【泛函分析】共鸣定理

定理1：（共鸣定理）设 {Tα} (α∈A) 是定义在巴拿赫空间 E 上而值域包含在赋范线性空间 E₁ 中的线性算子族，如果对每个 x∈E ，有

sup{||Tαx||}＜∞，

α∈A

则{||Tαx||} (α∈A) 有界，或者说 {Tα} (α∈A) 一致有界。

这个结论是十分惊人的，比如{1，2，3，· · ·，n，· · ·} 中每个数是有限的，但是整个集合是无界集合，这样的例子十分常见，但是共鸣定理却一反常态，出人意料。

下面我们来看它的证明：

证明：任取一个指标 γ ∉ A ，令 A₁＝A∪{γ} ，规定 Tᵧ＝l 。在巴拿赫空间 E 上再定义一个范数：

||x||₁＝sup||Tαx||＝max(||x||，sup||Tαx||)，x∈E，α∈A α∈A

由于||Tᵧx||＝||x|| ，所以 ||x||₁ ≥ ||x||，又根据 sup {||Tαx||}＜∞，

α∈A

我们有 ||x||₁＜∞， || · || 显然满足 ||αx||₁＝|α| ||x||₁ 以及 ||x||₁ ≥ 0 ， ||x||₁＝0 当且仅当 x∈θ 。现在证明它满足三角不等式：

||Tα(x＋y)|| ≤ ||Tαx||＋||Tαy|| ≤ sup ||Tαx||＋sup||Tαy||＝||x||₁＋||y||₁. α∈A₁

α∈A₁

因此

||x＋y||₁＝sup||Tα(x＋y)|| ≤ ||x||₁＋||y||₁.

α∈A₁

现在证明X 按照 || · ||₁ 称为巴拿赫空间，事实上如果 {xₙ} 按 || · ||₁ 是基本点列，由于 || · || ≤ || · ||₁，所以{xₙ} 按 || · || 也是基本点列。因此有 x₀ ，使得 ||xₙ – x₀|| → 0.

现在我们证明{xₙ} 按|| · ||₁收敛于 x₀ ：对任何 ϵ＞0 ，必存在 N ，当 n，m ≥ N 时

ϵ

||xₙ – xₘ||＜─，

2

ϵ

当α∈A₁ 时， ||Tα(xₙ – xₘ)||＜─

2

令 m → ∞ 得到

ϵ

||Tα(xₙ – xₘ)|| ≤ ─.

2

所以当n ≥ N时

ϵ

||xₙ – x₀||₁ ≤ ─＜ϵ

2

根据上次笔记中的推论，存在正数c ，使得 ||x||₁ ≤ c||x|| 对一切 x∈X 成立，也就是说 {||Tα||} (α∈A) 有界，其上界不超过 c 。

共鸣定理告诉我们，若{Tαx} (α∈A) 对每个 x∈E 有界，则与此“共鸣”，可以导出 {Tα} (α∈A) 一致有界，因此共鸣定理又称为一致有界原理（或 巴拿赫-斯坦因豪斯定理）。

作为共鸣定理理论上的应用，我们来研究算子列按强算子拓扑收敛的性质，我们分为三个问题来研究：

第一个问题：按强算子拓扑收敛的算子列是否一致有界？

第二个问题：算子列满足什么条件便按强算子拓扑收敛？

第三个问题：B(E，E₁) 关于算子列按强算子拓扑收敛是否完备？也就是说，若对每个 x∈E ， {Tₙx} 是 E₁ 中的基本点列，是否存在 T∈B(E，E₁) ，使得 {Tₙ} 按强算子拓扑收敛于 T ？

先回答第一个及第二个问题：

定理2：设{Tₙ} (n＝1，2，3，· · ·) 是由巴拿赫空间 E 到巴拿赫空间 E₁ 中的有界线性算子列，则{Tₙ}按强算子拓扑收敛于某一算子 T∈B(E，E₁) 的充分必要条件：

（i）{Tₙ} (n＝1，2，3，· · ·)一致有界；

（ii）存在E 的某个稠密子集 G ，使得对一切的 x∈G , {Tₙx} 在 E₁ 中收敛。

当（i）,（ii）满足时，{Tₙ}的极限算子 T 的范数满足：

||T|| ≤ lim inf||Tₙ||.

n→∞

证明：

必要性：设{Tₙ}按强算子拓扑收敛于某一算子 T 则对每个 x∈E ， {Tₙx} 有界，由定理1，我们知道 {Tₙ} 一致有界，故（i）成立，至于（ii），取 G＝E 便知道它也成立。

充分性：因为{Tₙ} 一致有界，故存在 M＞0 ，使得对一切的 n＝1，2，3，· · · ，有 ||Tₙ|| ≤ M .任取x∈E。由于 G 在 E 中稠密，对于任给的 ϵ＞0 ，存在 y∈G ，使得

ϵ

||x – y||＜──.

3M

由条件（ii），{Tₙx} 的在 E₁ 中收敛，故存在 N＞0 ，使得对一切 n＞N 以及任意的自然数 k ，有

ϵ

||Tₙ₊ₖy – Tₙy||＜─ .

3

于是

||Tₙ₊ₖx – Tₙx|| ≤ ||Tₙ₊ₖx – Tₙ₊ₖy||＋||Tₙ₊ₖy – Tₙy||＋||Tₙy – Tₙx||＜ϵ

故{Tₙx} 是 E₁ 中的基本点列。由于 E₁ 完备，故{Tₙx}在 E₁ 中收敛，记

Tx＝lim Tₙx(x∈E)，

n→∞

则T 在 E 上有定义。由于每个 Tₙ 都是由 E 到 E₁ 中的线性算子，故 T 也是由 E 到E₁ 中的线性算子。再根据

||Tx||＝lim ||Tₙx||＝lim inf||Tₙx|| ≤ lim inf↓

n→∞ n→∞ n→∞

→(||Tₙ|| ||x||)＝(lim inf||Tₙ||)||x||

n→∞

可知T 有界，且

||T|| ≤ lim inf||Tₙ||

n→∞

注意该定理证明过程中充分性部分没有用到共鸣定理，故对充分性部分只需假定E 是赋范线性空间。

下面我们回答第三个问题：

定理3：设 E，E₁ 都是巴拿赫空间，则 B(E，E₁) 关于算子列按强拓扑收敛是完备的。

证明：设 {Tₙ} ₙ∈ℕ ⊂ B(E，E₁) 是有界线性算子列，且设对每个 x∈E ， {Tₙx} 是 E₁ 中的基本点列，于是{Tₙx}有界。由共鸣定理可知 {Tₙ} 一致有界。另一方面，由于 E₁ 完备，故 {Tₙx} 在E₁中收敛，故根据定理2， {Tₙ} 按强算子拓扑收敛于某个有界线性算子 T∈B(E，E₁).

注意：1范数的定义，下标应该是A1

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