Sierpinski 维

例子: 拓扑系统

考虑点集函子Γ：Loc → Set. 它有全忠实的左伴随 Disc：Set → Loc， 把集合 S 映为相应的离散空间.

Disc(S) → X

──────.

S → Γ(X)

这是因为

Loc(Disc(S)，X) ≅ Frm(O(X)，P(S))，Γ(X) ≅ Frm(O(X)，O(1))，所以

Set(S，Γ(X)) ≅ ∏ Frm(O(X)，O(1)) ≅ Frm(O(X)，P(S)).

然而Γ 没有右伴随. 我们可以考虑逗号范畴：

Set/Γ

• 对象：三元组 (S，X，iₛ：S → Γ(X)).

• 态射：二元组 (fₛₑₜ：S → T，fʟᴏc：X → Y)，使得图表交换.

它恰是[1]中的 "topological system" 的范畴, 因此不妨记为TopSys. 我们用[1]中的记号重新定义它.

Definition. 一个拓扑系统 (topological system) D 包含一个集合 |D|，称为它的点集, 以及一个 frame O(D)， 其中的元素称为 D 的开集，以及|D| × O(D) 上的二元关系 ╞， 满足

• 对于 U₁，· · ·，Uₙ ∈ O(D)，x╞ ∧Uᵢ当且仅当对任意 i，x╞ Uᵢ； ᵢ

• 对于 (可能无穷的) 开集族 {Uᵢ}ᵢ∈ₗ，x╞ ∨Uᵢ

ᵢ

当且仅当对某个 i，x╞ Uᵢ.

拓扑系统D，E 之间的一个连续映射 f：D → E 包含：

• 点集上的映射 f：|D| → |E|；

• 反向的 frame 同态 f⁻¹：O(E) → O(D)；

• 使得 x╞ f⁻¹ (V) ⇔ f(x)╞ V.

它自带若干伴随：

• "取点集"函子 │–│：TopSys → Set 兼有全忠实的左右伴随 Disc ⊣│–│⊣ coDisc：

Disc(S) 为 S 赋予拓扑 P(S)，coDisc(S) 为 S 赋予拓扑 2＝{⊤，⊥}.

• "忘却"函子 TopSys → Loc 也兼有全忠实的左右伴随, 分别给 frame 赋予空集作为点集, 和它寻常意义上的点集.

(∅，O(X)) → D

───────，

O(D) → O(X)

D → (|X|，O(X))

───────.

O(X) → O(D)

进一步地，│–│ 是个纤维化 (Grothendieck fibration)：任何函数 f：X → |D| ∈ Set 都给出"把 X 的点放进 D 的拓扑"的资料，即一个拓扑系统 Dx，使得：

• |Dx|＝X；

• O(Ox)＝O(D)；

• x╞ U ⇔ f(x) ∈ U.

于是X → |D| 可以被提升为 Dx → D， 容易验证它 cartesian.

Sierpinski 锥

下面考虑一般情况，参考 Shulman 的博文[2].

设有"忘却"函子U：C → S，其中 S 中的对象想象为无结构的集合，C 想象为某种空间的范畴, 我们假设 U 是个同构纤维化，即如果 S ≅ U (X) ∈ S，则这个同构可以被唯一地提升到 C.

称C 有离散对象, 如果 U 有全忠实的左伴随 Disc； 称 C 有余离散对象, 如果 U 有全忠实的右伴随 coDisc.

Theorem. 设 C 有终对象 1 且被 U 保持. 如果 U 是纤维化，则 C 有余离散对象.

Proof. 首先考虑一个断言：

Claim. 对任意对象 S ∈ S，S → 1 ∈ S 的 U-cartesian 提升唯一.

Proof of Claim. 拆开 U-cartesian 的定义, 我们得到：如果 X → 1 是 S → 1 的 U-cartesian 提升，那么 X 满足下面的可表性：

C(–，X) ≅ S(U–，S).

由抽象废话，X 唯一. □ᴄₗαᵢₘ

定义：coDisc：S → C 把 S 映到 S → 1 的提升. 根据上面的断言, 我们知道：

C(–，coDisc(S)) ≅ S(U–，S).

即U ⊣ coDisc.

还需证明coDisc 全忠实, 它可以由 cartesian 态射的定义直接得到. □

因此│–│：Loc → Set 不是纤维化.

另一方面：

Theorem. 设 C 有拉回且被 U 保持，且 C 有余离散对象 U ⊣ coDisc，则 U 是纤维化.

Proof. 设有 X ∈ C，f：S → UX ∈S. 我们需要构造 f 的 cartesian 提升.

考虑f：coDisc(S) → coDisc(UX).另一方面，我们有单位 X → coDisc(UX). 考虑这两个态射的拉回 f* (X). 这个拉回方块被 U 保持，但是：

• f：coDisc(S) → coDisc(UX) 被 U 映到 f：S → UX；

• X → coDisc(UX) 被 U 映到 1UX：UX → UX.

所以这个S 中的拉回，无非是 f 和 1UX 的拉回，即 U(f*(X))＝S.

于是我们把f*(X) → X 定义为 f：S → UX 的提升. Cartesian 性质同样容易验证. □

也就是说，如果C 有有限极限且被 U 保持, 则它有余离散对象, 当且仅当它是个纤维化. 对偶地, 如果 C 有有限余极限且被 U 保持，则 C 有离散对象当且仅当它是个反纤维化 (opfibration).

假设C 没有离散或余离散对象, 我们可以构造出一个范畴, 其中的对象是"S 的对象，但带上 C 中的结构", 即逗号范畴 S/U. 这个范畴叫做 C 在 S 上的 Sierpinski 锥, 简称为 scone. 其中的对象形如 (S，X，S → U(X)).

S/U 自带若干函子：

• "点集"函子 U'：S/U → S，U'(S → U(X))＝S.

• "拓扑"函子 i*：S/U → C，i*(S → U(X))＝X.

• i* 有个右伴随 i*：C → S/U，

1U(X)

i*(X)＝(U(X)) → U(Ⅹ))·

容易验证U'◦i* ≅ U，于是我们有这样的图表:

i*

↶

⊥

C → S/U

U ↘ i* ↙ U'

S

SierpinskiCone1

Lemma. U'：S/U → S 是个纤维化.

Proof. 对于 (S → U(X)) ∈ S/U，T → S 的提升是 (T → S → U(X)). 容易验证典范的态射 Cartesian. □

这个构造可以理解为 "把(S → U(X)) 上的拓扑沿着 T → S 拉回到 T 上".

直观上，(S → U(X)) 说 S 中的每个点对应于 X 中的某个点.

• 如果 S → U(X) 不是单射, 这意味着 (S → U(X)) 有些以 X 的拓扑无法区分的点；

• 如果 S → U(X) 不是单射, 这意味着 (S → U(X)) 有些空出来的拓扑，能容纳更多的点.

Corollary. 如果 C 有终对象且被 U 保持，则 U' 有个全忠实的右伴随 coDisc'.

Proof. 设 C 的终对象是 1，因为 i* 是右伴随, 所以 i*(1) ∈ S/U 也是终对象. 而在 S 中，U(1) ≅ U'◦i*(1) ∈ S 是终对象. 换言之，U'：S/U → S 保持终对象. 又因为 U' 是纤维化，所以 U' 有全忠实的右伴随 coDisc'. □

i*

↶

⊥

C ─ i* → S/U

↘ ⁄

U'

⊥

U ↙

↺

S coDisc'.

Corollary. 如果 C 有终对象且被 U 保持，且 i* 有个全忠实的右伴随 i！ , 则 C 有余离散对象.

Proof. coDisc：＝i！◦coDisc'.

Corollary. 如果 C 有拉回且被 U 保持，且 C 有余离散对象，则 i* 有右伴随 i！.

Proof. 我们知道在这个条件下, U 有右伴随 coDisc.

定义i！：S/U → C 为：给定 (S → U(X)) ∈ S/U，则态射 S → U(X) ∈ S，coDisc(S) → coDisc(U(X)) ∈ C. 定义它和单位 X → coDisc(U(X)) 的拉回为 i！(S → U(X)). 伴随性容易验证 □

另一方面，

Theorem.

• U 有左伴随 Disc 当且仅当 U' 有左伴随 Disc'.

• U 的左伴随全忠实当且仅当 U' 的左伴随全忠实.

Proof. 设 Disc ⊣ U，定义 Disc'：S → S/U 为 Disc'(S)＝(S → U(Disc(S))). 其余部分容易验证. □

拓扑空间

Definition. 设 U：C → S 有余离散对象. 称 X ∈ C 具体 (concrete)，如果 X → coDisc(U(X)) 是单态射.

等价地，U 在全体以 X 为目标的态射上忠实.

对偶地，设C 有离散对象. 称 X ∈ C 余具体, 如果 Disc(U(Ⅹ)) → X 是个满态射. 等价地，U 在以 X 为来源的态射上忠实.

设C 有终对象且被 U 保持，则 S/U 有余离散对象, 其中的具体对象恰是子终对象.

另一方面, 设C 有离散对象，则 S/U 中的对象 (S → U(X)) 余具体, 当且仅当它的转置 Disc(S) → X 是满态射. 在拓扑系统的例子中，余具体对象恰是拓扑空间.

参考文献

[1] Seven VickersTopology via Logic.

[2] Mike ShulmanDiscreteness, Concreteness, Fibrations, and Scones.

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