的行走距离。这个过程与上面的思路类似，只不过是反过来了。我们现在知道我们把这段时间分割成若干段，例如（t0,t1,t2,……t）。总的行程就是每个时间段内行程的加和，而每个时间段的行程就是这段时间的平均速度与这段时间的乘积。显然，随着我们把这段时间分得越来越细，每个时间段的间隔也就越来越小，这个时间段内的平均速度就越来越接近于瞬时速度。当我们把这个分割变成“无限细”，那么我们就得到了“无穷多”个“无穷小”的时间段，每个时间段的平均速度就是瞬时速度。最后，我们把这无穷多个时间段内物体的行程加起来，得到的就是总行程。这就是积分过程。

这里同样有着困惑，积分过程要求我们计算无穷多个元素的加和。这中间同样陷阱重重，我在此无意展开细说，随着你后续的学习会逐渐接触到。在当时人们并没有意识到“收敛性”的重要，因而出现了很多非常荒谬的结果和错误的证明。此外，在函数的可微性、连续性、光滑性等方面更加错误重重。从现代的眼光看，当时的数学大师犯这样的错误简直不可思议。

微积分显然是成功的，它在自然科学中的应用极其广泛，因而它在一两百年间快速地成长着，并且成为自然科学的支柱，仿佛它的逻辑性和可靠性毫无问题一样。这段时间，在克莱因的《数学：确定性的丧失》中，被称为“一门逻辑学科不合逻辑地发展”。科学家们并不关注这些数学工具的严密性，在他们看来，有用而且好用，这就足够了。然而数学家们却一直没有放弃对数学严密性的追求。伴随着科学家们兴高采烈地在各个领域自由地使用微积分及其衍生的数学工具，甚至于不加限制地随意使用“无穷大”和“无穷小”这样的模糊概念 – 从而导致了很多他们完全意识不到的错误，数学家们的忧虑却在与日俱增：数学仅仅满足于有用就可以了吗？数学的牢固基础在哪里？我们确定无疑的数学真理在哪里？在困扰了数学家们200多年后，人们终于发现了一种方法，让微积分的逻辑基础变得可以接受了。

这种方法说，“无穷”其实不是真的无穷，因为我们有限的世界不可能包括“无穷”这样的东西。所谓的“无穷小”其实是“任意小”。也就是说，我们随便找出任何一个确定的数字 – 这个数字是有限的，但是不论这个数字如何小，“无穷小量”总可以比它还小。

就拿我们前面所说的那个微分的例子来说吧。我们随便找出一个不为零时间段(t,△t)，在这个时间段中，平均速度与“瞬时速度”10t之间的误差就是5△t。比如说，现在我们要求我们的计算结果误差必须小于0.1，那么很简单，我们只要选取时间段△t就小于0.02就好了。如果我们要求误差小于0.01，那我们选取时间段△t小于0.002就好了。如果我们要求误差小于0.00000……1，不论这个数字有多小，我们总可以找到一个对应的△t，来使得误差达到这个要求。也就是说，现在存在着这样一个极限 – 10t，不论我们要求某时间段内的平均速度与它之间的误差有多小，我们总是可以找到△t 来满足这个要求：存在着一个极限使得我们可以“任意地”靠近它。

我们再来举一个例子，比如说现在有这样一个无限多个数字的加和：

1 1 1 1

S＝─＋─＋─＋─ →↓

2 4 8 16

∞ 1

＋. . .＝∑ ─ ←

ₙ₌₁ 2ⁿ

这个加和是多少呢？我们可以用一个几何的方式来形象地说明它。我们把每一个数字看作是一个边长为1的正方形面积的一部分，那么这个加和就等于是先用半个正方形填充它，然后再用剩下的部分的一半继续来填充，如此类推，我们会发现随着我们不断地向上累加，这个正方形就会不断地被填充，而剩下没被填充的部分就越来越少 – 我们一直填充下去，被填充的部分就会一直逼近整个正方形。也就是说，这个加和随着我们的不断进行，就越来越接近于1。虽然我们无法谈论“无限加和”，但是我们可以谈论“任意加和” – 随便N个数字的加和，不论N有多大。

那么，我们说，任意多个数字的加和与1之间的偏差有多少？任意小。因为不论我们说出一个多小的数字δ，我们总是可以找到一个N，使得N个数字相加的和与1的偏差小于它 - 这个加和与1之间的偏差可以任意小，0.000……1，你可以在这个小数中随便添加0，都没有问题。也就是说这个加和可以“任意地”接近1。这个1就叫做极限。这样一来，我们就避免了模糊地使用“无限大”或“无限小”所带来的的逻辑上的尴尬。

这里我们发现，其实这个问题的解决是在人们绕开了“无穷”这个令人困惑的问题之后达成的。人们谈论“无论多小的数字”或者“无论多大的数字”，直觉上和谈论无限并没有什么区别，但是逻辑上却是完全不同：因为无论多小的数字总是一个有限的数字，我可以用数字的运算法则来进行操作而不会引起疑虑。对于关于“瞬时速度”的疑虑，这种方法就理直气壮，“说吧，你既然觉得瞬时速度不等于10t，那么它与10t的偏差有多少？你随便说一个数字，不管这个数字有多么的小，这个偏差总是小于你说的这个数字！”

这种“绕弯子表示”的无穷，叫做“潜无穷”，潜无穷所暗示的，是一种不可能完成的无穷：不管你想象出任何一个数，我总可以比你的这个数还要小（或大）。这个说法其实最早起源于亚里士多德，它把我们的有限智慧与外部无穷之间架起了一座桥梁，因而受到大家的无限青睐。比如说一个自然数，无论它有多大，我总是可以把它再加上1，得到一个更大的自然数。而“总可以再大”就意味着它不可能终结，也就是不可能存在一个已经完成的“无穷大”。再比如一个很小的数字，0.00……1，我总可以在这些个0当中再添加一个0，从而做到更小。但是你不能说“无穷多个0之后跟着一个1”这样的“真的”无穷小，因为这就是在说这个“无穷多个0”后面有一个作为终结的1，而有终结就不可能是无穷多。而相对的，如果人们真的直接讨论无穷（比如说，把所有的自然数当做一个已经完成的集合，或一条直线上所有的点当做一个已经完成的集合），人们把它叫做“实无穷”。在当时看来，我们可以以潜无穷的方式来研究任意外延的事物：它是实在的、有限的、可以言说的，但是又可以囊括我们所能想到的任意事物。但是实无穷存在吗？它难以理喻，不可言说。难道我们人类有限的智慧真的可以把握无限吗？陷入到实无穷的泥潭中去，我们真的就能把握它？对此神学家们宣称一个已完成的无限只能是上帝的特性，而对人类来说只能是个秘密。莱布尼兹是一个少见的赞成实无穷的人，他说：

“I am so in favor of the actual infinite that instead of admitting that nature abhors it, as commonly said, I hold that nature makes frequent use of it everywhere, in order to show more effectively the perfections of its author”（我是如此赞成实无穷，乃至于我不像一般人那样认为自然厌恶无穷，而是认为自然无所不在地使用它，更加有效地展示着造物主的完美。）

而相反地，绝大多数数学家反对实无穷，例如高斯说：

“Infinity is only a figure of speech, meaning a limit to which certain ratios may approach as closely as desired, when others are permitted to increase indefinitely.”（无限只是一种言说方式罢了，它实际指的是我们可以随心所欲地靠近一个极限，而同时其他人亦可以更加靠近它。）

微积分找到了一个合理的基础，但是却带来了新的困扰，就是无穷的问题。这里我们先按下不表，再来说一说另外几件事。首先，就是“数”本身的问题。

应该说，在古希腊数学中，几何占据着基础的位置，而算术，则是几何衍生出来的概念。在古希腊人看来，自然数是作为几何中的长度单位存在的：它们是度量事物的一把“尺子”。而整个算术理论也就是建立在欧氏几何的公理系统之上的。这就是自然数存在的逻辑基础和现实基础。在欧几里得的《几何原本》中，提到，我们可以把诸多存在的事物中的每一个称作一个一，而作为整体的一个数也可以是由多个单元构成。这样就自然而然地衍生出有理数的概念：有理数就是那些可以看做两个整数之比的数字。在这个体系中并没有无理数的存在余地。但是，我们前面提到毕达哥拉斯学派发现√2的存在并且证明它无法被表达成两个自然数之比 – 也就是无理数。这个证明有很多种方法，其中之一是用反证法。

α

假设 √2＝─

b

，其中a和b是两个自然数且a和b没有公约数（否则这个分数就可以继续简化直至最简）。那么 α²＝2b² ，所以 α² 是个偶数，因此a也必定为偶数（因为奇数的平方不可能是偶数）。我们把a记做 α＝2c ，所以 α²＝4c²，进而 b²＝2c² ，也就是b也是个偶数。这与a和b之间不存在公约数相矛盾。因而不存在a和b两个自然数。所以√2必为无理数。

无理数的存在成为古希腊数学中的一根喉中之刺。它不但在几何中无法避免，在算术中更加随处可见 – 如二次方程等等。既然无理数在几何中难免存在，人们试图以此找出无理数的存在依据，并且用几何的方法来对付算术方程，这就是时至今日，我们仍然把二次方称作“平方”（意即面积）、把三次方称作“立方”（意即体积）的原因。但是这种试图以几何涵盖所有算术的方法不但不切现实，而且并不能让人们明白那些无理数本身究竟意味着什么。欧几里得几何以后，代数渐渐开始于几何分道扬镳。随后古希腊数学家丢番图对代数做出了大量的研究，遗憾的是在后世的战乱中，他的著作绝大多数丢失了。随后，正如前面所说，古希腊文明灭亡，古希腊数学散入印度、巴比伦，而这些文明对数学基础并没有太多的兴趣，而是更多集中在应用方面，因此他们的数学中就掺杂了大量的经验、不完全归纳、以及很随意的推广，显得十分不严谨。有史学家曾经称印度的数学是“粪土和珍珠的混合物”。

这段时间印度人和阿拉伯人大量使用无理数而对它的逻辑基础毫不在意。它们用各种近似的手段来处理无理数，而丝毫不担心这会影响确定的数学真理。有趣的是，在这种不严谨氛围中，代数学却像是抛下了“基础问题”这个令人无奈的包袱，得以轻装前进，野蛮生长。人们对根式、无理数等发展了正确的运算法则，诸如√a√b=√ab等等，这些成果斐然，但是得到它们的过程却是毫无意义的随意推广而已。在一些高次方程上，他们给出了很准确的图形解法，但是却既没有几何证明，也没有代数推导。印度人不但毫无负担地使用无理数，而且还发展了现代通用的阿拉伯数字十进制计法，并且提出了作为数字的零和负数的概念及运算法则[6]。最重要的是，在这个阶段，代数学彻底地成为独立学科，与几何并列发展。

欧洲数学家在文艺复兴之后继承了这些数学的发展，他们惊奇地发现，在繁荣的代数背后，是贫瘠的逻辑基础。有别于几何的坚实的公理基础，算术的诸多定义、法则却似乎找不到一个类似的公理体系来成为可靠的支撑。欧几里得几何里面“单位长度可以累次加和”、“一个整体可以分割成多个部分”这种符合直觉的自然数和有理数定义在无理数中崩塌了。如果说仅仅是像√2这种无理数我们还可以找到几何依据，高次方根、指数、对数等等无理数则完全在迷雾当中。以至于一直到17世纪，在数学界仍然存在着大量的反对无理数的声音。

这在一个初中低年级学生就熟知的实数系统的现代，看起来十分难以理解。但是，当你们在学习实数系统的时候，被老师灌输“无理数其实并非无理”的观念时，你们是否真的想过无理数到底有何含义？无限不循环吗？前面我们已经提到过，无限的含义十分微妙。如果按照数学家们一致认可的潜无穷，那么，所谓的“无限”不循环小数，指的是一串任意长的小数数字序列。对这个序列我们总是可以再向后数一位，使得它与那个无理数更加接近 – 一个任意长的不循环小数可以任意地接近一个无理数，但它不是那个无理数。在潜无穷的观念中，以所谓的“无限不循环”的方式构造无理数是永远不可能完成的。再比如说一根直尺，我们可以不断地把它细细分割，持续下去，直尺上任意一点，从直觉上看，难道不是总有一天会切割到吗？因为两个分割点之间的点，我们也任意细分的啊。那么，无理数又从何而来？事实上，直至近100多年前，人们才真正发现，直尺上的大多数点，并非可以用这种任意细分的方法切割到，而这，绝非一目了然。

代数的野蛮生长期“觉得好用就用了”、“觉得合理就认为正确”、或者“经验告诉我们”、“类比告诉我们”这种思想，更加让数学家们无法接受。他们一直在力图寻找类似几何的代数基础，以至于一直到这个阶段，代数仍然被看作是几何的一种附属物 – 哪怕在应用中它早已经独立成人了。

这一点是一个很有趣的现象，有点类似与早期的微积分，在创造了这些数学工具的数学家们忧心忡忡的时候，这些工具的使用者科学家和工程师们却兴高采烈地大步前进，用它们取得了一个接一个的累累硕果，而丝毫不担心所谓的“严谨性”。这种没有基础的冒进进一步加剧了数学家们的忧虑，然而在科学家们看来这纯属杞人忧天，拖了科学发展的后腿。很多科学家和数学家都对隔壁的傻X持有鄙视态度，直至今天，我们仍然可以看到很多关于“数学家vs科学家”的段子。例如温伯格曾经说过：

“历史上，数学家从来没有帮助、而是在一直掣肘科学的发展。”

费曼也说：

“数学之于物理学，就好像互利互惠。”

Anyway，我们回到话题。在笛卡尔创立了解析几何，用代数的方法对几何进行研究之后相当长的一段时间里，人们仍然认为解析几何知识一种艺术而不是一种数学：它只是一种方便的处理手法而已。但是人们终于开始渐渐地建立了实数与直线上的点一一对应这样的概念，虽然无理数仍然看似基础不牢，但还是渐渐被人接受 – 在数学家们进行具体工作的时候，可以没有太多负担地使用无理数了，但是一旦他们想起无理数的基础问题仍然会头疼。

在无理数尚存争议的时候，又一个麻烦制造者出现了，这就是虚数。虚数的出现近乎儿戏，人们只是因为√-1没有实数意义，而人为规定了一个“虚幻的数字”，硬加在它上面，成为一种纯粹的数学游戏。

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