【SEP】数学与哲学唯名论 布埃诺·奥塔维奥（二）

3.数学虚构主义

3.1数学虚构主义的主要特征

在一系列著作中，菲尔德（Hartry Field）为科学的唯名论化提供了巧妙的策略（Field 1980，1989）。与柏拉图主义的观点相反，为了解释数学在科学中的可应用性，菲尔德并不假定数学理论的真实性。他认为，可以无需致力于数学对象而解释数学在科学中的成功应用。因此，他抵制了柏拉图主义的主要论点，即数学对科学的不可或缺性。菲尔德论述的唯名论性质来自于数学对象不被假设为存在的事实。因此，数学理论是虚假的。 (严格地说，菲尔德指出，任何关于存在性的数学陈述都是假的，而任何普遍性的数学陈述都是空洞的真实）。通过设计一种策略，说明如何在制定科学理论时免除数学对象，菲尔德拒绝了不可或缺性论证，并为阐述唯名论立场提供了强有力的理由。

初步看来， “有无穷多的质数”是假的，这听起来可能有悖常理。但如果数字不存在，这就是该语句的正确真值（假设有标准语义）。为了回应这一关切，菲尔德在1989年引入了一个虚构算子，通过这个算子可以与柏拉图主义者达成口头协议。在目前的情况下，人们会说“按照算术的规定，有无穷多的质数”，这显然是真的。鉴于使用了一个虚构算子，由此产生的观点通常被称为数学虚构主义。

数学虚构主义者设计的唯名论化策略取决于两个相互关联的动作。首先是改变数学的目标，它不被认为是真，而是不同的东西。在这种观点下，数学的适当规范，即指导唯名论化方案的规范，是保守性。如果一个数学理论与每一个关于物理世界的内部一致的理论相一致，而这些理论不涉及对数学对象，如集合、函数、数字等的任何参考，也不涉及量化，那么这个数学理论就是保守的（Field 1989, p.58）。保守性强于一致性（因为如果一个理论是保守的，它就是一致的，但反之则不然）。然而，保守性并不弱于真（Field 1980，第16-19页；Field 1989，第59页）。因此，菲尔德并不支持弱化数学的目标，而只是支持一个不同的目标。

正是因为数学是保守的，所以尽管它是假的，却是有可应用性的。当然，这种可应用性在解释时并没有对数学实体做出承诺：数学之所以可应用是因为它缩短了我们的推导过程。毕竟，如果一个数学理论M是保守的，那么一个关于物理世界的唯名论断言A（即不指涉数学对象的断言）就会从这种断言的主体N中得出，而M只有在它仅从N中得出时才会得出。也就是说，只要我们有足够丰富的唯名论论断，数学的使用就不会产生任何新的唯名论后果。数学只是一个有用的工具，帮助我们进行推导。

因此，只有当我们从唯名论的前提开始时，才能采用保守性来完成所需的工作（Field 1989, p. 129）。正如菲尔德所指出的，如果我们把一些数学片段添加到一组数学断言（不是唯名论的断言）中，我们可能会得到使用其他方式无法实现的新后果，以此来反对他的观点则是一种混淆（Field 1989，p.128）。对唯名论断言的限制是至关重要的。

数学虚构主义策略的第二步是提供这种唯名论的前提。菲尔德在一个重要案例中做到了这一点：牛顿的引力理论。他阐述了一项具有可敬传统的工作：希尔伯特的几何学公理化（Hilbert 1971）。希尔伯特所提供的是一个几何学的合成表述，它免除了公制概念，因此不包括任何实数上的量化。他的公理化是基于点、间性（betweenness）和同构等概念。直观地说，我们说一个点y在x和z之间，如果y是线段中的一个点，其端点是x和z。同样直观的是，如果从点x到点y的距离与从点z到w的距离相同，我们就说线段xy与线段zw是全等的。在研究了所得系统的形式属性之后，希尔伯特证明了一个表示定理。他在一个更强大的数学理论中表明，给定一个他提出的空间公理系统的模型，有一个从点对到非负实数的函数d，从而满足以下“同构条件”：

1．对于所有的x、y、z和w点，xy与zw全等，当且仅当d (x, y) = d (z, w) 。

2． 对于所有的x、y和z点，y位于x和z之间，当且仅当d(x, d (y, d (x, z) 。

结果是，如果函数d被用来代表距离，我们就会得到关于全等性和间隔性的预期结果。因此，尽管我们不能在希尔伯特的几何学中谈论数字（没有这样的实体可以量化），但有一个元理论的结果，将关于距离的断言与理论中可以说的东西联系起来。菲尔德称这种数值主张为纯几何断言的抽象对应物，它们可以被用来以更平稳的方式得出关于纯几何主张的结论。事实上，由于表征定理的存在，关于空间的结论，在没有实数的情况下是可以得出的，这比我们通过希尔伯特公理的紧缩证明来实现要容易得多。这说明了菲尔德的观点，即数学的可应用性来自于缩短性推导（Field 1980, pp.24-29）。

粗略地说，菲尔德所建立的是如何将希尔伯特关于空间的结果扩展到时空区域。与希尔伯特的方法类似，菲尔德没有用数字向量来表述牛顿定律，而是表明它们可以用比较谓词来重塑。例如，菲尔德没有采用诸如“x的重力势能”这样的函子，它被认为有一个数值，而是采用了一个比较谓词，如“x和y之间的重力势差小于z和w之间”。依靠一组表示定理（其作用与希尔伯特的表示定理在几何学中的作用相同），菲尔德确立了几个数值函子如何能从比较谓词中“获得”。但为了使用这些定理，他首先展示了如何只用比较谓词来表述牛顿的数字定律（例如，重力场的泊松方程）。其结果(Field 1989, pp. 130-131)是以下的扩展表示定理。设N是一个仅以比较谓词（而不求助于数字向量）表述的理论。对于N的任何模型S，其定义域是由时空区域构成的，存在着：

1. 一个1-1的时空坐标函数f（在广义的伽利略变换下是唯一的）将S的时空映射到实数的四元组；

2. 一个质量密度函数g（在正的乘法变换下是唯一的），将S的时空映射到一个非负实数的区间；和

3. 一个引力势函数h（在正的线性变换下是唯一的）将时空映射到一个实数区间。

此外，所有这些函数都“保留了结构”，在这个意义上，用它们定义的比较关系与N中使用的比较关系相吻合。此外，如果f、g和h被当作适当的函子的指称，牛顿引力理论的定律在其函子形式中是成立的。

请注意，在对时空区域进行量化时，菲尔德假设了一种实体主义的时空观，根据这种观点，有一些时空区域并没有被充分覆盖（Field 1980, pp.34-36; Field 1989, pp.171-180）。鉴于这一结果，数学虚构主义者被允许从涉及N加数学理论T的前提中得出唯名论的结论。毕竟，由于数学的保守性，这种结论可以独立于T而得到。然后，扩展表征定理的作用是确定，尽管缺乏对数学对象的量化，但通过用函子（如该理论通常的表达方式）或用比较谓词（如数学虚构主义者所赞成的）来表述牛顿引力理论，恰恰可以确定相同类别的模型。因此，扩展的表征定理确保数学的保守性与适当的唯名论主张（通过比较性谓词表述）的使用不会改变原始理论的模型类别：同样的比较关系被保留下来。因此，菲尔德所提供的是一种唯名论化策略，由于它减少了本体，它似乎是相对于数学唯名论立场的一个很有希望的候选。

数学虚构主义者应该如何对待物理理论，比如也许是弦论，这些理论似乎不是关于具体的可观测对象的？假设这些理论缺乏经验上的重要性，一种可能的回应是简单地拒绝它们是物理理论，因此它们不是数学虚构主义者需要提供唯名论对应物的那类理论。换句话说，在这种理论获得相关的经验性意义之前，它们不需要让数学虚构主义者担心。这类理论将被归类为数学的一部分，而不是物理学的一部分。

3.2元逻辑和保守性的表述

但数学是保守的吗？为了确立数学的保守性，数学虚构主义者使用了元逻辑的结果，例如一阶逻辑的完全性定理和紧致性定理（菲尔德1992，1980，1989）。那么问题来了，数学虚构主义者是否可以利用这些结果来制定方案。

在两个关键之处，菲尔德使用了元逻辑的结果：(a)在他使用唯名论可接受的术语重新表述保守性的概念中（菲尔德1989，第119-120页；菲尔德1991），以及(b)在他对集合论的保守性的唯名论证明中（菲尔德1992）。这两个结果对菲尔德来说至关重要，因为它们为数学虚构主义者确立了保守性的充分性。因为(a)解决了后者可以在不违反唯名论的情况下提出该概念，(b)得出结论，保守性是数学实际具有的一个特征。但如果这两个结果都不合法，菲尔德的方法就无法落地。现在我将考虑这两种元逻辑结果的使用在唯名论的基础上是否可以接受。

3.2.1保守性与紧致性定理

让我从（a）开始。数学虚构主义者依靠紧致性定理以可接受的方式——即不参考数学实体­­——来表达保守性的概念。如上所述，保守性是根据一致性来定义的。但是，通常用语义术语（作为适当模型的存在）或证明理论术语（根据适当的证明）来表述此概念。但是，正如菲尔德所承认的那样，这两种一致性表述是柏拉图式的，因为它们依赖于抽象对象（模型和证明），因此在唯名论的角度上是不可接受的。

数学虚构主义的出路是避免为了表达数学的保守性而转到元语言。我们的想法是，在对象语言中，通过引入逻辑一致性的原始概念◊A，来说明一个给定的数学理论是保守的。因此，如果B是任何句子，B*是将B限制于非数学实体的结果，而M1，... ，Mn是数学理论M的公理，M的保守性可以通过以下模式来表达（Field 1989, p.120）：

(C) 如果◊B, 那么 ◊ (B*∧M1∧ … ∧Mn).

换句话说，如果一个数学理论M与每一个关于物理世界B*的一致性理论相一致，那么它就是保守的。

当然，这假设M是有穷公理化的。但是，在数学理论不能被有穷公理化的情况下（比如Zermelo-Fraenkel集合论），我们如何应用（C）？在这种情况下，我们无法对该理论的所有公理进行联结，因为其中有无穷多的公理。菲尔德曾经讨论过这个问题，他最初提出，数学虚构主义者可以使用替代性量化来表达这些无穷连词（Field 1984）。在这篇论文修订版的后记中（Field 1989, pp. 119-120），他指出，只要有关的数学和物理理论是用紧凑性成立的逻辑来表达的，就可以避免替代性量化。因为在这种情况下，整个理论的一致性被简化为其每个有穷连接的一致性。

但是，此举存在三个问题：

1、在这种情况下，对替代性量化的使用的一个关切涉及到替代性实例的性质。如果后者被证明是抽象的，如果这种替代性实例不是单纯的题词，那么它们就不能为唯名论者所用。如果替代实例是具体的，唯名论者需要证明有足够多的实例；

2、紧致性定理的陈述涉及集合论的谈话：令G是一个公式集，如果G的每个有穷子集都是一致的，那么G就是一致的。唯名论者怎么能依赖一个其陈述本身涉及抽象实体的定理呢？为了使用这个定理，需要一个适当的重新表述；

3、让我们承认有可能在不提及集合的情况下重新表述这一陈述。那么，唯名论者能否使用紧致性定理呢？众所周知，这个定理的证明是以集合论为前提的。紧致性定理通常是作为一阶逻辑的完备性定理的一个推论提出的，而一阶逻辑的完备性定理的证明是假定集合论的（例如，见Boolos和Jeffrey 1989，第140-141页）。另外，如果要直接证明紧致性结果，那么就必须构建G的适当模型，而这又需要集合论。因此，除非数学虚构主义者能够为集合论本身提供一个适当的唯名论化策略，否则他们无权使用这一结果。换句话说，在菲尔德式唯名论者能够依赖元逻辑的结果之前，还需要做更多的工作。

但也许这种批评忽略了菲尔德方案的全部意义。正如我们所看到的，菲尔德并不要求一个数学理论M是真实的，才可以使用它。只要求它的保守性。因此，如果M被添加到一个由唯名论主张组成的主体B*中，就不会得到任何新的唯名论结论，而这些结论不是由B*单独得到的。换句话说，菲尔德的策略所要求的是制定适当的唯名论机体，以使数学可以应用于此。同样的观点也适用于元逻辑的结果：只要它们被应用于唯名论的要求，菲尔德就没有问题。

这个回答的问题是，它把数学虚构主义者的程序卷入了一个闭环。虚构主义者不能依靠数学的保守性来证明使用一个数学结果（紧致性定理）的合理性，而这个数学结果是保守性概念本身的表述所需要的。因为在这样做的时候，虚构主义者假定保守性的概念在唯名论上是可以接受的，而这正是问题的关键所在。回顾一下，菲尔德使用紧致性定理的动机是重新表述保守性，而不必假定抽象的实体（即语义学和一致性的证明理论说明所要求的实体）。因此，在这一点上，数学虚构主义者还不能使用保守性的概念；否则，整个计划就无法启动。我的结论是，与数学的任何其他部分类似，元逻辑的结果也需要以唯名论的方式获得。否则就会给唯名论带来麻烦。

3.2.2保守性和原始模式

但也许数学虚构主义者有一条出路。正如我们所看到的，菲尔德用逻辑一致性的原始概念◊A阐明了保守性的概念。而且他还指出，这个概念与模型理论中的一致性概念有关——特别是与冯·诺伊曼-伯纳斯-哥德尔的有穷-可公理化集合论（NBG）中这个概念的表述有关。这是通过两个原则实现的（Field 1989, p. 108）：

(MTP)：如果☐（NBG→有一个'A'的模型），则◊A

(ME)：如果☐（NBG→没有'A'的模型），那么¬◊A。

我遵循菲尔德的术语：'MTP#'代表模型理论的可能性，'ME#'代表模型存在。符号'#'表示，根据菲尔德，这些原则在唯名论上是可以接受的。毕竟，它们是柏拉图主义原则的模态替代品（Field 1989, pp.103-109）：

(MTP) 如果有一个 "A "的模型，那么，◊A

(ME) 如果没有'A'的模型，那么¬◊A。

可以说，通过使用这些原则，数学虚构主义者将有权使用紧致性定理。首先，我们应该尝试以一种唯名论上可接受的方式来说明这个定理。不用太担心细节问题，为了论证起见，让我们承认下面的特征描述就可以了：

(紧致性)：如果¬◊T，则∃f A1, ...., An [¬◊ (A1 ∧ ...∧An)]

其中T是一个理论，每个Ai，1≤i≤n，是一个公式（T的一个公理）。表达式“∃f A1...An”应被理解为“存在有穷多的公式A1...An” 。 (这个量词不是一阶的。然而，我并不打算强调，唯名论者似乎需要一个非一阶量词来表达一个典型的一阶逻辑的属性。这只是我们在这个表述中抛开的担忧之一）这个版本是寄生在以下紧致性定理的柏拉图式表述上的：

(紧致性)如果没有T的模型，那么∃f A1, ..., An，这样就没有(A1 ∧ ...∧An)的模型。

为了使数学虚构主义者有权使用紧致性定理，他们将必须证明唯名论的表述（Compact#）是由柏拉图式的表述（Compact）而来的。在这个意义上，如果后者是充分的，那么前者也是充分的。更准确地说，需要证明的是，(Compact#)是从(Compact)的模态代用词而来的。毕竟，既然问题在于紧致性定理在唯名论基础上的合法性，那么从一开始就假设完整的柏拉图式的版本，那就是在打问号。正如我们将看到的，有两种方法可以尝试建立这个结果。不幸的是，这两种方法都不奏效：在形式上都是不充分的。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。