数学是真理吗？柏拉图主义的困境（三）

人为规定？难道说一个作为绝对真理的数学可以开这种玩笑吗？这就是这个数字被冠以“虚数”这个名字的原因：人们不相信这是一个“真实的”数字。几百年以来大批的数学家对此吐槽不能。然而虚数这个概念像一颗顽强的种子，还是在数学鄙视链的最底端生根发芽，沿着夹缝生长起来。人们很快发现它的方便之处：高次方程的解法、微分方程理论等等。更何况，虚数在数学的应用领域中更加深受喜爱，如拉普拉斯变换、傅里叶变换，还有，在电路理论中也是无处不在 – 当然，这些应用可以被认为只是在形式上的简化，而并没有必然存在的要求，但是，既然虚数的存在极大地简化了这些理论形式 - 那么虚数还是“虚幻”的人为事物吗？如果它真的有存在的必要性，那它为何以这种儿戏的方式出场？

而后来，在量子力学中，虚数成立一种完全必要的存在 —— 它不再是一种理论形式上的要求了，而是实实在在的理论砖石。哪怕是从物理应用的要求，虚数也必然是一种数学实体，而不单单是一种“人造”的游戏。而虚数真的是太违反人们的数学原则了：它的出现就像是从石头里蹦出来一样，如此随意、主观。难道数学中可以允许这种人为的游戏吗？或者，整个数学理论就是一个人造的游戏？如果说人们对无理数、无穷等概念的疑虑仅仅是因为暂时无法找到一个坚实的基础，而人们仍然坚信这个基础是存在的，那么对虚数的这种看法就像是一个打开的潘多拉盒子，从根本上动摇了柏拉图主义的核心理念。

然而这还不是唯一的麻烦。欧洲的数学家在继承了古希腊几何之后，发现了其实人们一直坚信的几何学的牢固基础，也并非那么牢固。其中有些证明用到的是一些图形上直接看到关系，而不是来自任何公理或公设。比如说，欧几里得的第一条公理说完全重合的两个事物相等，并依次来证明三角形的全等。但是这中间有一个隐含的前提：三角形在平移的过程性质是不变的。这或许是一个合理的假设，但是它却是一个额外的假设，而且涉及到了一个额外的概念：“平移”。此外还有一些不严谨、甚至是错误的证明。

这些麻烦相对而言并不算大，人们可以对它打补丁、改进。最大的麻烦发生在人们对欧几里得第五公设的究根问底上。这个公设这样说，“若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边充分延伸后必定相交。” 这种陈述过于复杂，很难从直觉中直接想象。早在古希腊时代人们就在试图简化它，比如说，“过直线外一点有且仅有一条直线与之永不相交”。但是这种说法仍然令人不满，因为它暗示了“无限长”的直线。正如我们前面提到的“潜无穷”，我们可以谈论两条直线的“任意延伸”，但是“无限延伸”就令人不满了，谈论“无限长”的直线真的有意义吗？欧几里得那个叙述虽然过于复杂，但是却非常小心地避免了谈及“无限长”。于是，人们试图用归谬法论证：假设过直线外一点的所有直线都必然与之相交，然后再由此推出矛盾，那么就可以合理证明这个假设错误，因而平行线公设就必然成立 – 那么这个公设就被从公理系统中移除，变成一个定理，进而欧氏几何更加简洁可靠。

最早的工作在18世纪由萨谢利开始，他确实推出了很多看似荒谬的结论，因而他感到十分满意，认为第五公设的问题终于圆满了。然而后来人们发现，这些结论虽然违反人们的常识，但是却没有矛盾。后来，高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶三人分别独立作出了研究工作，事实令人大跌眼镜：在“不存在任何两条平行线”这样的前提下，虽然结论和欧氏几何不同，但是人们找不到任何矛盾！相反地，这种看似荒谬的前提却能够得到完全自洽的结论。于是，高斯渐渐地开始觉得，几何未必如大家一直以来所认为的，是必然存在的和必然正确的，而实际的物理空间可能是反欧几里得几何的。他说：

“I am coming more and more the conviction that the necessity of our geometry cannot be demonstrated, at least nether by, nor for, the human intellect.”（我越来越坚信，我们的几何的必要是无法证实的，至少被我们人类智慧、或在我们人类智慧中所证实。）

传说中高斯曾经亲自测量了欧洲的三座山峰构成的三角形，来求证内角和是否真的是180°。因为在他的非欧几何推论中，三角形的内角和是大于180°的。实际的测量结果是180°15’。但是这说明不了问题，因为在当时的测量手段中这种偏差远远低于测量误差。

随后高斯的学生黎曼开始认真考虑空间结构的问题：关于物理空间，我们究竟可以确信什么样的几何性质？哪一些是先验的、确定无疑的几何基础呢？他坚信欧几里得几何，但是后来他的研究结果众所周知，打破了这种信念。他在研究中创立了与欧氏几何完全相反的黎曼几何。不仅如此，他还证明了，存在着无穷多种非欧几何。

和欧氏几何一样，黎曼几何结构严谨，逻辑自洽，毫无纰漏。不同的是黎曼几何中平行线不存在。空间中任意两条直线都必然是相交的。这个令人震惊的结果却在当时没有让人们震惊。尽管后来又出现了若干其它不同版本的非欧几何，但是当时的人们的普遍观点是，是的，我们承认存在着逻辑自洽的非欧几何，但是，真正的物理空间必然还是欧式空间，一切非欧几何不过就是一些数学游戏而已。这和人们一开始对虚数的态度何其相似。

但是，既然欧氏几何和非欧几何都是逻辑上无懈可击的体系，我们有何理由偏爱欧氏几何呢？凭什么我们认为欧氏几何是绝对真理，而其它的体系都只是游戏呢[7]？有没有可能是相反的，非欧几何才是真理，而欧氏几何仅仅是个游戏？到底是什么让人们觉得欧氏几何才是“真的”空间几何？如果说，我们有一种方法可以很精确地重复高斯的实验，能否判断我们所处的空间到底是欧氏的还是非欧的呢？如果真的可以，那么几何学从根本上说是可以被我们的经验来判断的[8] – 那么数学就不是一种确定的、“必然正确”的体系，它和自然科学一样是可证伪的。如果说没有这种测试手段，那么欧氏几何和非欧几何从根本上说就是平权的，没有哪一种会更加优越，那么这是否说明根本不存在一个数学真理？上帝把数学抛弃了？

总而言之，在19世纪初，诸如实数理论、虚数理论、非欧几何、实无穷等等一系列的问题接踵而至，大大地动摇了人们最初对数学这种明确无误的真理所持有的柏拉图式信念。一场巨大的风暴隐隐露出端倪。

参考

1. 毕达哥拉斯学派的人对数字4有着一种蜜汁崇拜。比如他们认为自然由点、线、面、体四元性组成，后来则进一步有了土、气、水、火四元素说。据称毕达哥拉学派的誓词即包括“谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓，……”

2. 这是一个传说，实际是否如此我们不得而知。普罗科拉斯在给《几何原本》作注时写道：“听说，首先泄漏无理数的秘密者们终于悉数覆舟丧命。因为对不可说的和无定型的必须保密。凡揭露了或过问了这种生命的象征的人必定立遭毁灭 ，并万世都被永恒的波涛吞噬。”

3. 值得一提的是，你们的几何课本中把这些公设叫做“基本事实”。这一种叫法我持保留态度。“基本事实”隐含着这样一种含义：它是可以通过经验感知的、通过具体事物表现出来的现象，属于可以通过经验和观察验证的东西。而数学中的公设则是不证自明，在任何时候下都（假定为）绝对正确的。我不知道你们几何课本为何要把公设改名叫基本事实，可能是想要传达一种经验主义（或实践论）的观念？

4. 这个有别于现代意义上的物理学。

5. 当时，地心说为了符合天文观测，被迫一个个地增加所谓的“本轮”、“均轮”等“辅助圆”来描述天体运动。至日心说诞生时，它已经需要77个圆来了，这套理论正如哥白尼所言，已经到了令人难堪的地步。

6. 事实上，中国才是最早提出零和负数的文明，负数在中国文献记载中的出现比印度早了上千年。只不过中国同样对负数的逻辑基础和哲学含义并不在意，而且中国古代的数学成就并没有流传至西方，并对现代数学产生较大影响，因而容易被科学史研究者忽略。

7. 事实上，后来爱因斯坦的引力理论广义相对论就是建立在非欧几何基础上的：我们的物理空间似乎真的不是欧式空间。

8. 这个看似原则上可行的测量，其实并不见得可行。因为这需要一个严格的“直线”，而这种直线在实际测量中必须是由物理实体达成的，比如说，激光。我们用激光来测量三个山峰的距离和角度，的确可以判断内角和到底是不是180°，但是这涉及到了一个非数学前提：我们假设光线走的是直线。因而测量结果就不是纯数学的。那么原则上它也就不能证伪欧氏（或非欧）几何。比如说，根据相对论我们可以说，光线在引力场中弯曲，这是以欧氏几何来看的，我们也可以说空间是弯曲的，而光线走的是绝对直线，这是以非欧几何来看的。

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