【SEP】斯坦尼斯瓦夫·莱希涅夫斯基（四）

5. 成熟的系统

整个20世纪20年代，莱希涅夫斯基和他的学生们都在努力改进逻辑系统，寻找单一公理、缩短公理、尝试新的基本原理，总体上追求逻辑的完美。这项工作以及莱希涅夫斯基对教学的投入如此之大，以至于他有好几年没有发表任何作品。由于他的研究成果被不断引用却没有发表，这让他感到有些尴尬，于是他决定推迟进行全面系统的阐述，转而以自传体的形式讲述这些系统是如何产生和改进的。从1927年到1931年，他撰写了两个系列的文章。其中一个系列的文章《论数学的基础》发表在波兰首屈一指的哲学刊物《Przegląd Filozoficzny》上，这一系列文章摒弃了数学符号学，致力于对整分论进行最新的阐述。另一辑“数学基础新体系的基本原理”于1929年开始在数学期刊《数学基础》上发表，专门论述原语。这篇文章长达81页，共11节，结尾处写着“待续”，但实际上并没有，因为在此期间，莱希涅夫斯基与该杂志的其他编辑就集合论的地位问题闹翻了。这篇文章并没有超越“原论”的前言，只是阐述了该系统的历史、公理和扩展规则（指令），并概述了一些变体，但并没有开始真正的演绎。直到1938年新的逻辑学杂志《逻辑集》成立，莱希涅夫斯基才得以继续写作。在长达60页的续篇导言《我以“数学基础新体系的基本特征”为题的通信续篇的序言》中，莱希涅夫斯基总结了早先的文章，并将故事推向最新，随后的83页包括第12节，列出了12个定义和422个原点定理，以及如何推导出这些定理的基本信息，并用莱希涅夫斯基自己特立独行的符号表达了连接词和量词。由于第二次世界大战的爆发，该杂志未能付梓：幸运的是，印制底版的印版在1939年9月的华沙轰炸中被毁，而此时莱希涅夫斯基已经去世。

莱希涅夫斯基自己的原语符号在“引言”的“补充注释三”中作了解释：一元连接词由横杠“-”和两端的竖杠“|”组成。横线右端的横杠表示连接词对输入值T的输出值为T(rue)，没有横杠表示输入值T的输出值为F(alse)。同样，行的左端有横线表示输入值F的输出值T，没有横线表示输入值F的输出值F。这样，四个扩展的一格连接词就被系统地记下了，其中最重要的否定被写成“∪”。对于双位连接词，条形连接词作为辐条被径向添加到圆形的中心枢纽“∘”上。和以前一样，有条表示输出值T，没有条表示输出值F。最上面的位置表示第一和第二输入F，最下面的位置表示第一和第二输入T，左边的位置表示第一输入T和第二输入F，右边的位置表示第一输入F和第二输入T。例如，连词连接词被写成“ϙ”。

如果一个连接词H在几何上包含在另一个连接词G中，则蕴涵G(pq)→H(pq)成立，合并两个连接词就得到了一个等同于它们的连接词。虽然这种符号系统而优雅，但从未流行起来。与卢卡谢维奇一样，莱希涅夫斯基总是把连接词放在参数之前，但他用括号把参数括起来，因此p和q的连接词被写成“ϙ(pq)”。Łukasiewicz可以省去括号，其原因将一目了然。在这种“正式”符号中，唯一的量词是通用量词，写法是将变量绑定在下角之间，例如“└pqf┘”、而把量词范围或矩阵放在上角，例如“└pqf┘┌ϙ(f(pq)f(qp))┐”就是莱希涅夫斯基的写法，我们写成“∀pqf┌f(pq)∧f(qp)┐”。不过，在他的日常逻辑工作和推导中，莱希涅夫斯基使用的是怀特海和罗素的《数学原理》符号的略微修改版。

莱希涅夫斯基在其1929年的文章中提到了几种不同版本的“原论”（Protothetic），其中一种是包含82个符号的单公理版本（索博钦斯基在1945年提出了只有54个符号的单公理版本）。另一个更有趣的想法是上文第8节提到的原论算法或“计算”（computative）系统。这实际上是将真值表的思想形式化的一种方法，但它的应用范围超出了句子的真值函数，而是更复杂的、具有一阶和高阶真值函数参数的函数。莱希涅夫斯基并没有将这一思想发挥到极致，但后来欧文·勒布朗（1991）进一步发展了这一思想。

对于习惯于用简化方法处理命题逻辑的现代逻辑学学生来说，莱希涅夫斯基的“原论”（Protothetic），尤其是其正式版本，一定显得非常繁琐，难以理解和处理。这在一定程度上是由于系统的年代久远，以及莱希涅夫斯基对语义学的厌恶（见上文）。然而，莱希涅夫斯基并不总是如此激烈地展示他的作品。为了日常推导的目的，他采用了一种只能被描述为自然演绎法的系统，按照所有逻辑学学生后来习以为常的方式，提出假设、跟踪其结果、收集结果并推断条件和二条件。令人吃惊的是，他和他的学生都不认为有必要将这些做法编纂成一套规则体系。在卢卡谢维奇的建议下，斯坦尼斯瓦夫·雅伊希科夫斯基（Stanisław Jaśkowski）采用了这一方法。自然演绎法的发现一般归功于其他人，但莱希涅夫斯基有可能比其他人更早使用了它，而且是以公认的现代形式。他之所以没有将其编纂成法典，可能是因为他将其视为一种教学手段和勾勒“适当的”（即公理的）证明过程的一种方式。另一种消除“原论”令人望而却步的方法是寻找更容易理解的公理。下面这个以蕴涵为基元的双公理集（这也是勒斯涅夫斯基研究过的一种选择）相当简单明了；这个结果也是塔尔斯基得到的：

(P3)∀pq┌p→(q→p)┐

(P4)∀pqrf┌f(rp)→(f(r(p→∀s┌s┐))→f(rq))┐

第一个是可以追溯到弗雷格的命题微积分标准公理的普遍闭包。回顾一下，F(alse) 可以定义为 ∀s┌s┐，否定可以定义为 p→ F，那么第二个公理就是：

f(rp)→(f(r~p)→f(rq))

简单地说，对于任意q，如果f（r任意真值），那么f（rq），这显然是正确的。我们可以（繁琐地）检查出，这个结果对于所有16个可替代“f”的二进制扩展真值函数都是有效的。要从这些简单的开端拖出整个“原论”显然要难得多，这取决于能否为连接词找到合适的定义。

在本体论中，莱希涅夫斯基和他的学生，尤其是索博琴斯基，致力于用更短的公理取代1920年“长”的单一公理，最终得出了不可缩短的：

(OS) ∀Aa┌Aεa↔∃B┌AεB∧Bεa┐┐

与最初的1920公理相比，这条公理对“ε”原意的揭示要逊色得多。为了在简洁与清晰之间取得微妙的平衡，下面这组等价的双公理就很清楚了：

(OS1) ∀Ab┌Aεb→AεA┐

(OS2) ∀ABc┌(AεB∧Bεc)→Aεc┐

其中值得注意的第一个公理正是莱希涅夫斯基在1919年向特沃多夫斯基提到的公理。

尽管本体论可能是莱希涅夫斯基的体系中最令人感兴趣的，但在他生前，人们并不是通过他自己出版的著作（仅限于一本简短、技术性强且难以理解的回忆录）来了解他的本体论，而是通过科塔比安斯基1929年出版的、被广泛阅读且影响深远的华沙教科书（简称为《要素》）中温和而富有同情心的阐述来了解他的本体论。柯塔宾斯基解释了他是如何不需要建立一个名称和谓词的逻辑系统的，因为他可以从一家声誉极佳的公司获得现成的系统。莱希涅夫斯基对他的帮助感激不尽。

《本体论》中的基本句子模块是“Aεb”形式的单数包含，这一事实误导了一些评论者，使他们以为莱希涅夫斯基放弃了弗雷格谓词作为功能应用的概念，转而回到了中世纪的“双名”（two-name）谓词论。事实上，除了时态问题之外，莱希涅夫斯基对这种奇异句子的真假条件的解释——即如果且只有当主语表示一个单一的对象，而谓语表示一个或多个对象（这是其中之一）时，这些句子才是真的——与中世纪唯名论者威廉·奥卡姆的解释几乎完全相同。然而，无论奥卡姆是否是双名论者，莱希涅夫斯基绝对不是。单数句子的一般形式与任何二元谓词的形式相同，即f(ab)，或者用莱希涅夫斯基的符号表示，即f{ab}。单数包含不是同义共词：它是一个特殊的二元谓词。选择它作为基元谓词是可以理解的，但不是必须的。莱希涅夫斯基知道，除了“ε”之外，其他谓词也可以作为基元谓词，莱热夫斯基（Lejewski）后来也强调了这一点。

莱希涅夫斯基最古老的体系“整分论”的发展最为丰富多彩。1927-30年，关于作为数学基础一部分的整分论的系列文章引发了可能基元的变化。在严厉抨击了怀特海和罗素在《原理》中的使用/提及混淆以及标准集合论之后，他回溯了其1916年论文的形式发展，并在一个长长的脚注中指出了与怀特海事件理论的相似之处，他还批评了怀特海事件理论的形式发展。然后，他总结了截至1920年的发展，继续介绍了1916年未发表的其他结果，使定理数量达到198条。接下来的章节从“部分”的角度对公理化进行了整理，并说明“成分”（ingredient）可以被视为原始的。定理发展到264，“外部”被证明是一个可能的基元。最后一节讨论了“Aεb”形式的奇异命题，并说明了如何理解关于变化事物的命题。以“1830年的华沙比1930年的华沙小”为例，莱希涅夫斯基建议将“1830年的华沙”和“1930年的华沙”视为他称之为“华沙从其存在之初到结束”的时间上更长的对象的时间片断。通过这种方式，他将普通语言中“是”的多种用法纳入了他的本体论的分析范围。这种对普通对象的四维理解如今已司空见惯，但在当时却十分罕见。在莱希涅夫斯基的成熟著作中，很少有类似早年哲学逻辑的论述。否则，在不讨论形式系统和证明定理时，他的散文讨论往往是对他人言论的无理批评，尤其是对标准集合论支持者的批评。

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