【SEP】斯坦尼斯瓦夫·莱希涅夫斯基（三）

4.2 定义

定义在逻辑学内外的地位一直存在着惊人的争议。逻辑学家的标准观点可能是罗素的观点，根据罗素的观点，定义只是缩略语，其作用是使复杂的命题更容易被孱弱的（feeble）人类研究。根据这种观点，当逻辑学家用蕴涵和否定来定义连词时，例如：

p∧q=df~(p→~q)

这应理解为只是用较短的表达式代替较长的表达式。在这种情况下，缩写的价值可以忽略不计，但在一些长表达式中，如关系的祖先表达式，或在数学的许多领域中，缩写的价值可能相当大。罗素将定义称为作者意志的表达，从而有些夸张地表达了这一观点。根据这种观点，定义不可能是真的或假的；它可能是恰当的或有帮助的，也可能是没有帮助的，而且有某些适当性需要遵守，例如在定义（definiens）或被下定义的词（definiendum）中都不能有悬空变量，也不能试图用表达式本身来定义表达式，但除此之外，对缩写的方法论要求是最低的。在许多现代逻辑系统中，据说定义只限于元语言，根本不会出现在对象语言中。

这种观点无可厚非，但它显然不是莱希涅夫斯基的观点。他认为，定义将一种新的表达方式引入对象语言。同样，本体必须得到尊重，而如何正确处理这些本体则是一个棘手的问题。此外，逻辑系统的作者可以自行决定引入哪些定义。但这两者之间有一个重要的区别。由于定义为对象语言增加了新的表达式，它们在可以量化的地方增加了表达式，因此可以增强系统的表达能力。莱希涅夫斯基承认这一选择：根据他的观点，逻辑学家的工作就是不断增加系统的内容。如果在这一过程中，可以证明以前无法证明的新事物，那就更好了，但前提是必须尊重本体。如果在引入定义后，我们可以证明一个不包含定义表达式的定理，而这个定理在之前是无法证明的，那么这个定义就被称为创造性定义。大多数逻辑学家都反对创造性定义：莱希涅夫斯基却接受了它们。勒希涅夫斯基认为，大多数逻辑学家使用的符号“=Def”实际上是将一种未被认可的原始定义偷偷带入了他们的工作中。他认为怀特海和罗素也是如此，这就是为什么他希望仅根据等价性来表述原语，因为这样一来，用于定义的连接词也是原语了。在他看来，定义是对象语言的等价性，应该得到承认。现在回过头来看，我们可以发现这种观点过于极端。缩略定义是有用武之地的，事实上，莱希涅夫斯基自己就“非正式地”使用过一种缩略定义，即特定量词的缩略定义。莱希涅夫斯基所说的“定义”也许更适合称为“定义公理”。这些定义可以随着我们的工作而添加，而不是在逻辑开始时就收集在一起，这只是他的逻辑方法的一个特点。

莱希涅夫斯基使用的最重要的创造性定义也许是1921年塔尔斯基在《本体论》中提出的定义。这是对N⟨N⟩范畴的一个函子*的定义：

∀AB┌Aε∗(B)↔∃c┌Aεc∧BεA┐┐

其中“Aε∗(B)”可以理解为“A是唯一的B”。它使得本体论的长公理可以被短公理所取代（见下文）：没有它，就无法取代。

4.3唯名论

我们注意到，莱希涅夫斯基是一个唯名论者，他对特沃斯基的一般对象的论证说服了他。这无疑是他反感集合论的一部分原因。他的朋友科塔宾斯基提出了一种非常极端的唯名论，有reism、pansomatism和concretism之称，认为存在的唯一事物是物质体。莱希涅夫斯基不会走到这一步，因为他不明白他认为存在的残像和梦境怎么会是物质体。但在阐述他的逻辑学时，他坚决拒绝任何不具体、不个别、不在空间和时间中的东西。逻辑体系本身也是如此。他认为，逻辑系统是具体标记的实际集合，无论是印在纸上的书籍和期刊，还是手写的笔记，或者是更短暂的口头语言、黑板上的粉笔印记，或者是（如今）电脑屏幕上的图案。暂且不谈什么原则上可以算作逻辑铭文这个非难理的形而上学问题，我们必须考虑这种立场对他对待逻辑和逻辑系统的态度产生了什么影响。

这种影响是深远而彻底的。如果逻辑系统是符号的具体复合体，那么它就不可能是无限的。而且，为了符合逻辑实践，必须承认逻辑体系会随着时间的推移而改变。在理想的情况下，它们会随着新定理的证明而不断变化。在实践中，它们可能会退化或被完全摧毁，1944年11月莱希涅夫斯基亲自撰写的逻辑体系的命运确实令人惋惜。如果一个逻辑系统发表在一本书或杂志上，并且有若干副本，那么有多少副本就有多少逻辑系统。假设这些副本都是忠实的，那么每个副本在排版上都与其他副本一模一样。用莱希涅夫斯基的话说，它们都是等同的。当然，在实践中，即使在印刷作品中，等同性也并不十分精确，但微小的差异是微不足道的，而且无论如何，我们都希望承认手写手稿和其他变体与物理上略有不同的系统在逻辑上是等同的。同样，形而上学的细节并不那么重要，重要的是我们在大多数情况下都能通过有限的不精确的相似性来解决问题。

几乎所有处理逻辑系统的元逻辑方法都是柏拉图式的。它们假定简单表达式和复杂表达式都是抽象类型，它们的数量是无限的，一个公理系统有无限多的逻辑定理，等等。这些都是莱希涅夫斯基所不能接受的。因此，他必须找到一种方法，将逻辑系统作为一种有机的、随时间而增长和变化的东西来处理。为此，他采用了一套复杂的元逻辑定义系统，他称之为“术语解释”（terminological explanations），以及推理规则，他称之为“指令”。实际上，莱希涅夫斯基为一种可无限扩展的语言提供了一个示意性的语法和逻辑框架，这比计算机编程语言的形式化描述的出现提前了几十年，而计算机编程语言在其他地方是最接近的等价物。

很难在短短的篇幅内介绍术语解释（TEs）的特点：它们的复杂性和累积效应必须亲身体会。最详尽的说明见《基础》（Grundzüge）第11节中的原论（Protothetic）术语解释，本体论术语解释也有压缩说明。基于卢卡谢维奇的无括号符号，1931年的论文《关于定义的起源理论》为带有定义的命题微积分版本提供了一套更易于管理的方法，这套方法基于1930-31年的讲座。在这篇论文中，莱希涅夫斯基用文字而不是符号缩写给出了TE，并列举了大量例子。尽管如此，这本书在智力上仍具有挑战性，因为对于所有复杂的TE（元逻辑定义），莱希涅夫斯基要求所有不同分句的逻辑独立性，并通过适当的模型来证明。因此，在莱希涅夫斯基的研讨会上，研究生们花了三个学期的时间才研究完一套TE（切斯拉夫·莱耶夫斯基（Czesław Lejewski）提供的个人资料）。

TE是达到目的的一种手段：制定系统指令。指令听起来像命令，但其执行力更为微妙。假设一个逻辑系统已经发展到了某一阶段，也就是说，已经发展到了某一最后的成文论题（莱希涅夫斯基的用词，涵盖公理、定理和定义）。至少，一个或多个公理已经被写下来了。为了论证起见，假设到目前为止的发展都很顺利。虽然不存在通过添加另一个论题来扩展该系统的绝对必要条件，但让我们假设该系统的作者（或任何助手）希望这样做。他或她会写下一组新的标记。不过，也不是什么都可以写。这些标记必须清晰可读（显而易见），可以明确分解为基本符号（莱希涅夫斯基称之为词），在语法上可以构成一个句子（不允许有无约束的变量），最后根据指令可以被接受。指令规定了在特定的论文序列之后下一个可以接受的论文。例如，下一个论题可能是前一个普遍量化论题的实例化，或者是前两个论题的模态，或者是前一个论题的量词分布，或者是根据准则可以接受的定义，或者是扩展性论题。可接受性总是相对于先前的序列而言的：引入的顺序很重要。如果新的候选论题根据其中一条指令是可接受的，那么它就通过了测试，成为系统的一部分，然后还可以进一步扩展。否则，它就会被拒绝，系统也就无法扩展。

莱希涅夫斯基作为逻辑学家的最高成就，在他自己看来，就是提出了通过指令扩展具体系统的金属逻辑要求，相对于系统先前的状态。由于系统不是事先计划好的，也不是固定不变的，因此指令和指示必须具有足够的灵活性，以适应未来的任何补充，同时又不能过于宽松，以免出现矛盾或无稽之谈。找到这种平衡，尤其是在可接受定义的规则方面，是一项相当大的成就。原论（Protothetic）的“定义”有18个独立的复杂条款，而在本体论中，增加了第二种定义，又有18个条款。

定义对于大多数逻辑系统来说似乎都是无关紧要的，但实际上却是莱希涅夫斯基逻辑潜在力量的关键所在。一个系统的公理一般只使用靠近递归层次结构底层的极少数语义范畴。新的语义范畴是通过定义引入系统的；一旦引入一个新范畴，就可以引入它的变量并对其进行量化，为其制定扩展性论证，并为进一步的、更高层次的函数提供论据。因此，尽管与柏拉图式构想的类型逻辑不同，在任何一个系统中实际发挥作用的类型或范畴都是有限的，但继续发展的潜力只受到偶然性的限制。

要了解莱希涅夫斯基逻辑学中的定义是如何工作的，最简单的方法不是查看已出版的“整分论”或“原论”（Mereology or Protothetic），而是查看莱希涅夫斯基于1988年出版的《逻辑学讲义》中的“莱希涅夫斯基本体论的定义和定理”扩展列表。这些素描摘自1929-30年“本体论初级纲要”课程的学生笔记，包括一个公理、59个定义和633个列出（未证明）的定理，涵盖了对偶、布尔代数、性质（谓词）和高阶性质的概念、关系、高阶ε，以及关系理论的几大块内容，包括会话、场和相对积，这些都是从皮尔斯、施罗德、怀特海和罗素那里了解到的。并非巧合的是，所勾勒的发展包括大量的括号样式。

4.4 量词

关于莱希涅夫斯基如何理解量词“对于某些”(∃)和“对于所有”(∀)的问题，已经有很多论述。争论有三个方面：(1)如何解读量词；(2)如何理解量词；(3)如何理解量词的逻辑和哲学意义。产生争论的主要原因是，莱希涅夫斯基和莱希涅夫斯基派对量词的理解方式与奎因提出的正统理解方式之间存在差异。莱希涅夫斯基的学生莱耶夫斯基讲述了他从波兰移居英国后，惊讶地发现当地人（奎因式的）对量词的理解与他从小到大的理解大相径庭。与弗雷格和罗素一样，莱希涅夫斯基认为他的体系已经有了意义，不需要从外部嫁接语义学，因此没有为他的逻辑提出甚至设想语义学，这就加剧了问题的严重性。从历史上看，有趣的是，奎因对本体论承诺的关注及其与量化及其领域的联系，可以追溯到他1933年访问华沙时与莱希涅夫斯基的讨论。奎因说，他和莱希涅夫斯基一直争论到深夜，究竟是像奎因所想的那样，使用高阶变量使莱希涅夫斯基致力于柏拉图对象，还是像莱希涅夫斯基所想的那样，使用高阶变量使莱希涅夫斯基不致力于柏拉图对象。显然，对于像莱希涅夫斯基这样的唯名论者来说，他所珍视的体系会使他陷入不想要的本体论承诺的想法是最令人反感的。

至于量词的读法，我们注意到，在莱希涅夫斯基的前符号著作中，他喜欢用“对于表达式x的某些意义”和“对于表达式x的每一个意义”这样的表达方式，这或许可以让我们了解到他是如何理解量词的，但他后来更喜欢用不加修饰的“对于某些”和“对于所有”，并在后面加上相关变量。

量词的含义或解释是一个更微妙的问题。莱希涅夫斯基很可能认为，当一个领域可能是无限的时候，量词是一种符号上的需要，因为无限的分词和连词是不可能的。在原语学中，正如其计算变体所表明的那样，严格说来是不需要量词的，因为每个语义范畴，无论在层次结构中处于多高的位置，都只有有限多个可能的（扩展）值。但在本体论中，逻辑上并不要求个体的领域是有限的，因此量词是不可或缺的。有一点可以肯定的是，它们不能被赋予存在性承诺的解读，即“对于某些”意味着“存在”。原因在于，本体论中的量词法则和必然空词“Λ”的可定义性（对于“Λ”而言，“没有Λ存在”是真的）蕴含了量词命题“对于某些a而言，没有a存在”的真理性（参见莱希涅夫斯基的《逻辑学讲义》中的“莱希涅夫斯基本体论的定义和论题”T.127）。如果“对于某些”指的是“存在”，这就自相矛盾了。莱希涅夫斯基总是使用“特定量词”而不是“存在量词”。因此，问题在于如果不按标准方式理解量词，该如何理解。

奎因从他与莱希涅夫斯基的讨论中得出了一个观点，即量词在某种程度上是替代性的。这种观点有一定的道理。一个普遍量化的公式∀X...┌-X-┐允许对任何公式-C-进行推论，而这个公式是用适当类别的任何形式良好的表达式C代替受约束的变量X而得到的，同样，也允许对所有其他出现的受同一量词约束的变量进行推论。同样，从-C-可以推断出∃X...┌-X-┐，适用于合适类别的绑定变量。这些都是通常的量词规则，可以自由地适用于一个或多个变量的任何类别。因此，举例来说，如果有一个普遍量化名义变量的定理，比如“∀a┌any a is an a┐”，我们就可以有效地推断出“any Λ is a Λ”，即使名称是空的。奎因认为，缺乏本体论承诺必然意味着量词的范围是表达式而不是事物。这对于莱希涅夫斯基来说是不可接受的，因为这将构成使用/提及的混淆，而且对于唯名论者来说，只有有限多个表达式是真的，而只有有限多个事物却是未知的，事实上可能是假的。

那么，有没有第三种理解量词的方法，既不是指代性的，也不是替代性的？圭多·昆（Guido Küng）根据年轻的莱希涅夫斯基对量词“对于变量x的所有（某些）意义”的解读，提出了这样一种方法。把这个序言看作是库恩所说的序幕函式，它提到了表达式x，但把它的矩阵（量词之后的部分，在上角之内）看作是变量的使用语境，并把变量看作是意义的范围，在莱希涅夫斯基的例子中是扩展（库恩，1977年）。这又有对有错。如果外延（按照标准的理解）是各种集合，那么没有什么比这更令莱希涅夫斯基深恶痛绝了。他极力主张逻辑不承诺任何事物的存在，在本体论上保持中立：在他的任何体系中，没有任何存在的陈述是定理。因此，如果他发现自己终究还是走了后门，致力于憎恨的集合，那将是一个沉重的打击。这种理解的正确见解是，对象和表达式都不是量词表达式的范围。它们也不涉及外延：它们不涉及任何事物。但是，对于每一类表达式来说，该类表达式都有多种含义。一个句子可以是真的，也可以是假的。一个名字可以指一件事，也可以指几件事，可以指所有事，也可以不指任何事。函数表达式的含义取决于当输入具有特定含义时，其组合输出的含义。给定一个个体领域，原则上，所有可能的意义方式都会为所有类别的表达式划定界限。量词正是利用了这种可能性。但是，如果把一个表达式可能具有的所有不同的潜在意义方式都重新定义为额外的对象，这就违背了莱希涅夫斯基的唯名论思想。因此，当莱希涅夫斯基告诉奎因，他在名称之外的范畴中使用量化变量并不意味着他致力于柏拉图式的对象时，他说的是实话。从他接受真假二元性的那一刻起，他所承诺的是，各种范畴的表达可能具有不同的意义。

4.5 莱希涅夫斯基对语义学的反感

我们已经看到，莱希涅夫斯基是如何在为数学提供无反义基础的斗争中发展他的逻辑体系的，他的逻辑体系可以与弗雷格、怀特海和罗素的逻辑体系相媲美，但却没有他们的缺陷。他逐渐从高度风格化的带变量的散文转向完全形式化的系统，这使他无法像希尔伯特那样将自己的逻辑视为一个未经解释的系统。从一开始，他就认为他的体系，即使是完全形式化的体系，也是由原始的和定义的常量表达式组成的，具有固定的预期含义，他试图通过举例和阐释来阐明这些含义。他还认为他的所有公理和定理都是真的。在这一点上，他是继弗雷格和罗素之后的人，而弗雷格和罗素同样不认为外部来源会以某种方式将意义传达给逻辑的表达式和句子。

这种对逻辑的态度开始被逻辑语义学的发展所取代，尤其是在他以前的学生塔尔斯基的手中。转折点出现在塔尔斯基关于演绎科学语言中真理概念的论文发表之后。这篇论文的初稿发表于1929-1930年，1931年哥德尔的不完备性结果公布后进行了更新，最终于1933年以波兰文发表。众所周知，莱希涅夫斯基反对这篇论文。这可能有两个原因。一是塔尔斯基在他的元逻辑学内核（apparatus）中利用了集合论。尽管他使用的范围并不广泛，但这是集合论对逻辑元理论的入侵，而莱希涅夫斯基不能不对此表示反对。另一个原因可能是，塔尔斯基在专著的前半部分忠实地坚持有限类型的概念，类似于莱希涅夫斯基的语义范畴理论，而在后半部分，他却认为这是一种不必要的限制，并接受了无限类型的适当性。

事实上，莱希涅夫斯基的逻辑体系本质上并不反语义。我们可以给予它们更标准的表述，并从模型理论的角度对它们进行研究（参见斯塔奇尼亚克，1981年）。我们也可以从元逻辑的角度对它们进行研究，而不必背弃莱希涅夫斯基对抽象实体的忌惮。但事实是，很少有人认为值得花大力气去做这个项目。

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