【SEP】数学与哲学唯名论 布埃诺·奥塔维奥（三）

这两个选项的开始方式是一样的。假设

(1) ¬◊T.

我们必须建立

(2) ∃f A1...An ¬◊（A1∧...∧An）。

从(1)和(MTP#)可以得出

(3) ¬☐ (NBG →有一个'T'的模型)。

因此

(4) ◊ (NBG ∧没有'T'的模型)。

让我们假设紧凑性定理的模态代用词。

(Compact M)☐ (NBG → 如果'T'没有模型，那么 ∃f A1...An 这样， (A1∧...∧An)没有模型)。

请注意，由于模态代理是在模型方面（而不是在原始模态算子方面）提出的，它仍然不是数学虚构主义者所需要的。他们需要的是（Compact#），但需要证明他们能得到它。在这一点上，选项开始出现分歧。

第一个选项包括从（4）和（Compact M）中得出

(5) ◊ (∃f A1...An 这样， (A1 ∧...∧An)没有模型)。

然而，此举存在着困难。首先，请注意（5）并不等同于（2），而后者才是要实现的结果。此外，与(2)相反，(5)是以模型理论的术语来表述的，因为它包含了对某一模型不存在的主张。而所需要的是在一致性的原始概念方面的类似声明。换句话说，我们需要(5)的唯名论对应物，而不是(5) 。

但是（5）有一个很好的特点。它是（Compact）的结果的模态化表述。而且，由于(5)只陈述了不存在特定类型的模式的可能性，因此可以说它在唯名论上是可以接受的。 (如下文所述，模态结构主义者沿着这些思路推进探索模态的唯名论化策略；见Hellman(1989) 。) 然而，菲尔德对这一举措持怀疑态度。在他看来，模态不是本体论的一般替代品(Field 1989, pp. 252-268) 。而他的担心之一是，通过允许引入模态运算符，作为一般的唯名论化策略，我们把所考虑的理论的物理内容模态化掉了。然而，由于元逻辑的主张并不被期望有物理的后果，这种担心在这里不需要出现。无论如何，鉴于(5)没有建立起需要建立的东西，它并没有解决这个问题。

第二种选择包括移到(5′)而不是(5) ：

(5′) ☐ (NBG → ∃f A1...An 这样， (A1 ∧...∧An)没有模型)。

请注意，如果(5′)成立，我们就会解决这个问题。毕竟，只要对(ME#)做一个简单的修改(即如果☐ (NBG → ∃f A1...An，使得(A1∧...∧An)没有模型)，那么¬◊ (A1 ∧...∧An)) ，由(5′)和(ME#)可知

(2) ∃f A1...An ¬◊ (A1 ∧...∧ An) 。

这就是我们需要的结论。这里的问题是（5′）并不是由（4）和（CompactM）得出的。因此，我们无法推导出它。

显然，很可能有另一个选项可以建立起预期的结论。但是，至少可以说，数学虚构主义者必须在有权使用元逻辑结果之前提出它。在那之前，不清楚这些结果在唯名论上是否可以接受。

3.2.3元逻辑和集合论保守性的证明

我现在应该考虑问题（b）：菲尔德对集合论的保守性的唯名论证明。让我们承认，保守性的概念是以某种唯名论上可接受的方式提出的。如果菲尔德的证明是正确的，他将证明数学本身是保守的——只要我们假设数学对集合论的通常还原。菲尔德是如何证明集合论的保守性的呢？这是通过一个巧妙的论证，它改编了菲尔德的柏拉图式保守性证明之一（菲尔德1980）。就我们目前的目的而言，我们不需要研究这个论证的细节，只需注意在一个关键点上，一阶逻辑的完备性被用来建立其结论（Field 1992, p. 118）。

此举的问题在于，即使数学虚构主义者在表述完备性定理时不提及数学实体，该定理的证明也假定了集合论（例如，见Boolos和Jeffrey 1989，第131-140页）。因此，虚构主义者不能在不破坏其唯名论的情况下使用该定理。毕竟，提供集合论的保守性的唯名论证明的意义在于表明，在不求助于柏拉图主义数学的情况下，数学虚构主义者能够确立数学是保守的。菲尔德为保守性结果提供了一个柏拉图主义的论证(Field 1980) ——这个论证明确地援引了集合论的属性。这个想法是为了提供一个柏拉图主义的归纳法：通过使用柏拉图主义的数学，菲尔德试图建立数学是保守的，因此，最终是可有可无的。与先前的策略相比，我们的目标是提供一个唯名论者可以接受的集合理论的保守性证明。但由于唯名论的证明依赖于完备性定理，所以根本不清楚它实际上是唯名论的。数学虚构主义者首先应该能够在不假设集合论的情况下证明完备性结果。或者，他们应该为集合论本身提供一个唯名论化的策略，然后使他们有权使用元逻辑的结果。

但可以说，数学虚构主义者只要求证明完备性定理的集合论的保守性。现在应该很清楚，这种回答完全是在窃取论点，因为问题的关键正是要证明集合论的保守性。因此，虚构论者不能假设这个结果在元理论中已经成立。

换句话说，如果没有一个更广泛的唯名论化策略，让集合论本身被唯名论化，似乎很难看到数学虚构主义者如何使用元逻辑的结果作为他们方案的一部分。然而，问题是，至少在菲尔德所阐述的形式上，数学虚构主义的方案能否扩展到集合论，一点也不明显。因为它只为科学理论，也就是为数学在科学中的应用（例如，在牛顿引力理论中）提供了一种唯名论化策略。该方案并没有解决数学本身的唯名论化问题。

原则上，人们可能会反对，这不应该是一个问题。毕竟，数学虚构主义者发展其方法的动机集中在一个问题上：克服不可或缺性论证——从而解决数学在科学中的可应用性问题。而且，如前所述，总体战略是为相关的科学理论提供唯名论的对应物。

然而，这种反对意见的问题在于，鉴于菲尔德策略的性质，如果不把集合论唯名论化，就无法实现科学唯名论化的任务。因此，我们需要的是一种更开放、更广泛的唯名论：一种不仅与科学，而且与元逻辑携手并进的唯名论。就目前而言，数学虚构主义的方法仍然留下了相当大的空白。

3.3评估：数学虚构主义的好处和问题

3.3.1认识论问题

鉴于数学对象不存在，从数学虚构主义的角度来看，我们如何获得关于它们的知识的问题就简单地消失了。但另一个问题反而出现了：是什么区别了一个数学家（对数学有很多了解）和一个非数学家（没有这种知识）？这里的区别（根据Field 1984）不是关于拥有或缺乏数学知识，而是关于逻辑知识：知道哪些数学定理来自于某些数学原理，哪些不是。这样，认识论问题就解决了——只要数学虚构主义者为逻辑提供一种认识论。

事实上，最终需要提供的是一种模态的认识论。毕竟，在菲尔德的论述中，为了避免柏拉图主义对模型或证明的承诺，逻辑后果的概念被理解为逻辑可能性的原始模式概念。只要B和A的否定的结合是不可能的，即¬◊(B∧¬A) ，A在逻辑上就会从B产生。

然而，这种不可能的判断是如何确立的？在什么条件下，我们知道它们是成立的？在简单的情况下，涉及直接的陈述，建立这样的判断可能是没有问题的。当引用更实质性的陈述时，问题就出现了。在这些情况下，我们似乎需要大量的数学信息，以便能够确定有关的不可能性是否真的成立。例如，考虑到建立选择公理和连续统假设与Zermelo-Fraenkel集合论公理的独立性的困难。在这种情况下，需要构建相当复杂的数学模型，这有赖于特殊数学技术的发展来构建这些模型。在这个阶段，数学虚构主义者所需要的是集合论本身的唯名论化——正如我们所看到的，菲尔德仍然欠我们的。

3.3.2数学的可应用性问题

与认识论问题类似，数学的可应用性问题也被数学虚构主义者部分地解决了。菲尔德提供了一种不需要数学理论为真的关于数学可应用性的说明。正如我们所看到的，这要求数学在相关意义上是保守的。然而，鉴于菲尔德以限制性的方式将非集合论的词汇引入集合论的公理，作为他试图证明集合论的保守性的一部分，目前还不清楚菲尔德是否确立了数学的保守性（Azzouni 2009b，第169页，注47；数学虚构主义方案的其他困难可参见Melia 1998, 2000）。菲尔德使用的是限制性的ZFU，即Zermelo-Fraenkel集合理论，其选择公理被修改为允许Urelemente，即不是集合的对象，但不允许任何非集合理论的词汇出现在理解公理中，即替换或分离（Field 1980, p. 17）。然而，这是一个巨大的限制，因为当数学被实际应用时，非集合论的词汇，当被翻译成集合论语言时，将不得不出现在理解性公理中。正如菲尔德所表述的那样，该证明未能解决数学的实际应用这一关键情况。

此外，也不清楚数学虚构主义者所提出的唯名论化方案是否可以扩展到其他科学理论，如量子力学（Malament 1992）。马克·巴拉格尔对这一挑战做出了回应，他试图按照数学虚构主义的思路对量子力学进行唯名论化（Balaguer 1998）。然而，正如布埃诺（Bueno 2003）所论证的，巴拉格尔的策略与量子力学的一些解释不相容，特别是与巴斯·范·弗拉森的模态解释版本（van Fraassen 1991）不相容。鉴于巴拉格尔的策略援引了物理上真实的倾向性，目前还不清楚它是否与唯名论兼容。因此，量子力学的唯名论化仍然是数学虚构主义的一个主要问题。

但是，即使这些困难都能被解决，也不清楚数学虚构主义者是否提供了一种关于数学可应用性的说明，使我们能够理解数学理论是如何被实际应用的。毕竟，虚构主义的说法要求我们重写相关的理论，为它们找到合适的唯名论版本。这让我们完全无法理解数学应用的实际过程，因为在实际的科学实践中从来没有使用过这种重写。虚构主义者没有参与应用过程的实际特征，而是创造了一个平行的话语，努力为数学在科学中的可应用性提供了一个唯名论的重建。这种重建充其量表明，数学虚构主义者不需要担心数学的应用会增加其本体的问题。但问题仍然存在，即他们是否有能力使数学在科学中的实际使用有意义。这个问题，对于正确理解数学实践至关重要，并且仍然存在。

类似的困难也出现在巴拉格尔的虚构主义版本中（见Balaguer 1998的后半部分）。巴拉格尔依靠的是区分应用数学理论的数学和物理内容的可能性：特别是，这种理论的真理只凭借物理事实而成立，没有数学的贡献。然而，在不实施类似于菲尔德的唯名论化策略的情况下，数学和物理内容之间的区别是否能够被定性，是有争议的。在这种情况下，后者所面临的困难也会延续到巴拉格尔的版本中（Colyvan 2010；Azzouni 2011）。

此外，阿祖尼（Azzouni 2009b）认为，为了让科学家使用一个科学理论，他们需要断言它。在他看来，科学家仅仅认识到一个科学理论是真实的（或表现出一些其他理论上的优点）是不够的。他们需要断言该理论。特别是，科学家们将需要断言一个唯名论的理论。他们不能仅仅考虑这样的理论；他们还需要能够断言它（Azzouni 2009b，脚注31、43、53和55，和第171页）。因此，同意Azzouni这一点的唯名论者需要表明，科学家能够断言相关的唯名论，以解决数学的可应用性问题。

3.3.3统一的语义学

在一个方面，数学虚构主义者为数学和科学话语提供了统一的语义学，在另一个方面，他们没有。最初，这两类话语的评估方式是一样的。电子和它们之间的关系使某些量子力学话语成真；反过来，数学对象和它们之间的关系使相应的数学话语成真。只是，相对于量子力学的实在论解释中的电子而言，数学对象并不存在。因此，如前所述，存在性的数学语句，如“有无穷多的质数”，是错误的。尽管由此产生的存在性语句的真值分配与数学实践中的真值分配相冲突，但至少为数学和科学语言提供了相同的语义。

为了与数学话语中通常显示的真值分配相一致，数学虚构主义者引入了一个虚构的运算符： “根据数学理论M……” 。然而，这样一个运算符改变了数学话语的语义。应用于真正的数学陈述，至少是柏拉图主义者认为是真的陈述，其结果将是一个真正的陈述——即使根据数学虚构主义者。例如，从柏拉图主义者和虚构主义者的角度来看， “根据算术，有无穷多的质数”这句话都是真的。但是，在这种情况下，数学虚构主义者不再能够为数学和科学语言提供统一的语义学，因为后者不涉及虚构运算符的引入。因此，数学虚构主义者是否能够提供一个统一的语义学，最终取决于是否引入了虚构的运算符。

3.3.4从字面上理解数学

引入虚构运算符的一个直接后果是，数学话语不再被当作字面意思。正如刚才所指出的，如果没有这种运算符，数学虚构主义就会对数学语句的真值产生非标准的归属。但有了虚构运算符，数学话语的语法就被改变了，因此后者就不能按字面意思理解。

3.3.5本体论问题

本体论问题——数学虚构主义者所做的本体论承诺的可接受性问题——基本上已经解决了。原则上，没有对数学对象做出任何承诺。虽然引入了一个原始的模态概念，但它在数学的名义化中只有有穷的作用：允许对保守性这一关键概念进行唯名论的表述。然而，正如我们所看到的，如果没有集合论本身的适当的唯名论化，数学虚构主义方案是否最终成功还不清楚。

4.模态结构主义

4.1模态结构主义的主要特征

模态结构主义提供了一个解释数学的方案，其中包含了两个特点：(a)强调结构是数学的主要主题，以及(b)通过用模态逻辑解释数学，完全消除对数学对象的参考(如Putnam(1967)首次提出，并在Hellman(1989，1996)中得到发展)。鉴于这些特征，由此产生的方法被称为模态结构解释(Hellman 1989, pp. vii-viii and 6-9) 。

该建议还应该满足两个重要的要求（Hellman 1989，第2-6页）。第一个要求是，数学陈述应该有真值，因此从一开始就拒绝“工具主义”的解读。第二点是。应对数学如何应用于物质世界做出合理的解释"（Hellman 1989, p.6）。因此，必须审查适用性问题。

为了解决这些问题，模态结构主义者提出了一个总体框架。其主要思想是，尽管数学关注的是对结构的研究，但这种研究可以通过只关注可能的结构，而不是实际的结构来完成。因此，模态解释不致力于实际的数学结构；不致力于它们作为对象的存在，也不致力于碰巧“构成”这些结构的任何对象。这样一来，对它们的本体论承诺就被避免了：唯一的主张是有关的结构是可能的。为了阐明这一点，模态-结构解释是以基于S5的二阶模态语言来表述的。然而，为了防止对模态运算符的集合理论特征的承诺，赫尔曼把这些运算符当作原始的(1989年，第17页和20-23页)。

我们采取了两个步骤。首先是提出一个适当的翻译方案，在这个方案中，每一个普通的数学陈述S被当作一个假设的陈述的椭圆，即：S在一个适当的结构中会成立。

例如，如果我们考虑的是数论陈述，比如Peano算术（简称PA）中阐述的那些陈述，我们关注的结构是满足PA公理的“级数”或“ω-序列”。在这种情况下，每个特定的陈述S将被（大致）翻译为：

☐∀X（X是一个满足PA公理的ω序列→S在X中成立）。

根据这个声明，如果有满足PA公理的ω序列，S将在其中成立。这是模态-结构解释的假设成分(关于详细的分析和精确的表述，见(Hellman 1989, pp. 16-24)) 。分类成分构成了第二步(Helman 1989, pp. 24-33) 。这个想法是假设适当种类的结构在逻辑上是可能的。在这种情况下，我们有：

◊∃X（X是一个满足PA公理的ω序列）。

也就是说，存在满足PA公理的ω序列，这在逻辑上是可能的。按照这种方法，数学语句的保真翻译可以在没有本体论成本的情况下提出，因为只假设有关结构的可能性。

然后，模态结构主义者指出，定理证明的实践可以在这个框架中恢复（大致上说，通过对所考虑的定理的原始证明的每一行应用翻译方案）。此外，通过使用翻译方案和适当的编码设备，我们可以认为，算术、实分析，甚至在某种程度上，集合理论都可以在唯名论的背景下得到恢复（Hellman 1989, pp.16-33, 44-47, and 53-93）。特别是， “通过利用编码设备，几乎所有在当前物理理论中经常遇到的数学都可以在[实分析]中进行”(Hellman 1989, pp. 45-46) 。然而，集合理论是否以这种方式被唯名论化的问题，事实上是有问题的——正如模态结构主义者所承认的那样。毕竟，即使是建立具有不可能多的对象的结构存在的可能性，也不是明显的问题。

有了这个框架，模态结构主义者就可以考虑适用性问题。其主要思想是采用假设的成分作为容纳数学应用的基础。相关的结构是那些在科学的特定分支中常用的结构。在这一点上，需要考虑两个问题。

首先是应用数学声明的一般形式（Hellman 1989, pp.118-124）。这些陈述涉及三个关键部分：应用数学中使用的结构、数学结构所适用的非数学对象，以及指定数学结构与非数学对象之间特定关系的应用陈述。相关的数学结构可以用集合论来表述。让我们把应用语境中使用的集合理论称为Z。（这是二阶Zermelo集合理论，它是可以有限公理化的；我用∧Z来表示Z的公理的结合）。在应用环境中感兴趣的非数学对象可以在Z中表示为Urelemente，也就是说，表示为非集合的对象。我们将把“U”看作是某些感兴趣的非数学对象作为Urelemente包含在Z的结构中的声明。最后， “A”是应用声明，描述了Z的相关数学结构与U中描述的非数学对象之间的特定关系。我们现在可以提出一个应用数学声明的一般形式（Hellman 1989, p. 119）：

☐∀X ∀ f ((∧Z & U) X (∈f) → A) 。

在前项中， “(∧Z & U) X (∈f)”是写出Zermelo集合论公理的缩写，所有量词都相对于二阶变量X，用两地关系变量“f”取代每一次出现的成员符号“∈” 。根据应用数学声明，如果存在满足Zermelo集合论Z公理的联结的结构，包括U中提到的一些非数学对象，那么A在这种结构中就会成立。应用陈述A表达了问题中的关系，如物理系统与某些集合论结构之间的同构或同构。这是被解释为表达某些数学结构（被表述为∧Z的结构）与世界上所研究的实体（Urelemente）之间会有哪些关系的假设成分。

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