【SEP】数学与哲学唯名论 布埃诺·奥塔维奥（一）

数学与哲学中的唯名论 Nominalism in the Philosophy of Mathematics

原作者：Bueno, Otávio‬

URL: plato.stanford.edu/entr...

Translator: Demian

Proofreader：Demian

关于数学的唯名论（或数学唯名论）是一种认为要么根本不存在数学对象、关系和结构，要么它们不作为抽象对象存在（它们既不在时空中，也不具有因果关系）的观点。在后一种情况下，唯名论提供了一些适合数学对象的具体替代方案。广义上讲，数学唯名论有两种形式：需要对数学（或科学）理论进行重新表述以避免对数学对象的承诺的观点（例如，Field 1980；Hellman 1989），以及不重新制订数学或科学理论新形式，而是提供使用这些理论时不涉及对数学对象的承诺的说明（例如Azzouni 2004）的观点。本文对这两种形式的唯名论进行了研究，并根据它们如何解决数学哲学中的五个核心问题（即处理认识论，本体论和数学中可应用性的问题，以及使用统一语义的问题与按字面意思理解数学和科学理论的条件）来评估它们。

1.关于数学的两种观点：唯名论和柏拉图主义

在关于数学的本体论讨论中，有两种观点是突出的。根据柏拉图主义的观点，数学对象（以及数学关系和结构）不仅存在并且是抽象的。也就是说，它们不在时空中，与我们没有因果关系。尽管这种对抽象对象的描述是完全消极的（处理）——即仅表明这种对象不是什么——但在数学的背景下，它抓住了有关对象应该具有的关键特征。而根据唯名论的观点，不存在数学对象（包括数学关系和结构），或者至少不需要为了我们理解数学而将它们视为存在。因此，唯名论者的责任在于如何在不承认数学对象的存在的同时解释数学。实际上，这是唯名论的一个关键特征：捍卫这一观点的人需要表明，只使用微不足道的本体论，也有可能产生至少与柏拉图主义者所获得的解释性工作一样多的解释性工作。为了实现这一目标，数学哲学中的唯名论者加强了与形而上学（无论是否存在数学对象）、认识论（我们对这些实体拥有什么样的知识）和科学哲学（如何在不致力于数学实体存在的情况下理解数学在科学中的成功应用）的联系。这些相互联系是各种唯名论观点的来源之一。

尽管唯名论和柏拉图主义之间存在实质性差异，但它们至少具有一个共同点：两者都以多种形式出现。在数学哲学中，柏拉图主义有多种版本：标准（或基于对象的）柏拉图主义（Gödel1944，1947; Quine 1960），结构主义（Resnik 1997; Shapiro 1997）和满血的（Full Blooded）柏拉图主义（Balaguer 1998）等等。同样，唯名论也有几种形式：虚构主义（Field 1980，1989），模态结构主义（Hellman 1989，1996），构造主义（Chihara 1990），逃避式观点（Melia 1995，2000），比喻主义（Yablo 2001），紧缩唯名论（Azzouni 2004），不可知唯名论（Bueno 2008、2009）和伪装式观点（Leng 2010）等等。与诸柏拉图主义的同行相似，各种唯名论的提案拥有不同的动机，以应对自己的困难。而这些将依次进行探讨。（可以在Burgess和Rosen（1997）中找到对数学中各种唯名论策略的批判性调查。作者详细论述了数学哲学中由唯名论提出的技术性的和哲学性的问题。）

20世纪数学哲学中关于唯名论的讨论大致始于W. V. 蒯因和纳尔逊·古德曼向建构性唯名论发展的工作（Goodman and Quine 1947）。但是，正如蒯因（Quine）后来指出的，最后对类别进行量化是必不可少的（Quine 1960）。正如接下来要说明清楚的那样，对这种不可或缺性论证的回应为唯名论者提供了大量的工作。而正是对不可或缺性论证的关注，在很大程度上将数学哲学中较新的唯名论观点（我将重点关注）与20世纪初波兰逻辑学派发展的唯名论区分开来（Simons 2010）。

数学唯名论是关于抽象对象的一种反实在论形式。这是与讨论普遍性问题的传统唯名论无关的问题。根据一种广泛的用法，普遍性是指可以被不同实体所实例化的东西。由于抽象对象既不是空间对象也不是时间对象，因此无法将其实例化。因此，数学上的唯名论和关于普遍性的唯名论是彼此独立的（参见关于 形而上学的唯名论的条目）。可以说某些集合封装了实例化模型，因为具体对象的集合可以被此类对象实例化。但是，由于同一个集合不能被如此实例化，考虑到集合是由其成员成为个体的，只要其成员不同，所产生的集合就不一样，因此，即使是这些集合也不清楚是否被实例化了。我将在这里集中讨论数学唯名论。

2.五个问题

在当代数学哲学中，唯名论是为应对柏拉图主义所面临的困难而提出的。但是，在发展对柏拉图主义的回应时，唯名论者也遇到了自己的困难。在这种情况下，需要解决五个问题：

1、数学的认识论问题

2、数学的可应用性问题

3、统一的语义学

4、从字面上讲数学话语

5、本体论问题

通常，问题（1）和（5）被认为是柏拉图主义的难题，而问题（2），（3）和（4）通常被认为是唯名论的难题。（我将在下面讨论这种评估在多大程度上是正确的。）将依次检查这些问题中的每一个。

2.1数学的认识论问题

鉴于柏拉图主义假定了数学对象的存在，就产生了关于我们如何获得有关它们的知识的问题。数学的认识论问题是解释数学知识的可能性的问题，因为数学对象本身在产生我们的数学信念方面似乎没有发挥任何作用（Field 1989）。

对于柏拉图主义，这被认为是一个特殊的问题，因为这种观点假定了数学对象的存在，并且人们希望这样的对象在数学知识的获取中发挥作用。毕竟，在柏拉图主义的观点上，这种知识是关于相应的数学对象的。但是，尽管柏拉图主义者进行了各种复杂的尝试，但是关于如何准确地表达此过程仍然存在很大的争议。是应该通过数学直觉，引入合适的数学原理和定义来理解它，还是需要某种形式的抽象？

反过来，认识论问题对唯名论者的问题要少得多，他们并不致力于承认数学对象的存在。但他们将不得不解释其他的问题，例如，唯名论者如何解释掌握大量数学知识的数学家与不懂数学的非数学家之间的区别？根据一些唯名论者的观点，这种差异是基于经验和逻辑知识，而不是基于数学知识（Field 1989）。

2.2数学的可应用性问题

数学通常成功地被应用于科学理论中。如何解释这种成功？而柏拉图主义者对这个问题有一个答案。鉴于数学对象存在并成功地被我们的科学理论所引用，这样的理论是成功的就不足为奇了。对数学对象的引用只是我们世界中最好的理论必不可少的那些实体所引用的一部分。就不可或缺性论证而言，这构成了数学可应用性的问题。

实际上，相信数学对象存在的主要原因之一——有人说这是唯一没有问题的原因（Field 1980）——是由于数学在科学中的不可或缺的应用而给出的。这一思想的关键最初由蒯因提出，后来由普特南以不同的方式表达，本体论承诺应仅限于那些对于我们世界中最好的理论而言不可或缺的实体（Quine 1960； Putnam 1971；Colyvan 2001a）。马克·科利文（Mark Colyvan）用以下术语表述了这一论点：

（P1）我们应该在逻辑上致力于所有事物，并且只致力于那些对于我们世界中最好的理论而言不可或缺的实体；

（P2）数学实体对我们世界上最好的理论而言是不可或缺的；

因此，（C）我们应该在本体论上致力于承认数学实体的存在。

第一个前提主要取决于蒯因的本体论承诺标准。在用一阶逻辑语言对我们世界上最好的理论进行调控之后，这些理论的本体论承诺可以被解读为是存在性量化的变量的价值。但是，我们如何从一个理论上的本体论承诺转向我们应该在本体论上承诺的内容？这是不可或缺性论证的第一个前提出现的地方。如果我们处理的是我们关于世界的最好理论，那么，恰恰是这些理论所不可或缺的那些东西，就是我们应该承诺的东西。 (当然，一个理论可以对更多的对象进行量化，而不是对那些不可或缺的对象进行量化。）通过确定在解释各种现象时援引的不可或缺的成分，并注意到数学实体就在其中，柏拉图主义者就能对应用数学的成功做出解释。

然而，事实证明，柏拉图主义者是否可以解释数学应用的成功是有争议的。由于数学对象是抽象的，因此尚不清楚为什么这样的实体假设有助于理解应用数学的成功。因为物理世界是由时空中的物体组成，而不是由柏拉图主义者所假定的实体构成的。因此，不清楚为什么对抽象（数学）实体之间关系的正确描述甚至与理解数学应用所涉及的物理世界中的具体物体的行为有关。仅仅提到物理世界实例化了由各种数学理论笼统描述的结构（或子结构）是不够的（参见Shapiro 1997）。因为存在着无限多的数学结构，并且没有办法唯一地确定它们中的哪一个实际上被实例化了，或者甚至只是部分地被实例化在物理世界的一个有限区域中。鉴于世界上相同的物理结构可以通过非常不同的数学结构来容纳，因此这里存在真正的不确定性。例如，量子力学现象可以用群论结构（Weyl 1928）或希尔伯特空间理论中出现的结构（von Neumann 1932）来表征。从数学上讲，这种结构非常不同，且无法凭经验确定它们之间的关系。

尽管柏拉图主义声称能够解释应用数学的成功是有争议的，但适应这种成功往往被视为柏拉图主义的一个重要好处。争议较少的是，柏拉图主义者当然能够描述数学理论在科学实践中的实际使用方式，而不必重写这些理论。正如下文将明确的那样，这是该观点的一个重要好处。

反过来，唯名论面临着必须解释在科学理论化中成功使用数学的困难。因为根据唯名论，数学对象并不存在，或者至少不被认为是存在的，所以不清楚提及这些实体如何有助于科学理论的经验性成功。特别是，如果事实证明，对数学实体的引用确实是我们关于世界上最好的理论所不可或缺的，那么唯名论者怎么能否认这种实体的存在？正如我们将在下面看到的，数学哲学中出现了几种唯名论的观点，以回应基于数学的不可或缺性的考虑所提出的挑战。

2.3统一的语义学

柏拉图主义最重要的特征之一是，它使我们能够在数学和科学话语中采用相同的语义。在存在数学对象的情况下，数学陈述的正确性与科学陈述的正确性相同。唯一的区别来自于他们各自的真之创造者(truth makers) ：数学陈述凭借抽象（数学）对象及其之间的关系是正确的，而科学陈述最终凭借具体对象以及此类对象之间的对应关系才是正确的。这一点是理想化的，因为它假设我们能够以某种方式设法提炼出科学陈述的经验内容，而不考虑通常用来表达这些陈述的数学所做的贡献。捍卫不可或缺性论证的柏拉图主义者坚持认为这是不可能做到的（Quine 1960； Colyvan 2001a）。甚至一些唯名论者也同意（Azzouni，2011年）。

此外，正如数学应用中的典型情况一样，也有一些混合语句，其中既涉及指称具体对象的术语，也涉及指称抽象对象的术语。柏拉图主义者也毫不费力地为此类陈述提供统一的语义，特别是当数学柏拉图主义与科学实在论相关联时。在这种情况下，柏拉图主义者可以始终提供引用语义。当然，数学柏拉图主义者不需要成为科学实在论者——尽管以这种方式将柏拉图主义和实在论相结合是很常见的。原则上，柏拉图主义者可以对科学采取某种形式的反实在论，例如建构性经验主义（van Fraassen 1980；Bueno 2009）。只要关于科学的反实在论形式允许引用语义（很多都可以），柏拉图主义者就不会为数学和科学提供统一的语义（Benacerraf 1973）。

尚不清楚唯名论观点能否带来这些好处。但很显然的是，大多数唯名论主张都需要对数学语言进行大量重写。而这种做法与为科学话语提供语义相比，需要为该语言提供独特的语义。

2.4从字面上接受数学话语

柏拉图主义的一个好处是，只要提及数学术语，它就可以让人们从字面上接受数学论述。特别是，数学语句的语法没有变化。因此，当数学家声称“有无穷多个质数”时，柏拉图主义者可以按字面意思来描述该无穷质数的存在。在柏拉图主义者看来，数学陈述有明显的真之创造者：数学对象及其相应的属性和关系（Benacerraf 1973）。

我们这里有柏拉图主义的一个主要好处。如果数学哲学的目标之一是提供对数学和数学实践的理解，那么柏拉图主义者能够从字面上理解这种实践的产物——如数学理论——而不需要重写或重新表述它们，这是一个重要的优势。毕竟，柏拉图主义者就有能力考察数学理论，因为它们实际上是在数学实践中形成的，而不是讨论那些避免对数学对象做出承诺的人（如唯名论者）对数学的各种重构所提供的平行论述。

无法从字面上理解数学话语对于唯名论者来说确实是一个问题，他们通常需要重写相关的数学理论。如下文所述，数学的唯名论化策略改变数学语句的语法或语义是很常见的。例如，在模态结构主义的情况下，引入模态算子是为了保持与柏拉图主义者的语句一致（Hellman 1989）。其建议是，每个数学语句S被转化为两个模态语句： (1) 如果有合适的结构，S在这些结构中就会是真的， (2) 有可能存在这样的结构。因此，数学的语法和语义都被改变了。在数学虚构主义的情况下，为了在否认数学对象存在的情况下保持与柏拉图主义者的言语一致，引入了虚构算子（例如，根据算术……）（Field 1989）。由此产生的建议再一次改变了数学话语的语法（也就是语义）。这是这些观点的一个重要代价。

2.5本体论问题

本体论问题包括具体说明数学的哲学概念在本体论上所承诺的对象的性质。这些对象的性质能够被适当地确定吗？这些对象是否就是我们缺乏充分理由相信它们的存在？传统形式的柏拉图主义被批评为未能为这个问题提供充分的解决方案。作为回应，一些柏拉图主义者认为，对数学对象的承诺既没有问题，也不神秘(例如，Hale、Wright 2001) 。同样，即使一些唯名论者不需要对数学对象做出承诺，他们也可能对其他实体做出承诺，这些实体也可能引起本体论的关注(如possibilia)。那么，本体论问题就是评估该观点的最终承诺的地位的问题。

下面将讨论三种唯名论策略：数学虚构主义（Field 1980，1989），模态结构主义（Hellman 1989，1996）和紧缩唯名论（Azzouni 2004）。前两中策略拒绝不可或缺性论证的第二个前提。通过唯名论者需要发展复杂而艰巨的工作来表明，如何避免对数学对象进行量化以发展对数学的适当解释，它们为唯名论提供了“艰难之路（hard road）” （Colyvan，2010）。第三种策略拒绝了不可或缺性论证的第一个前提，从而绕过了论证数学可有可无的必要性（事实上，对于紧缩唯名论者来说，数学最终是不可缺少的）。通过重新评估蒯因的本体论承诺标准，并指出对某些对象的量化并不要求它们的存在，这一策略产生了一条通往唯名论的“简易之路（easy road）” 。

虽然这项调查显然不是详尽的，因为这里不会考虑每一种可用的唯名论观点，但所讨论的三种观点是有代表性的：它们占据了逻辑空间中的不同点，而且它们被明确地发展为解决刚刚列出的各种问题。

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