柏拉图的数学与哲学（二）

理念数论及物质元素的几何结构

柏拉图的理念论在学园内部引起争论,他自己也意识到其中的“分有说”遇到困难。所以他在晚年一方面在《巴门尼德篇》和《智者篇》中提出“通种论”,即最普遍的种有三对:存在与非存在、动与静、同与异,它们既互相区别又互相联系;它们可以互相连接而成为集体,连接越多内容越丰富,于是,`种”的集体就成为个别事物。这样,他就避免了`分有说’带来的困难。另一方面,他在“线喻”中讲到数学在认识论中具有阶梯的作用后,在《Philebus》中又明确地讲到两种算术和两种几何。他把研究“两支军队、两头牛、两件很大的东西或两件很小的东西”这类不同计数单位的算术叫做普通算术(Popular arithmetic),而把研究数的各个单位都可以互相结合的抽象数的学问,叫做哲理算术(Philosophical arithmetic)。类似地,他把研究建筑学中的测量这类生产性技艺叫做普通几何学(Popular geometry),把抽象地研究图形的几何关系的学问叫做哲理几何学(Philosophical geometry)(〔10〕,55,56)。哲理数学的提出,说明柏拉图认为数学还具有哲理性的一面,更倾向于把数学在认识中的阶梯地位提升到理性的阶段。这就为他提出理念数论奠定了思想基础。同时,他又把毕达哥拉斯学派的`数本说’(数为万物之本原)与理念论结合起来,提出一种不成文的学说——理念数论。它其所以称为不成文的学说是,因为它只是在学园内部讲课时提出的,既未正式发表也不成体系,我们只能在亚里士多德的批判中略知梗概。

理念数论的基本思想是:1、理念是数;2、理念数的生成原则是,一和`不定的二’(indefinitedyad);3、理念数的实在性比数学数高一等级,因为“他们把数学数安置在理念数与可感觉数之间”(〔4〕,1090b35—36);4、理念数与数学数的区别,在单位的可结合性上,数学数的单位无例外地彼此可以互相结合;而理念数中不同数的单位是不能结合的,如`本2’的单位不能与`本3’的单位结合,其余的理念数也如此。在计数方面,也有区别(〔11〕,1080a24—35)。

尽管理念数论因为遇到许多麻烦,而成为一种不成文的理论。但是,在柏拉图看来,既然数等同于理念,成为万物的本原,作为数学的一部分的几何学,其研究的对象——点线面体也应该成为万物的本原,所以,他在《蒂迈欧篇》用它们来构造物质元素的几何结构。

他认为,构成物质世界的火、土、水、气四种元素都是物体,而每一种物体都占有体积,都是立体。立体必然被一些平面所包围,每一个平面直线图形都是由三角形组成。原始的三角形有两种:等边直角三角形和不等边直三角形。所以,“我们假设,这些三角形是火和其他物体的原始元素”(〔9〕,53C)。接着,他分别按照这两种三角形的不同组合和连接,构造出四种立方体:角锥体、立方体、八面体和二十面体。然后,根据这些立体图形的稳定性、体积的大小以及立体角的大小,结合四种元素的物理特点,分别把它们指派给火、土、气和水。他说:“我们把已经说明过其形成的那些图形分配给火、土、水和气。我们把立方体指派给土,因为在四种物体中土是最稳定的,而且最具有可塑性的,其基面最稳定的图形必定最符合那种描述;我们开头假定,如果取这些三角形作基面,那么依性质,等边三角形的面比不等边三角形的面更稳定;而且,由这两种三角形合成的两个等边面,其正方形无论从局部看还是从整体上看,都必然比三角形具有更稳定的基面。因此,我们将尽可能维持我们的理由,如果我们把这种图形指派给土;剩下的,把最小变动的图形指派给水,把最不稳定的图形指派给火,把稳定性方面居中的图形指派给气。另一方面,我们把最小的立体指派给火,把最大的立体指派给水,把大小适中的立体指派给气。其次,把最尖的角指派给火,接着分别指派给气和水。现在在所选取的图形中,面数最少的图形角锥体(pyramid)必定是最不稳定的,因为它的棱和角是最尖锐的。第二种立体是八面体(octahedron),它在这些关系中处于第二位,第三种立体是二十面体(icosahedron),它处于第三位”(〔9〕,55d,56a,b)。

因此,“可以把角锥体看作火的元素或种子;把依次生成的第二种立体图形(八面体)看作气元素;把第三种立体图形(二十面体)看作水的元素”(〔9〕,56b)。为什么这四种立体图形能够分别被看作土、水、火、气的元素呢?因为“我们必须设想,这些立体是如此之小,以致任何一种单个立体图形都是因为其小性(smallness)而看不见的,尽管把一定数目的立体图形聚合在一起时是看得见的。关于它们的数目、运动和性质,我们必须假定,上帝按照适当的比例调整它们,使得它们成为最精确、最完美的东西”(〔9〕,56b)。

柏拉图除了构造四种元素的几何结构以外,还研究火、气、水这三种元素及其几何结构图形是如何转化的,用以说明宇宙间万物的多样性和复杂性以及宇宙的演化。

柏拉图的物质元素的几何结构理论比德谟克利特的原子论和毕达哥拉斯学派的数本说前进了一步,他猜到物质元素具有数学形式,并用几何结构来表述。他的这一思想得到现代物理学家的肯定。当代理论物理学家和原子物理学家W.海森伯说:“在德谟克利特的哲学中,原子是物质的永恒的、不可毁灭的单位,它们决不能互相转化。关于这个问题,现代物理学采取了明确地反对德谟克利特的唯物主义而支持柏拉图和毕达哥斯的立场。基本粒子的确不是永恒的、不可毁灭的物质单位,它们实际上能够互相转化。……,现代观点和柏拉图与毕达哥拉斯的观点的类似性还多少能进一步发展”(〔6〕,34—35页)。

同时,W.海森伯也承认自己受柏拉图和毕达哥拉斯的影响:“柏拉图的《蒂迈欧篇》中的基本粒子最终不是实体,而是数学形式。`万物皆数’,这是毕达哥拉斯的名言。那时唯一应用的数学形式是这样一些几何形式,例如正多面体或构成它们表面的三角形。在现代量子论中,无疑地,基本粒子最后也还是数学形式,但具有更为复杂的性质”(〔6〕,35页)。综上所述,柏拉图是在寻找如何从可见世界进入可知世界的过程中建立他的数学哲学的:数学是使灵魂脱离变化世界进入实在世界的学问;数学对象具有居间的性质,数学家的心理状态是介乎理性与意见之间的理智;由于数学研究的对象和方法存在着局限性,所以它虽然对实在有了某种认识,但只是象做梦似地看见实在;数学对象是存在的,但它是分离独立存在于可感事物之外的。他在晚年为克服理念论的困难,把理念论与毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的理论结合起来,提出一种不成文的理念数论,构造了物质元素的几何结构形式。

〔1〕 柏拉图:《理想国》,郭斌和、张竹明译,商务印书馆,1986.

〔2〕 柏拉图:《巴门尼得斯篇》,陈康译,商务印书馆,1982.

〔3〕柏拉图:《泰阿泰德智术之师》,严群译,商务印书馆,1963.

〔4〕亚里士多德:《形而上学》,吴寿彭译,商务印书馆,1981.

〔5〕北京大学哲学系外国哲学史教研室编译:《古希腊罗马哲学》,商务印书馆,1982.

〔6〕W.海森伯:《物理学和哲学:现代科学中的革命》,商务印书馆,1981.

〔7〕范明生:《柏拉图哲学述评》,上海人民出版社,1984.

〔8〕A.E.泰勒:《柏拉图——生平及其著作》,谢随知等译,山东人民出版社1991.

〔9〕Timaeus, The Dialogues of plato, Vol.3, B.Jowett ed., OxfordUnivetsity press, 1892 Thirded., 1924I mpression.

〔10〕Philebus, The Dialoguesof Plato, Vol.4, B.Jowett ed., Oxford University Press, 1892 Thirded., 1924 Impression.

〔11〕The Works of Aristolte,Vol. Ⅲ, W. D. Rossed., Oxford,Second, 1928.

〔12〕J. N. Findlay, Plato:The Written and Unwritten Doctrines, New York, Humanities Press, 1974.

〔13〕A. Wedberg, Plato's Philosophyof Mathematics, Appelbergs Boktryckeri A B, 1955.

〔14〕F. M. Cornford, Plato'sCosmology, London, 1937.

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