直觉主义逻辑

能不能有一个命题，在某种逻辑框架下，既不是真的，又不是假的？也就是说，存不存在一种逻辑，不满足“排中律”？在经典逻辑下，A∨¬A一定为真。有一种直觉主义逻辑(Intuitionist Logic)，在其中A∨⇁A 可能为假。（注意这里¬符号变了⇁，这是两个不同的符号）这是一种什么逻辑呢？

如果我们学了很多数学，我们会想，这些数学公式在说什么？这些数学公式背后有什么语言之外的存在吗？那么有没有这样一种逻辑讨论这种问题呢？

直觉主义逻辑(Intuitionist Logic)概念的引入

直觉主义逻辑(Intuitionist Logic)来自数学哲学的一种观点——直觉主义(Intuitionism)。我们先来考察直觉主义的理论基础。

比方说，我随便说一个句子：“小明喝了一杯水。”你以前可能没听过这个句子，但你能够理解这个句子。甚至对千千万万你没听过的句子，你都能理解。这是如何可能的呢？

我们之所以能理解一个句子，是因为我们能够理解一个句子的每个部分，并且我们可以理解将它们组合起来的方式。正是因为这两者，我们理解了一个句子。一个句子的含义被它每一个部分的含义和它的语法构造所决定。这被称为组合性(Compositionality)。

一种正统的观点，如弗雷格(Frege)，认为一个陈述(statement)的含义由其成立为真的条件决定，或者说，由真值条件(truth conditions)决定。比方说，我说：“克林顿曾经是美国总统。”那么，这句话的含义，就是这句话所成立为真的条件。这句话成立为真的条件是什么？条件即为克林顿曾经是美国总统。即“小明在喝水”这句话的真值条件是小明在喝水。

那么从组合性的观点出发，如果给出一句话每个部分的真值条件，那么就可以知道这句话的真值条件。比方说如果A是假的，那么¬A是真的。如果A和B是真的，那么A∧B是真的。

真理(truth)，在一般的理解下，即为一种关系，一种联系语言和语言外的现实(extra-linguistic reality)的关系。比方说，我说“阿里巴巴举办了数学竞赛”，这是真的，是因为阿里巴巴在北半球确实举办这一场比赛，组织了很多环节。这貌似没任何问题。

但是对于数学，我们也可以谈数学语言外的现实吗？

如果可以，那么2＋3＝5对应的现实是什么？数学实在论者(mathmatical realists)认为存在客观的数学对象，即2，3和5都是实在的。对于数学直觉主义者(mathmetical intuitionist)来说，数学实在论者的想法就像神秘主义一样，不应该被采纳。数学直觉主义者认为，不应该把真理理解为一种联系语言和语言外的现实(extra-linguistic reality)的关系。

那按照数学直觉主义者来说，(sin x)'＝cos x这样的数学语言的含义是什么呢？他们认为，这些数学语言的含义，由不是真值条件(truth condition)，而是由证明条件(proof condition)决定的，这里证明是一种心理构造(mental construction)。这是什么意思呢？也就是说，如果我们说(sin x)'＝cos x为真，表达的意思是它被证明为真，表达的并不是某些外在现实使得它为真。当然，这里的证明可以有各种各样的，可以是数学基于公理的证明，也可以是因明(hetuvidyā)中的立量(pramāṇa)。

那么有这个起点，可以让我们建立一套新的逻辑。首先我们需要重新定义这些符号∧，∨，⇁，⊐

我们来看书上的定义(Graham Priest[4])

A proof of A∧B is a pair comprising a proof of A and a proof of B.

A proof ofA∨B is a proof of A or a proof of B.

A proof of ⇁ A is a proof that there is no proof of A.

A proof of A ⊐ B is a construction that, given any proof of A， can be applied to give a proof of B.

A∧B 为真表示存在A和B的证明，A∨B为真表示A或B中至少有一者存在证明，⇁ A为真表示“可以证明’不存在A的证明‘”.A ⊐ B为真表示，给出A的证明，可以导出B的证明

就像我们现在，既无法证明孪生素数定理(A)，又无法证明我们不能证明孪生素数定理(⇁ A).在这种情况下，A∨⇁ A为假。

可能世界语义(Possible-World Semantics)下的直觉主义逻辑

如果我们采用可能世界语义(Possible-World Semantics)，在这套语义下，我们有若干个世界，一个命题在任意一个世界中，要么是真的，要么是假的。每一个世界可以看到(see)某些另外的世界。世界的集合记作W，这种看见的二元关系记作R（ωRω'表示世界ω看见世界ω'）。我们可以引入一个赋值函数υ，υω(p)＝1表示世界ω中命题p被赋值真。如此我们就有一个结构：〈W，R，υ〉，即世界的集合、世界的关系、世界中命题的赋值函数组成了一个结构。

在一个世界ω中，如果它看到的所有世界ω'都有p成立，那么在这个世界ω中，有□p。如果它看到的世界中，存在ω'使得在ω'中p成立，那么记作♢p。

那么我们用这套语言来重构直觉主义逻辑。

怎么定义世界？一个世界ω与它的赋值函数υω紧密相关，其中υω给每一个命题p赋值。一种赋值方式，就是一个世界。在直觉主义逻辑这里，一个世界ω，就是一种赋值方式υω，υω给每一个命题赋值，如果这个命题可以证明，则被赋值1，若无法证明”这个命题可以证明“，则被赋值0。

怎么定义关系“看到”？一个世界ω可以“看到”另一个世界ω'，则ω'解决了ω的中一些无法证明的问题，也就说，ω'要么是ω，要么是ω的理论体系的进一步的发展。用数学符号来理解，就是：

对任意ω ∈ W，如果υω(p)＝1而且ωRω'，那么υω'(p)＝1

这被称为遗传条件(Heredity Condition)这种二元关系R满足自反性和传递性。

我们现在来看课本上的定义(Graham Priest[4])：

υω(A∧B)＝1 if νω (A)＝1 and νω (B)＝1；otherwise it is 0 .

υω(A∨B)＝1 if υω (A)＝1 or υω (B)＝1；otherwise it is 0 .

υω(A ⊐ B)＝1 if for all ω' such that ωRω' either or υω'(B)＝1；otherwise it is 0 .

那如何理解⇁ A的意思，即为□¬A。也就是说，在所有当前理论世界的进一步发展的理论世界中，都不可能有A，这等价于当前世界存在“A无法证明”的证明。

那在这套架构下，A ⊐ B，即为□(A ⊃ B)，即当前理论世界的任意一个进一步发展的理论世界中，都有A ⊃ B。

利用这套语义，我们可以证明A ⊐ (⇁ ⇁ A)，这需要利用语义图(Semantic Diagram)，我们在此先不表。

结语

在这里，我们混用了经典逻辑和直觉主义逻辑的真值，事实上经典逻辑和直觉主义逻辑的赋值函数是不一样的。本文也附上了严格的赋值函数书写方式，可供读者参考。

参考文献

• [1]Garson J.W.: Modal Logic for Philosophers, Second edition, USA: 2013

• [2]G.E.Hughes, M.J.Cresswell: A New Introduction to Modal Logic, London: T.J. International Ltd. 1996

• [3]Benthem, J. F. A. K. van: modal logic for open minds, USA: CSLI Publications 2010

• [4]Graham Priest: An Introduction to Non-Classical Logic, Cambridge: Cambridge University Press 2008

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