数学分支全部代数化

Gelfand曾经说过“所有的数学都是某种表示论”（原话： I used to say: "Everything is Representation Theory". Now I say: "Nothing is Representation Theory".这里我断章取义，只考虑前半句话hhh）与其把这句话看成一个结论，不如看成一个目标，就是把尽可能多的数学代数化，放进表示论的框架里。我一直非常喜欢这样的数学，恰好有一个数学分支与这个目标密切相关，那就是非交换几何（很大一部分和算子代数重叠）。鉴于（我，非交换几何）同伦等价于（叶公，龙），我只能谈谈自己非常粗浅的理解，权当抛砖引玉，欢迎评论指正。

非交换几何是一个非常庞大、内容非常丰富的数学分支，但是一个基本的想法就是把几何对象代数化，然后研究它的非交换推广。我觉得这个学科的一个起源是量子力学，或者说是量子化的想法：一个经典力学模型包含一个辛（或者更一般，柏松）流形M 作为相空间，可观测量就是相空间上的光滑函数，组成一个柏松代数 C∞ (M) 。一个量子力学模型包含一个希尔伯特空间 H ，可观测量是 H 上的自伴算子，组成一个 C*-代数 A （这里忽略了一些细节）。我们说 A 是 M 的一个量子化，如果存在代数同态 C∞ (M) → A，把柏松括号映射成交换子。在这个过程中，一个交换的代数变成了一个不交换的代数，所以数学上一般的把交换变成不交换的过程都叫做量子化。

M 上的很多几何（或者力学系统的动力学特性）可以通过 C∞ (M) 上的柏松括号来刻画，甚至很多构造都不需要流形 M 出现，只需要一个一般的柏松代数都可以做，这就反映了非交换几何的想法：用代数的信息刻画几何对象，然后研究它的非交换推广。下面我们将会给出一些基本的例子。

一：拓扑

紧Hausdorff空间在一般拓扑中是非常基本的研究对象，想必大家都不会陌生。那么，令X 为一个紧Hausdorff拓扑空间，如何用代数的信息来刻画 X 呢？

在很多数学分支里面，或多或少都会看见如下的对偶性：

【几何对象（X ）】对偶于【代数对象（ X 上的某些“函数”）】

我们试图用这个理念来代数化X 。令 A＝C 为 X 上全体连续函数组成的复线性空间，它关于函数的逐点相乘构成一个交换 ℂ-代数。但是这样的信息并不足以刻画 X 的拓扑，我们需要一些更“精细”的信息。于是对任意 f ∈ A ，定义 f 的范数 ||f|| 为 |f| 在 X 上的最大值，定义 f 的 *-运算 f* 为 f 的复共轭。那么 A 关于 || · || 和 * 构成一个交换含单位 C*-代数。我在这里不想回顾 C*-代数的定义——无非就是一个 ℂ-代数带上范数和 *-运算，满足一些公理。下面的定理说明， C(X) “完全决定”了 Ⅹ ，也就是说， C(X) 作为交换含单位 C*-代数，是 X 的合格的代数化。

【Gelfand-Naimark定理】 反变函子 X ↦ C(X) 给出了范畴 { 紧Hausdorff空间，关于连续映射 }ᵒᵖ 和范畴 { 交换含单位 C*-代数，关于 *-同态 } 的等价。

我简单介绍一下这个函子的逆函子如何给出，详细的证明在很多地方都可以找到，我比较喜欢Folland的Abstract Harmonic Analysis。给定一个交换含单位C*-代数 A ，令 σ(A) 为 A 的所有极大理想组成的集合（注意这里和代数几何里面的 Spec 的相似性），或者等价地， A 的所有连续特征 χ：A → ℂ 组成的集合，称为 A 的谱集。用后面一种视角，可以在 σ(A) 上定义弱 *-拓扑，因为特征也是连续泛函。对于任何 f∈A ，定义 f 的 Gelfand 变换 ˆf：σ(A) → ℂ 为 σ(A) 上的函数 ˆf(χ)：＝χ(f) ，于是 σ(A) 上的弱 *-拓扑就是使得所有的Gelfand变换都连续的最粗的拓扑。可以证明这样的 σ(A) 确实是一个紧Hausdorff空间，并且这两个函子互逆。特别地，Gelfand变换给出 C*-代数同构 ˆ·：A → C(σ(A)) 。

这个美妙的定理告诉了我们紧Hausdorff空间确实可以用完全代数的信息刻画。更美妙的是，这个定理还和一些代数和拓扑里面基本的操作是协调的：对一个局部紧Hausdorff空间X ，我们可以考虑它的单点紧化 X⁺＝X∪{∞} ；对于一个不含单位的交换代数 A ，我们也可以自然的构造一个含单位的代数 A⁺＝A ⨁ ℂ ，其中乘法定义为 (α，λ) (b，μ)＝(αb＋μα＋λb，λμ) ，单位元为 (0，1) 。这两个构造都可以用万有性质刻画，单点紧化是最“小”的紧化， A⁺ 也是 A 最“小”的单位化。上面的范畴同构可以通过这两个操作自然的扩充为局部紧Hausdorff空间范畴到交换 C*-代数范畴的同构，但是要稍作修改，比如要把局部紧Hausdorff空间 X 映射到 C₀(X) ，也就是 Ⅹ 上“在无穷远处等于 0 “的全体连续函数组成的 C*-代数。相应地，如果考虑最“大”的紧化，也就是Stone-Cech紧化，对应的代数是 Cb(X) ，也就是 Ⅹ 上全体有界连续函数组成的 C*-代数，它是 C₀(X) 最“大”的单位化。不过这一步似乎不能得到范畴等价。

于是原则上，研究局部紧Hausdorff拓扑空间等价于研究交换C*-代数。特别地，一些拓扑上的构造可以直接在代数层面做，比如可以定义一个 C*-代数的suspension——这里甚至都不需要交换性条件，在非交换几何的视角下，每个 C*-代数也对应“某种”拓扑对象。至于这样看的好处是什么，很遗憾我还没有理解。但是这并不妨碍我非常喜欢这样的视角。

多说一句，有界自伴算子的“泛函演算”，可以用Gelfand变换非常漂亮地解释：考虑这个算子T 自己生成的交换 C*-代数 A ，那么 A 的谱集 Σ＝σ(A) 就是 T 的谱集，于是 Σ 上的每个连续函数 f 都可以通过Gelfand逆变换给出 A 中的一个算子 Tf ，这也就是泛函演算。这个过程显然可以扩充到全体有界Borel可测函数组成的 C*-代数。

二、向量丛‬

令X 为紧Hausdorff拓扑空间， E → X 为 X 上的拓扑复向量丛。怎样代数地刻画 E 呢？这时候自然的代数对象是 Γ(E) ，也就是 E 的全部整体截面构成的复线性空间。注意 Γ(E) 不但是一个复线性空间，它还是一个 C(X)-模（这里把 C(X) 看成环就足够了）。事实上，由于每个向量丛都是一个平凡向量丛的direct summand， Γ(E) 是一个投射 C(X)-模。下面的定理说明， Γ(E) 完全决定了 E ，所以 Γ(E) 作为一个投射 C(X)-模，是 Γ(E) 合格的代数化。

【Serre-Swan】函子 E ↦ Γ(E) 给出了（ X 上向量丛范畴）到（投射 C(X)-模）范畴的等价。

特别地，X 的拓扑 K 理论和 C(X) 的代数 K 理论典范同构。关于拓扑 K 理论，有著名的Atiyah-Janich定理：

【Atiyah-Janich】我们有典范同构 ind：[X，F] → K(X)，其中 F 是一个无穷维可分希尔伯特空间里面的全体Fredholm算子组成的集合，拓扑由算子范数给出。有趣的是，这个定理可以推广到非交换的含单位 C*-代数，其中涉及的结构叫Fredholm模，利用它可以给出指标定理在算子代数层面的解释甚至推广。

三、测度论‬

现在令(X，μ) 为测度空间。什么样的代数可以描述测度？这里我们考虑 X 上的全体本质有界函数 L∞(X，μ) 组成的代数。它按照本质上确界和复共轭仍然构成一个 C*-代数，不过实际上，这是一类非常特殊的 C* 代数，叫做冯.诺伊曼代数。测度 μ 给出这个冯.诺伊曼代数上的一个weight φ：L∞ (X，μ)⁺ → [0，∞]，φ(f)＝∫xfdμ。

根据我们的原则， (L∞(X)，φ) 应该是 (X，μ) 的代数化，不过我对这个领域完全不了解，所以不知道准确的定理是什么。

类似的，一般的非交换冯.诺伊曼代数的研究被认为是非交换版本的测度论。冯.诺伊曼代数在很多数学分支（特别是数学物理）里有非常神奇的应用，这里只提一下Jones的工作，很遗憾我一点都不懂。

四、微分几何

现在令X 为闭微分流形。另外一个回答 zhihu.com/question/5954... 提到了， C∞ (X) 作为smooth ℝ-代数完全决定了 X 。更进一步，只从 C∞ (X) 出发我们可以轻易的构造出 X 上的向量场和 1-微分形式：向量场就是 C∞ (X) 到自己的 ℝ-derivation， 1-形式可以通过Kahler differential（这个构造完全是代数的）得到。更进一步， C∞ (X) 的Hochschild homology和cohomology给出了 X 上的微分形式和polyvector fields：

【Hochschild-Kostant-Rosenberg】 令 H Hₖ，H Hᵏ 分别为Hochschild homology和cohomology，则 H Hₖ(C∞(X))＝Γ(∧ᵏT*X)，H Hᵏ(C∞(X))＝Γ(∧ᵏTX) 。

相应地，所有的differential calculus应该都可以完全代数的处理（这里特别想提一下Cartan's magic formula的证明）。不过我个人一直有一个疑惑：怎样从 C∞ 出发，完全代数地定义 X 上的top forms的积分？

在经典的微分几何里面，这一步用到了单位分解，我不知道怎样代数的操作这个过程。不过原则上C∞ (X) 可以完全决定 X ，所以这件事应该也是可以做的。我觉得对我自己来说，问题出在了smooth这个blackbox：什么叫smooth ℝ-代数？

在非交换几何里面，给定一个一般的结合代数A ，也可以用类似的办法定义 A 上的“非交换微分形式”，甚至Chern character、Chern-Weil theory都有推广。然而这些也仅仅是个开始。

第一个是Grothendieck早期关于nuclear space的工作，可以看成是把一小部分泛函分析代数化。这段研究的观点应该是试图研究topological vector space（或者F space之类的）的范畴，特别地，如何定义tensor product（大家广泛使用的希尔伯特空间张量积的定义不是范畴意义下的张量积！事实上希尔伯特空间范畴根本不存在按照通常的万有性质定义的张量积！）。其中肉眼可见的麻烦是Hom set定义拓扑的方法不唯一，不像线性空间范畴Hom set仍然自动是线性空间（这种范畴有没有名字，是enriched category吗？），这也导致了潜在的张量积的定义不唯一。Nuclear space的一个定义就是使得两种不同张量积定义实际上相同的空间。特别地，这个理论会给出Schwartz kernel theorem的一个非常漂亮的证明。

第二个是传统的调和分析可以用Heisenberg group和Weil表示的框架来解读。简单的说，Heisenberg group由L²(ℝⁿ) 上的三种常规的unitary算子生成，并且傅立叶变换normalize Heisenberg——它在辛群的Weil表示里面。按照这个视角可以重新解读经典的调和分析里面的一些基本的现象，我懒得展开了，直接看这篇：

ON THE ROLE OF THE HEISENBERG GROUP IN HARMONIC ANALYSIS, BY ROGER HOWE

最后是参考文献环节。相关的文献实在太多，比如Alain Connes就有数不尽的贡献。对我个人影响最大的文献是：

Elements of Noncommutative Geometry, by Jose M.Gracia-Bondia, Joseph C.Varilly and Hector Figueroa

Lectures on Noncommutative Geometry, Victor Ginzburg

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