【沙法列维奇-泰特猜想】（一）

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泰特猜想

关于图的着色的一个著名猜想

泰特猜想(Tait's conjecture)是关于图的着色的一个著名猜想，3正则图的3边正常着色称为泰特着色。泰特猜想：每个简单3正则3连通平面图都有泰特着色，它与四色猜想等价，泰特(P.G.Tait)曾根据“每个3正则3连通平面图都是哈密顿图”的错误假设，给出了四色猜想的一个“证明”，塔特(W.T.Tutte)于1946年构造了一个3正则3连通的平面图，在这图上不存在哈密顿图，这个图称为塔特图，由此推翻了泰特于1880年给出的四色猜想的“证明”[1]。

中文名

泰特猜想

外文名

Tait's conjecture

所属学科

数学

所属问题

组合学(图与超图)

简介

关于图的着色的一个著名猜想

基本介绍

对于复阿贝尔簇 A＝Cᵍ/L，它的子群A[n]＝{α ∈ A|nα＝0} 同构于加法群

1

─L/L ≅ (Z/nZ)²ᵍ．

n

如果A是定义在数域K上，将A[n]中所有点的坐标添加到K中，形成K的一个扩域K⁽ⁿ⁾ ，K⁽ⁿ⁾ 是K的代数闭包量Kαᶜ 的子域。伽罗瓦群G＝Gαl (Kαᶜ/K)作用在子群A[n]上，给出G在GL₂g (Z/nZ)上的伽罗瓦表示，现在取素数l ，则有自然满同态 A[lᵐ⁺¹] → A[lᵐ]，α ↦ lα，于是有极限 Tₗ (A)＝lim A[lᵐ]，

m→∞

这叫作阿贝尔簇A的泰特模。由极限过程知，Tₗ (A) 群同构于 lim (Z/lᵐ Z)²ᵍ＝Zₗ²ᵍ，其中Zₗ 是1-adic整数环。群G通过取极限作用在Tₗ (A)上，从而给出G在GL₂g (Zₗ) 中的1-adic表示。进而，若B是定义在K上的另一个阿贝尔簇，则所有从A到B的群同态形成加法群 Hom(A，B)，而与G作用可交换的从Tₗ (A) 到 Tₗ (B)的群同态形成群 Homɢ (Tₗ (A)，Tₗ (B))，泰特猜想是说：

(1)G到 上的1-adic表示 G → GL₂g (Zₗ) 是半单的；

(2)有群同构 Hom (A，B) ⨂ Zₗ ≅ Homɢ (Tₗ(A)，Tₗ(B))．

每个同态φ：A → B自然诱导出泰特模之间的一个同态 Tₗ(φ)：Tₗ (A) → Tₗ (B)，而猜想(2)本质上相当于说： φ 由Tₗ (φ) 所决定，即阿贝尔簇之间的同态由它在泰特模上的作用所决定，并且Tₗ (A)到 Tₗ (B)的每个G-同态都是由某个 φ：A → B 诱导出来的[2] 。

泰特猜想的证明

法尔廷斯首先证明了泰特猜想，然后由泰特猜想再推出关于阿贝尔簇的沙法列维奇猜想，这也就证明了关于曲线的沙法列维奇猜想和莫代尔猜想。

法尔廷斯证明泰特猜想和关于阿贝尔簇的沙法列维奇猜想的方法本质上是费马于三百年前发明的无穷下降法，费马在证明方程x⁴＋y⁴＝z⁴没有正整数解时，他假定(x，y，z)＝(α，b，c)是一组正整数解，由此又导出另一组正整数解 (x，y，z)＝(α'，b'，c')，使得c'＜c，但是正整数不能无穷下降，由此导出矛盾．这个证明本质上利用了正整数的大小概念，并且对每个正实数c，不超过C的正整数只有有限多个．为了证明关于阿贝尔簇的沙法列维奇猜想，即定义在数域K上的g维主极化阿贝尔簇只有有限多个，使得它们在S之外的每个K-位上都有好的约化，法尔廷斯对每个这样的阿贝尔簇A定义一个衡量大小的量h(A)，叫作A的高度。这个高度的定义比较复杂，但是它可以转化成另一个比较容易叙述的高度概念，西格尔把K上的所有g维主极化阿贝尔簇作成一个新的射影代数簇ng，叫作参量空间(moduli space)，也就是说，K上的每个g维主极化阿贝尔簇A是ng中的一个点x，由于ng是射影代数簇，它可嵌到K上的某个射影空间Pⁿ (K)中，我们可以在射影空间中定义一个高度概念，以K=Q为例，n维射影空间Pⁿ (Q) 的每个点可以唯一表示成 x＝(x₀，. . .，xₙ)，其中x₀，. . .，xₙ是不全为零的整数并且没有大于1的公因子，点x的高度定义为 h (x)＝max {log|xᵢ|}， 0≤i≤n

不难看出，对于每个正实数c， Pⁿ (Q) 中满足h(x) ≤ c 的射影点x只有有限多个,对于一般的代数数域K，射影空间Pⁿ (K)中点x的高度h(x)也可以定义，并且有同样的性质：高度有界的点只有有限多个，如果阿贝尔簇A对应于点x，则法尔廷斯证明两个高度h(A)和h(x)本质上是一回事。

现在，K上每个g维主极化阿贝尔簇A对应参量空间ng。的一个点，从而对应射影空间Pⁿ (K)中一个点，而其中在S外的K-位均有好的约化的阿贝尔簇形成ng的一个子集合 ，它也是射影空间Pⁿ (K)中的一个子集合，利用泰特猜想可以证明Pⁿ (K)中子集合 n'g。所有点的高度是有界的(证明中还使用了表示论等一系列结果，甚至还利用了德林-韦伊定理)，所有 n'g 是有限集合，从而只有有限多个阿贝尔簇在S之外的K-位均有好的约化，这就由泰特猜想证明了关于阿贝尔簇的沙法列维奇猜想。

法尔廷斯证明了泰特猜想也是使用了上述的“有界高度原则”，并且在技术细节中也使用了Zarhin等人的其他重要结果[2] 。

参考资料

[1] 数学辞海编辑委员会．数学辞海·第二卷．中国科学技术出版社，2002

[2] 冯克勤．著,代数数论简史=A brief history of algebraic number theory．哈尔滨工业大学出版社，2015.01：第146页

Shafarevich-Tait's conjecture

link.springer.com/artic...

The Shafarevich-Tate Conjecture for Pencils of Elliptic Curves on K 3 Surfaces

M. Artin* (Cambridge, Mass.) and H. P. F. Swinnerton-Dyer (Cambridge, England)

参考论文情形

【GPT-4o】

沙法列维奇-泰特猜想（The Shafarevich-Tate Conjecture）是数论中一个重要的未解猜想，它与椭圆曲线及其在有限域上的表示有关。这个猜想主要涉及椭圆曲线的沙法列维奇-泰特群（Shafarevich-Tate group，通常记作Ш或Sha），以及该群的有限性问题。具体来说，这个猜想可以表述如下：

沙法列维奇-泰特群（Ш）

• 定义：对于一个定义在有理数域（或更一般的数域）上的椭圆曲线(E)，其沙法列维奇-泰特群Ш(E)是一个阿贝尔群，由所有在每个地方（即每个素数的p进域及实数域）都有良好表示的椭圆曲线的同构类构成。

• 性质：沙法列维奇-泰特群度量了椭圆曲线在全球良好表示（即在整个数域上有无扭曲表示）与局部良好表示之间的差异。

关于图的着色的一个著名猜想

猜想内容

沙法列维奇-泰特猜想断言，对于每一条定义在有理数域（或更一般的数域）上的椭圆曲线，其沙法列维奇-泰特群是有限的。

重要性

• 有限性：如果Ш(E)是有限的，这意味着对于每一个椭圆曲线E，我们可以在有限的步骤内确定其在每个地方的表示是否是良好的。

• 与BSD猜想的关系：沙法列维奇-泰特猜想是Birch-Swinnerton-Dyer猜想（BSD猜想）的一个重要组成部分。BSD猜想断言，椭圆曲线的L函数在s=1处的阶（order）等于其Mordell-Weil群的秩（rank），并且Ш(E)的阶（order）也出现在BSD猜想的公式中。

研究现状

目前，沙法列维奇-泰特猜想在一般情况下仍未被证明。尽管在某些特殊情况下已有部分结果，但整体猜想的证明仍是一个重大的未解难题。许多研究者正在通过不同的方法（如模形式、同调代数、代数几何等）探索这一猜想。

在M. Artin和H.P.F. Swinnerton-Dyer的论文中，他们讨论了K3曲面上的椭圆曲线束的情况，并验证了在这种特定情况下的沙法列维奇-泰特猜想。他们的研究工作为这一领域提供了重要的理论支持和新的研究方向。

总之，沙法列维奇-泰特猜想是数论中一个非常重要的未解问题，其研究不仅有助于理解椭圆曲线的性质，还对整个数论和代数几何学科的发展具有深远影响。

~

这篇论文由M. Artin和H.P.F. Swinnerton-Dyer撰写，题为《Shafarevich-Tate Conjecture for Pencils of Elliptic Curves on K3 Surfaces》。文章主要讨论了在有限域上的K3曲面上的椭圆曲线束（pencil of elliptic curves）的Shafarevich-Tate猜想。

主要内容摘要

1. 引言

• 研究背景：文章研究的是定义在有限域上的一维阿贝尔簇，特别是椭圆曲线。

• 分类：根据自交数（self-intersection number）的不同，椭圆曲线被分为不同的类型。特别地，当自交数为2时，对应的曲面是K3曲面。

2. Weierstrass纤维化与齐次空间

• 定义与性质：文章讨论了Weierstrass纤维化的定义和性质，特别是当基域是代数闭域时，如何从最小模型得到Weierstrass纤维化。

• 齐次空间的分类：通过讨论Weierstrass纤维化的齐次空间，文章展示了这些空间是如何分类的，并给出了一个具体的例子。

3. 椭圆曲线束的具体情况

• K3曲面上的椭圆曲线束：讨论了K3曲面上的椭圆曲线束，证明了在这种情况下，Shafarevich-Tate猜想成立。

• 数学工具：使用了Leray谱序列和其他数学工具来证明一些关键命题和引理。

4. 主要结论

• 有限性结论：文章证明了在特定条件下，齐次空间的数量是有限的，这是Shafarevich-Tate猜想的一个关键部分。

• Zeta函数与Tate猜想：文章还讨论了Zeta函数的行为以及Tate猜想的等价关系。

5. 进一步研究

• 未解决的问题：虽然文章解决了N=2的情况，但对于更高自交数的情况，还有许多未解问题。

• 研究展望：文章建议进一步研究其他类型的曲面和曲线，以更全面地理解Shafarevich-Tate猜想。

详细解析

1. Weierstrass纤维化

Weierstrass纤维化是指一种特定类型的映射，其中每一个几何纤维都是椭圆曲线或带有奇点的有理曲线。文章通过讨论这种纤维化的性质，引出齐次空间的概念，齐次空间在此上下文中指的是椭圆曲线的不同等价类。

2. 齐次空间的构造

文章通过讨论Picard群（Picard group）来构造齐次空间。特别地，证明了这些空间的同构类可以通过一对（X，S）来分类，其中X是齐次空间，S是其上的一个截面。

3. 椭圆曲线束的具体情况

在处理K3曲面上的椭圆曲线束时，文章详细讨论了这些曲线束的Weierstrass形式。特别地，对于特征不等于2和3的情况，曲线可以表示为标准的Weierstrass形式，其中g2和g3是特定度数的多项式。

4. 主要结论

通过使用Leray谱序列，文章证明了在特定条件下，齐次空间的数量是有限的。这一结果不仅验证了Shafarevich-Tate猜想，还与Tate猜想和Brauer群的有限性密切相关。

5. 进一步研究

文章最后讨论了对于N＞2的情况，仍有许多未解问题，建议进一步研究其他类型的曲面和曲线，以便更全面地理解这一猜想。

总结

这篇论文通过详细的数学推导和证明，验证了在K3曲面上的椭圆曲线束的Shafarevich-Tate猜想，并提出了进一步的研究方向。文章中的关键概念包括Weierstrass纤维化、齐次空间、Leray谱序列和Brauer群的有限性等。

【通义千问】

沙法列维奇-泰特猜想（Shafarevich-Tate Conjecture），也被称为沙法列维奇-泰特群（Shafarevich-Tate Group）的有限性猜想，是数论中关于椭圆曲线和更一般的阿贝尔簇的重要猜想。这个猜想涉及到椭圆曲线和阿贝尔簇的局部-全局原理，特别是关注于所谓的“局部平凡但全局非平凡”的齐次空间的数量。

具体来说，考虑一个定义在数域K上的椭圆曲线E，我们可以构造所谓的沙法列维奇-泰特群Sha(E/K)，它衡量的是那些在所有局部域（即K的所有完成）上都是平凡的，但在全局域K上却非平凡的阿贝尔簇的E-扩张的数量。直观上，这些是在局部层面上看似有解（即有局部点），但在全局层面上却没有解的对象。

沙法列维奇-泰特猜想断言：对于任何数域K和定义在其上的阿贝尔簇A，沙法列维奇-泰特群Sha(A/K)是有限的。这意味着即使存在一些“隐藏”的解，它们的数量也是有限的。

这个猜想的解决对于理解椭圆曲线和阿贝尔簇的算术性质非常重要，尤其是在研究椭圆曲线的有理点、秩、以及它们的L函数时。在特定情况下，这个猜想已经被证明，例如，M. Artin 和 H. P. F. Swinnerton-Dyer 在他们的1973年论文中证明了对于在K3曲面上的椭圆曲线簇，当基域是有限域时，沙法列维奇-泰特群是有限的。

这个猜想与许多其他重要的数论猜想紧密相关，如Birch和Swinnerton-Dyer猜想，它预测了椭圆曲线的秩与其L函数在s=1处的零点顺序之间的联系。如果沙法列维奇-泰特群是有限的，那么这个群的阶数与椭圆曲线的秩以及其他算术不变量一起，提供了关于L函数的信息。

~

Artin 和 Swinnerton-Dyer 在1973年的论文中研究了在K3曲面上椭圆曲线簇的Shafarevich-Tate猜想。他们考虑了一维阿贝尔簇Aᴋ，这些簇定义在一个有限域k上的有理函数域K上。阿贝尔簇被分类为不同家族，其中A*表示一个最小模型表面，携带一般成员为Aₓ[8，12]的椭圆曲线簇。零元素在A*上延展成为一个截面0，其自交点(0)²可以取任何非正整数值N。给定的N值决定了一个簇族，其中低N值的情况如下：

• N＝0常数簇，即Aᴋ由k上的曲线通过域扩张获得。

• N＝1：A*是一个有理表面。

• N＝2：A*是一个带有椭圆曲线簇的K3表面。

当基域k是有限域时，Shafarevich和Tate猜想局部平凡的齐次空间只有有限个。这个猜想对于N＝0，1以及齐次空间阶次与p＝chαr(k)互质时是基本的，因为在这种情况下齐次空间在k的代数闭包ˉk上会变得平凡。特征问题以外的第一个有趣情况是N＝2，此时Aₙ的秩介于0到22之间。利用Deligne的工作，作者们证明了N＝2时的猜想。

当p＞2，3时，N＜2的曲线Aₙ可以在某种域扩张下写成Weierstrass形式。论文处理了这类曲线，并且讨论了当A' → Y在零特征中提升到非奇异Weierstrass纤维化A'₁ → Y₁时，H¹ (Y，Aₙ)中的元素∼γ与∼γ'的关系，以及∼γ'投影到∼γ'∪∼γ'的计算。此外，论文给出了n偶数和奇数时，与∼γ对应的(D)²和P(∼γ)之间的模关系。

论文还证明了若A' → Y可以提升到特征零的非奇异Weierstrass纤维化，则存在一个代数证明使得(D⁽ʳ⁾)²＝r²(D)²模n或2n成立。在k＝ℂ的情况下，任意Weierstrass纤维化都可以提升到非奇异的A'₁ → Y。

最后，论文证明了每个表面X*包含一条具有正自交数的不可约曲线Zυ。线性系统2Zυ定义了从X*到射影空间的双有理映射，其像的度数独立于υ而有界。由于k是有限域，所以只有有限多个定义在k上的给定度数的表面，这意味着无限多的X*表面有相同的像，因此它们是同构的。通过分析K3表面上椭圆曲线簇的多截面度数，得出了矛盾，从而证明了Shafarevich-Tate猜想。

【Claude 3.5 Sonnet】

沙法列维奇-泰特猜想(The Shafarevich-Tate Conjecture)是数论几何中的一个重要猜想，主要涉及椭圆曲线和阿贝尔变量的算术性质。以下是这个猜想的主要内容和背景：

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