【SEP】斯坦尼斯瓦夫·莱希涅夫斯基（二）

3.2本体论

1916年的整分论语言除了使用整分论逻辑基元“部分”之外，还使用了许多表达式：除了唯名论变量之外，还有由唯名论变量组成句子的表达式，如“A is (a) b”、“A is B”、“every a is a b”、“some a is a b”、“no a is a b”，以及“对象”（object）和“存在”（exist）等词。句子中也会出现复杂的名称，如“A的每一部分都是A的成分”中的“A的一部分”和“A的成分”。迄今为止，莱希涅夫斯基一直认为这些语言的逻辑片段是理所当然的，但现在他需要将它们形式化。他希望对名称和涉及名称的表达式进行逻辑演算。传统的对偶论，尤其是恩斯特·施罗德（Ernst Schröder）的逻辑代数学，都有先例可循，莱希涅夫斯基在建立自己的体系时，也参考了这些先例，就像《格言学》一样，是基于他对普通语言中谨慎使用的相关表达方式的直观理解。起初，他收集了一些他确信为真的命题，如“如果A是b，那么A就是A”。我们之所以知道这个命题，是因为特沃多夫斯基在1919年7月1日的一篇日记中提到了它，而且可能是轻蔑地提到了它，说它是莱希涅夫斯基当时正在研究的新体系的第一个公理。莱希涅夫斯基为我们生动地描述了他在这一关键而多变的发展时期的工作方法（《作品集》366-9）：

在科学工作中使用口语并试图控制其“逻辑”的同时，我努力以某种方式使我在口语中使用“传统逻辑”传给我们的各类命题的方式合理化。在依靠“语言本能”和往往不统一的“传统逻辑”传统的同时，我试图设计一种连贯的方法来处理“单数”（singular）、“专名”（particular）、“一般”（general）、“存在”（existential）等命题。我的努力取得了有益的成果，在改用“符号化”书写方式后，我继续努力将各类命题的等价物应用于“符号”。

在以这种方式工作，并试图用其他表达式来定义某些表达式时，勒希涅夫斯基开始关注“A是(a)b”这种形式的单数命题，并将其写作“Aεb”他从皮亚诺那里借用了希腊文“εστι”的第一个字母小写ε，即“是”。正是这种与“是”含义的联系促使莱希涅夫斯基将这一系统命名为“本体论”。他认为，除了从连接词和量词逻辑中提取的概念外，还可以将“Aεb”这样的单数包含词作为本体论的基础。主要的想法是，以下内容应为真：

A是a，当且仅当（每个A都是a，且最多有一个对象是A）

这就需要定义“每个A都是A”和“最多有一个对象是A”这两个表达式，第一个表达式可以用下面的方法来解释：

当且仅当（某个对象是a，且对于任意X，如果X是a，则X是b）时，每个a都是b

这就需要定义“某个”和“对象”：它们还可以通过以下方式得到进一步的帮助：

某些a是b，当且仅当对某些X而言，X是a且X是b时

如果A是b，那么A是对象

而第二种情况可以通过：

对于任意A和B，如果A是a，B也是a，则A与B是同一个对象，且只有当且仅当这两个条件成立时，最多有一个对象是a

最后我们有：

当且仅当（A是B，B是A）时，A与B是同一对象

将这些公理结合在一起，并受到罗素的确定描述理论的启发，莱希涅夫斯基于1920年得出了一个基于单一基元“是”的公理：

A是a，当且仅当（（对于某些B，B是A）和（对于任何B和C，如果B是A，C是A，那么B是C），以及（对于任何B，如果B是A，那么B是a））

据说，勒希涅夫斯基是坐在华沙撒克逊花园的长椅上发现这个公理的，他的努力是通过吃巧克力条来加强的。在符号上，我们使用了比莱希涅夫斯基更现代的符号，但借用了他的上角标记量词范围，公理变为：

(OL) ∀Aa┌Aεa↔(∃B┌BεA┐

∧∀BC┌(BεA∧CεA)→BεC┐

∧∀B┌BεA→Bεa┐)┐

这个公理及其表述有几处值得注意。它采用普遍量化等价关系的形式，右边解释左边，因此它是基元“ε”的一种隐含定义。右侧从罗素那里得到的启示是：至少有一个A（第一连词），最多有一个A（第二连词），任何A都是a（第三连词）。大写变量的使用是一种非正式的辅助手段：它们标记了句子中（尤其是“ε”之前）变量的位置，在这些位置上，如果变量是单数，它只能产生其上下文中的一个真理。在使用小斜体变量时，则不存在这种单数推定。原则上只需要一种变量类型。在他的公理和几条推理规则的基础上，勒希涅夫斯基发展了一个强大的一般逻辑系统，其强度可与简单的类型理论相媲美，他在1929年写道：“1921年，我发展了我的类型论……它类似于怀特海和罗素的类型论，我以某种方式对其进行了概括和简化”（《全集》，421页）。

3.3原论Protothetic

整分论和本体论都预设了一个更深的逻辑层，包括由“如果”、“不是”和“并且”等连接词组成的命题逻辑，以及尚未被解释的量词“对于所有”（∀）和“对于某些”（∃）的逻辑。把本体论建立在公理基础上之后，莱希涅夫斯基转向了本体论的公理化。他最初说的是“演绎理论”（deduction），这是怀特海和罗素对命题微积分使用的名称，但由于他们直到后来才引入量词逻辑，所以他创造了Protothetic一词，源自希腊语，意为“第一论题”。莱希涅夫斯基逻辑的一个特点是，他在逻辑的最基本部分，甚至在引入名称之前，就引入了量词。这与大多数现代理论不同，后者只有在引入名称和谓词时才引入量词。这引出了有关莱希涅夫斯基中量词性质的问题，我们将在下文中再次讨论。

勒希涅夫斯基对公理系统的偏好，部分是基于《本体论》的成功，部分也是基于对定义性质的考虑，是将逻辑系统建立在物质等价的单一连接词和通用量词之上。由于他不知道如何从等价性的角度消除联结的连接词，他在为“原论”（Protothetic）做这件事的过程中被耽搁了一段时间。既然有了量词和等价性，否定就很容易定义了，罗素曾向弗雷格建议过这样一种方式：

(Def. ∼) ∀p┌∼p↔(p↔∀r┌r┐)┐

莱希涅夫斯基 21 岁的博士生阿尔弗雷德·泰特鲍姆（Alfred Teitelbaum）为他找到了解决方法，他后来用自己的名字阿尔弗雷德·塔尔斯基（Alfred Tarski）闻名于世。它不仅包括句子的量化，还包括句法函数或连接词的量化：

(Def. ∧) ∀pq┌p∧q↔∀f┌p↔(f(p)↔f(q))┐┐

在这种情况下，量化单位连接词。假定只有断言、否定、同义反复和矛盾这四个连接词，那么就可以直接证明右边等价于p和q的联结。塔尔斯基的博士论文就是围绕这一结果展开的。

至于公理化，莱希涅夫斯基知道等价的纯理论可以建立在两个公理之上，这两个公理分别说明了偏斜传递性和关联性：

(P1) ((p↔r)↔(q↔p))↔(r↔q)

(P2) (p↔(q↔r))↔((p↔q)↔r)

纯粹等价微积分有一个奇怪的性质，莱希涅夫斯基证明了这一点：当且仅当一个公式中的每一个命题变量出现的次数都是偶数时，这个公式就是定理。在对这些公理进行普遍量化之后，又增加了一条公理来引入命题函数，在这里是双位函数：

(P3) ∀gp┌∀f┌g(pp)↔(∀r┌f(rr)↔g(pp)┐

↔∀r┌f(rr)↔g((p↔∀q┌q┐)

↔p)┐)↔∀q┌g(qp)┐┐┐

莱希涅夫斯基和他的学生们再次寻求更简短、更透彻的表述，或者只包含一条公理的表述，尽管后者往往既不简短也不透彻。

随着整分论的推出，莱希涅夫斯基现在可以回顾他的基础体系，发现它由三个体系组成，并以相反的顺序发展：原论引入了连接词、量词和高级函数；本体论引入了新的名称类别和新的基元“是”；整分论以基元整分论函数（如“部分”或“成分”）为基础，但没有引入本体论中尚未预见的新的表达类别。

4.莱希涅夫斯基逻辑的哲学方面

4.1语义范畴

莱希涅夫斯基对逻辑元理论最持久的贡献之一是他的语义范畴理论。这取代了他在1921年提出的简单类型论，关于这一理论，他写道：“即使在我构建类型论的时候，我也认为它只是一个不适当的权宜之计……1922年，我勾勒出一个语义范畴的概念，以取代类型的层次结构，这对我来说是相当不直观的”（《全集》，421）。在类型论中，属于不同逻辑类型的表达式不能相互替代，否则就会把符合语法或格式正确的表达式变成不符合语法或格式错误的表达式。只有格式正确或符合语法的表达式才有意义或含义。该理论由伯特兰·罗素（Bertrand Russell）提出，作为解决集合论悖论的一种方法，尽管恩斯特·施罗德（Ernst Schröder）和戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）在其著作中也有所提及。在类型论中，通常假定每种类型的变量都涵盖该类型特有的实体域，而且所有这些域都是互不相交的。例如，在弗雷格那里，范畴是不同层次的对象和功能，而在罗素那里，范畴通常是命题功能的层次。这种假定的柏拉图主义和本体论的膨胀立场自然与唯名论者莱希涅夫斯基的观点格格不入，于是他重新调整了范畴的概念，把范畴从实体类（及其附带的表达式）变成了单纯的表达式类。他的灵感部分来自传统的不同语篇句法理论，部分来自胡塞尔在《逻辑研究》中提出的“意义范畴”（Bedeutungskategorien）理论。胡塞尔的范畴是抽象意义的范畴，而勒希涅夫斯基一直是唯名论者，他代之以（具体的）表达范畴。虽然像后来的作家一样，他本可以把表达式的类别称为“句法范畴”，但他特意选择了“语义范畴”这一表述，以强调语法上组合起来的表达式都是有意义的，这与希尔伯特学派的形式主义作家提出的无意义标记不同。

莱希涅夫斯基本人从未明确提出过语义范畴理论，而是满足于在实践中使用它们。他的同代人卡齐米日·阿吉杜凯维茨（Kazimierz Ajdukiewicz）在1935年发表的文章《句法联系》中首次提出了语义范畴理论。阿吉杜凯维茨的文章成为后来分类语法分支学科的源头。修改 阿吉杜凯维茨的符号后，我们可以按照莱希涅夫斯基的用法来解释语义范畴。莱希涅夫斯基认为，这一理论只适用于他的逻辑系统，而不适用于普通语言，因为他对普通语言是否能够准确无误持怀疑态度。后来的研究表明，分类语法可以非常成功地应用于自然语言的语法。

在莱希涅夫斯基理论中有两个基本类别：句子（S）和名称（N）。在本体论中，只使用前者：本体论和概念论则增加了后者。句子和名称之间的区别是终极性的：我们可以说，句子是用来说明事物的真假的（显然，从逻辑的角度来看，我们忽略了问题和命令），而名称是用来表示事物的。莱希涅夫斯基遵循传统，允许名称表示多个事物或一个事物，甚至不表示任何事物。因此，“伊斯坦布尔”只表示一种事物，即土耳其城市；“城市”表示多种事物，即所有城市；而“独角兽”则什么也不表示。在莱希涅夫斯基的成熟著作中，密尔的内涵概念和它所使用的属性概念都被放弃了，因此名称的唯一逻辑功能就是表示。同样是遵循传统而非弗雷格和罗素的现代方法，莱希涅夫斯基没有在句法上区分一般术语或普通名词与单数术语或专有名词。人们常说这是因为他的母语波兰语中缺少定冠词和不定冠词，而定冠词和不定冠词在语法上的区别更为明显，但这种猜测是无稽之谈，因为莱希涅夫斯基会说和写流利的德语，而德语中的冠词比比皆是。看起来更有可能的是，莱希涅夫斯基故意选择了传统的而不是现代的方式，因为他认为这种方式更有表达力，也更接近自然语言。

由于语言并不完全由未表述的句子或名称组成，还有其他类别的表达式，这些表达式以规则控制的方式相互结合，产生进一步的表达式，最终形成句子。在莱希涅夫斯基逻辑语言的规范环境中，这种结合总是以如下方式进行的：一个结合表达式（我们可以称之为函式）在某个左括号之前，然后是一个或多个参数表达式的序列，接着是一个与另一个对称的右括号，这个右括号结束了这个复合体。一般模式为：

“函数+左括号+参数1+……+参数n+右括号”，例如：

F(a1…an)

或者更具体地说，∼(p),ϙ(pq),ε{Aa}。

现在，让我们为“F”这样一个函子的范畴提供一个受阿基德凯维奇（Ajdukiewicz）启发的符号。如果“a1”的范畴是α1，“an”的范畴是“αn”，而整个表达式“F（a1……an）”的范畴是β，那么我们可以把函数表达式F的范畴写为：

β ⟨α1……αn⟩

表示左侧输出的类别，以及斜括号内输入的类别。这就是表达式的分类索引。因此，句式否定的类别是 S⟨S ⟩，连词的类别是 S⟨SS ⟩，而ε函数的类别是 S⟨NN ⟩，因为它使用两个名称作为参数来造句。

阿基德凯维奇在其1935年的论文中指出，我们可以用这样的符号来发展语法组合微积分：我们取一个假定的格式良好的表达式，必要时将其重新排列成函数优先的顺序，然后看看我们能否“乘出”参数和函数，从而得出一个单一的分类索引。如果可以，那么这个复合表达式就是符合语法的、格式正确的或句法连接的。例如，“ε{Aa}”在句法上的连接关系如下：将表达式 e 的范畴写成 |e|，我们就有：

|ε|=S⟨NN⟩, |A|=|a|=N, so |ε{Aa}|=S⟨NN⟩×(N×N)=S

正如我们所料。阿基德凯维奇使用的是“商”（quotient）符号，而不是我们的斜角括号；这使得“乘出”的概念更加形象，但对于复杂的情况就显得繁琐了。

有些函数的参数可能是函数：例如，两个二元谓词之间的连词有一个类别S⟨S⟨NN⟩S⟨NN⟩⟩。也可能存在所谓的多链接函子，即其值为函子的函子。例如，英语词素“-ly”将一个形容词（类别N⟨N⟩）转换为副词（类别S⟨N⟨S⟨N⟩⟩），所以“-ly”具有有效类别S⟨N⟨S⟨N⟩⟨N⟨N⟩⟩。在后来的一些分类语法中，及物动词很有可能被认为具有多环节范畴S⟨N⟩⟨N⟩，而不是二元谓词范畴S⟨NN⟩。这确实是逻辑学中的一个标准技巧，由摩西·舍芬克尔（Moses Schönfinkel）于1924年首次提出，用于省略多位置函数，而使用多链接但单位置的函数。如果莱希涅夫斯基知道这一点，他无疑会反对的。虽然取消多位置函数并没有损失逻辑能力，但这一举动是不自然的，而且莱希涅夫斯基也不会同意将多位置函数变相定义为多连接函数，例如我们在丘奇（Church）中就发现了这种情况。

有了“句子”和“名称”这两个基本范畴，每一个范畴和表达式，无论多么复杂，都会有一个以“S”开头的范畴索引，从而最终形成句子，或者以“N”开头的范畴索引，从而最终形成名称。根据尤金·卢谢（Eugene Luschei）提出的一个有用的术语建议，我们可以把前者称为命题范畴和表达式，后者称为名词范畴和表达式（Luschei 1962, 169）。

请注意，莱希涅夫斯基符号中的括号本身并没有类别：它们是同义词。它们的作用有两个：标记参数字符串的开头和结尾，以及帮助指明函数的语义类别。因此，对于从句子（即连接词）产生句子的函数，莱希涅夫斯基使用圆括号，而对于从名称（即谓词）产生句子的函数，则使用大括号。原则上，可能需要无限多的括号形状，事实上，在索博琴斯基（Sobociński）学生的一些作品中，就有几十种不同的括号形状。莱希涅夫斯基之所以赋予括号第二种作用，是因为他希望在函数的表达形式上保持极大的灵活性，甚至允许在“类似的”函数中使用相同的形状，例如三位连词，或“高阶”ε和等价物，或其他逻辑常数。显然，这是他的符号的一个偶然特征：其他约定俗成的符号也同样适用。

对元逻辑学而言，更重要的是，在莱希涅夫斯基那里，普遍量词也是同义的。从符号上看，他用来表示通用量词的下角不过是变量的容器，但更重要的是，任何一串有限的不同变量都可以出现在这样的量词中，无论它们的类别有多么杂乱。这种灵活性有一些好处。莱希涅夫斯基不需要为许多不同种类的通用量词给出规则，而是一次性地为一种量词给出规则。但也有一些缺点。在他的“正式”逻辑符号中，莱希涅夫斯基只使用了普遍量词，而没有用标准的方式定义特殊量词或其他量词。这也是弗雷格的做法，但在弗雷格的例子中，吝啬似乎是自找的，而在莱希涅夫斯基的例子中，则有系统的原因。莱希涅夫斯基非常谨慎地给出了通过定义接受新表达式的精确规则。他为“本体论”给出了这样的规则，并将其扩展到“本体论”。这些规则只适用于基本表达式和函数类表达式。量词作为变量粘合剂，既不是基本表达式，也不是函数表达式，但莱希涅夫斯基无法为这类变量粘合剂提出可接受的定义规范。他本想这样做，事实上，如果学生们能制定出适当的规则，他可以为他们提供任何学位，从硕士学位到荣誉学位，但没人能做到。因此，在“官方”系统中，通用量词仍然是同义词，但仍然进入了法律组合，这意味着他的系统的语法并没有完全被分类语法所捕捉。这种局限性在阿基德凯维奇看来也是显而易见的，他曾试图纠正这种局限性，但没有成功。阿基德凯维奇敏锐地注意到，一种包含罗素的圆周抽象运算符（阿朗佐·丘奇使用希腊语lambda标记了这种运算符）的语言可以将任何运算符表达为抽象运算符与函数的组合。丘奇在他的逻辑学中使用了这种方法，并取得了相当大的优势，但这项工作来得太晚，无法帮助莱希涅夫斯基。

无论如何，在丘奇那里，它只是把同步绝对性问题推到了lambda算子上。

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